精品解析：甘肃省兰州市第二十二中学2024-2025学年下学期九年级数学第四次月考试卷

兰州市第二十二中学 2024-2025学年度第二学期第四次月考 九年级数学 本卷共120分，考试时间120分钟 一、选择题（共11小题，每题3分共33分） 1. 我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 2023年12月27日，第58颗北斗卫星成功定点于距地球36000公里的同步轨道上，数据36000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的值是比原数的整数位少1来解答即可．表示时要正确确定的值以及的值，是解决本题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（　　） A. （﹣2xy）2=﹣4x2y2 B. x6÷x3=x2 C. （x﹣y）2=x2﹣y2 D. 2x+3x=5x 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．（﹣2xy）2=4x2y2，故本选项错误； B．x6÷x3=x3，故本选项错误； C．（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故本选项错误； D．2x+3x=5x，故本选项正确． 故选D． 4. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点分别是点．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：把△以点为中心顺时针旋转得到△， ，，，故A，B，不符合题意． 不一定等于， ∴符合题意； 故选：． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时，方程没有实数根．将方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：将方程化为一般形式， 其中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表得出所有等可能的结果数以及第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果数，然后再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 4 5 6 4 （4，5） （4，6） 5 （5，4） （5，6） 6 （6，4） （6，5） 共有6种等可能的结果，其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果有：（5，4），（6，4），（6，5），共3种， ∴第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是． 故选：A． 7. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象开口方向、对称轴、与x轴交点个数和交点坐标分析即可得到答案. 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵二次函数的图象对称轴为直线，经过点， ∴二次函数的图象经过点， ∴，故选项D错误，符合题意， 故选：D 8. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为元，可列方程组为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设共有人，物品的价格为元，根据“每人出8元，则多3元：每人出7元，则差4元”，即可得出关于的二元一次方程组． 【详解】设共有人，物品的价格为元， 依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A. 4 B. 9 C. 13 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【详解】解：过点D作于点E，则，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积是， 故选D． 10. 如图，在正方形中，点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点，连接，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积公式，由四边形为正方形，得，，，再由题意可得，，然后由和扇形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴，，， ∵点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点， ∴，， ∴， ∴， ， 故选：． 11. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16， ∴∠B=60°，BC=AB=8， ∴∠BCD=30°， ∴BD=BC=4， ∴AD=AB﹣BD=12． 如图1，当0≤AD≤12时， AP=x，PQ=AP•tan30°=x， ∴y=x•x=x2； 如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x， ∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）， ∴y=x•（16﹣x）=， 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、结合图形进行解题是关键. 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 12. 抛物线与轴公共点个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质、一元二次方程根的判别式．抛物线与轴的交点对应的纵坐标为，所以抛物线与轴相交时可得一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式可知方程有两个相等的实数根，所以抛物线与轴只有一个交点． 【详解】解：把代入， 可得：， ，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有个交点． 故答案为： ． 13. 若是二次根式，则x可取的最小整数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， ∴， ∵取整数值， ∴可取的最小整数是， 故答案为：． 14. 如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是(4，﹣2)，则点B的坐标是_______． 【答案】（-2，1） 【解析】 【分析】设点B的坐标为（x，y），根据根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，由此求得点B的坐标． 【详解】解：设点B的坐标为（x，y）， ∵点B的对应点B′的坐标是（4，-2）， ∴根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1， ∴点B的坐标为（-2，1）． 故填（-2，1）． 【点睛】本题考查了位似变换的坐标特点．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或一k． 15. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 三、解答题（共11题，共75分） 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解为： 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【详解】解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 18. 计算：，其中． 【答案】，10 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，正确掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键． 根据整式乘法法则及平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 19. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点B为直线上一点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点B作轴，交反比例函数的图象于点C，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图形的综合，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）由正比例函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）过点作轴于，过点作轴于，即可证得，即可求得，进一步求得、的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 连接，过点作轴于，过点作轴于， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， 把代入，得， ∴，， ∴， ∴． 20. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 21. 为了提升学生的交通安全意识，某校开展了以“珍爱生命”为主题的讲座．为了调查学生对交通安全知识的掌握情况，现对学生进行交通安全知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是：79，90，80，69，68，68，91，67，98，77，76，65，66，86，80，86，100，92，86，86； 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，84，86，87，88，86，89，89； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下： 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 b 众数 a 92 方差 八年级抽取的学生成绩扇形统计表 根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握交通安全知识更好？并说明理由； （3）若该校七年级有学生600名，八年级有学生800名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 【答案】（1）； （2）八年级的学生掌握交通安全知识更好，理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高． （3）七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和统计表，中位数和众数的定义，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义可求出的值，再根据八年级20名学生测试成绩在组的人数可求出； （2）根据中位数和众数的大小可得答案； （3）求出样本中七、八年级中优秀所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：七年级学生的测试成绩出现次数最多的是86分，共出现4次， ∴众数， 八年级名学生成绩组有（人），组有（人），组有人，组有（人），将名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为， ∴， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：八年级的学生掌握交通安全知识更好，理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高． 【小问3详解】 解：七年级测试成绩为优秀（）的学生占比为： ， ∴七年级测试成绩为优秀（）的学生有： （人）， 七年级测试成绩为优秀（）的学生有： （人）， ∴七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有： （人）． 22. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． （1）求抛物线的解析式． （2）记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． （3）如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后（即抛物线向左）平移 米． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）由题可知抛物线的顶点坐标为，进而利用待定系数法解答即可求解； （）先求出斜坡的高度的解析式，列出，再根据函数的性质解答即可求解； （）设喷射架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题可知，抛物线的顶点坐标为， 设水流形成的抛物线的表达式为，将点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由题可知点坐标为， 设直线的函数解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：设喷射架向后平移了米， 则平移后的抛物线可表示为， 将点代入得，， 解得或(不合，舍去)， ∴喷射架应向后移动米， 故答案为：． 23. 阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点，使，连接四边形是平行四边形（依据：___________）四边形是矩形矩形的对角线相等结论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点作边的垂线，垂足为． ．．．．．． 任务： （1）解题思路中“依据”处应填___________：利用尺规在图4中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）补全小颖的证明过程 （3）请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形， 补全图形，如下： （2） 证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵是斜边上的中线， ∴． ∴． ∴D是边的中点，即是的垂直平分线． ∴． ∴； （3） 证明：如解图，延长到点F，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定即可求解，根据作垂线的方法即可作图； （2）过点作边的垂线，垂足为D．，则，而，那么，可得是的垂直平分线，则，即可证明； （3）延长到点F，使，连接，先证明，再证明，则，即可求证． 【小问1详解】 解：如图， ∵是斜边上的中线， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，与边长为a的等边的边、分别交于点D、点E，是直径，过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接，当是的切线时，求的半径r． 【答案】（1） 证明：连接， ∵等边， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）连接，得到先计算，再计算，结合，计算，接着利用切线长定理，证明是等边三角形，得到解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了切线的证明，勾股定理，等边三角形的判定和性质，切线长定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，以为矩形的两个顶点，且该矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为、的“正直矩形”．下图为的“正直矩形”示意图． （1）已知点的坐标为 ①若点，求点、的“正直矩形”面积； ②当点与点“正直矩形”是面积为的正方形时，直接写出符合条件的所有点坐标； （2）点横坐标是，它是直线上一点，求点与点的“正直矩形”的周长（用含的式子表示）． 【答案】（1）①6；②或或或；（2）或或 【解析】 【分析】（1）①根据“正直矩形”的定义可知矩形的两条邻边长为2、3，即可求得“正直矩形”的面积； ②根据正方形的面积为4，求得边长为2，结合的坐标，即可求得点坐标； （2）根据题意的坐标为，从而得到点与点的“正直矩形”的周长为：，分三种情况讨论求得即可． 【详解】解：（1）①点的坐标为，点， 点、的“正直矩形”面积为：； ②点与点 “正直矩形”是面积为4的正方形， 点与点 “正直矩形”的边长都为2， 的坐标为， 的坐标为：或或或； （2）点横坐标是，它是直线上一点， ， 的坐标为， 点与点的“正直矩形”的周长为：， ①当时，点与点的“正直矩形”的周长为：； ②当时，点与点的“正直矩形”的周长为：； ③当时，点与点的“正直矩形”的周长为：； 综上，点与点的“正直矩形”的周长为：或或． 【点睛】本题是一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，理解“正直矩形”的定义并运用是本题的关键． 26. 图1，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，点与坐标原点重合．将纸片沿着折痕翻折后，点恰好落在轴上，记为． （1）求点的坐标； （2）将矩形水平向右移动个单位，则点坐标为，其中．如图所示，连接，若是等腰三角形，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】主要考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用勾股定理求出是解本题的关键． （1）根据四边形是长方形以及由折叠对称性得出，，进而求出的长，即可得出点的坐标； （2）分三种情况讨论：若，， ，利用勾股定理求出即可. 【小问1详解】 D点坐标为 ，，， 由折叠：，， 在中，， ∴， 设，则， 在中， 即 解得： ∴点坐标为：， 【小问2详解】 分三种情况讨论： ①若， ∵， ∴， ∴， ②若，则， 解得：， ③若， 在中，， ∴， 解得：（舍去）， 综上所述，若是等腰三角形，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第二十二中学 2024-2025学年度第二学期第四次月考 九年级数学 本卷共120分，考试时间120分钟 一、选择题（共11小题，每题3分共33分） 1. 我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 乒乓球 B. 跳远 C. 举重 D. 武术 2. 2023年12月27日，第58颗北斗卫星成功定点于距地球36000公里的同步轨道上，数据36000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. （﹣2xy）2=﹣4x2y2 B. x6÷x3=x2 C. （x﹣y）2=x2﹣y2 D. 2x+3x=5x 4. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点分别是点．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为元，可列方程组为(　　) A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A. 4 B. 9 C. 13 D. 5 10. 如图，在正方形中，点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点，连接，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 12. 抛物线与轴公共点个数为__________． 13. 若是二次根式，则x可取的最小整数为______． 14. 如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是(4，﹣2)，则点B的坐标是_______． 15. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 三、解答题（共11题，共75分） 16. 解不等式组： 17. 解方程：． 18. 计算：，其中． 19. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点B为直线上一点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点B作轴，交反比例函数的图象于点C，求的面积． 20. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 21. 为了提升学生的交通安全意识，某校开展了以“珍爱生命”为主题的讲座．为了调查学生对交通安全知识的掌握情况，现对学生进行交通安全知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是：79，90，80，69，68，68，91，67，98，77，76，65，66，86，80，86，100，92，86，86； 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，84，86，87，88，86，89，89； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下： 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 b 众数 a 92 方差 八年级抽取的学生成绩扇形统计表 根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握交通安全知识更好？并说明理由； （3）若该校七年级有学生600名，八年级有学生800名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 22. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． （1）求抛物线的解析式． （2）记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． （3）如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后（即抛物线向左）平移 米． 23. 阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点，使，连接四边形是平行四边形（依据：___________）四边形是矩形矩形的对角线相等结论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点作边的垂线，垂足为． ．．．．．． 任务： （1）解题思路中“依据”处应填___________：利用尺规在图4中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）补全小颖的证明过程 （3）请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 24. 如图，与边长为a的等边的边、分别交于点D、点E，是直径，过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）连接，当是的切线时，求的半径r． 25. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，以为矩形的两个顶点，且该矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为、的“正直矩形”．下图为的“正直矩形”示意图． （1）已知点的坐标为 ①若点，求点、的“正直矩形”面积； ②当点与点“正直矩形”是面积为的正方形时，直接写出符合条件的所有点坐标； （2）点横坐标是，它是直线上一点，求点与点的“正直矩形”的周长（用含的式子表示）． 26. 图1，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，点与坐标原点重合．将纸片沿着折痕翻折后，点恰好落在轴上，记为． （1）求点的坐标； （2）将矩形水平向右移动个单位，则点坐标为，其中．如图所示，连接，若是等腰三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $