1.1三角形中的线段和角（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

1.1三角形中的线段和角 题型一、三角形的三边关系 1．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）四条线段的长度分别为3，5，8，11，可以组成三角形的组数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·吉林·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为 ． 3．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 题型二、利用三角形的三边关系求范围 4．（23-24八年级上·四川南充·开学考试）已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ． 5．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 6．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 题型三、利用三角形的三边关系进行化简 7．（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 8．（21-22七年级下·江西萍乡·期末）已知 是 三边的长，化简    ． 题型四、三角形的高 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A．B．C．D． 10．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，，的面积为，，则点到直线的距离为 cm． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，垂足为点． 则的长为 ． 题型五、三角形的中线 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，是的中线，则与面积大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 题型六、三角形的角平分线 14．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 15．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，则 ． 题型一、三角形三边关系的综合应用 17．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）已知，在中，，，的对边分别用，，表示，其中，满足． (1)请直接写出______，______； (2)若为等腰三角形，请求出的周长； 18．（24-25八年级上·山西朔州·期末）向阳实践小组成员每人分发一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．三位成员制作的三角形三条边的数据（单位：cm）如下． 第一条边 第二条边 第三条边 莉莉 4 4 4 牛牛 a _____ 晨晨 4 m n (1)莉莉制作的三角形每个内角的度数为_________； (2)试判断牛牛制作的三角形a的值能否为3，并说明理由； (3)晨晨制作的三角形中各边均为整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 题型二、利用三角形的三边关系进行证明 19．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，D是内任意一点，连接，，证明：． 20．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 题型三、三角形的中线与面积计算问题 21．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 题型四、三角形的高、中线与角平分线的有关综合计算 23．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 24．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，为的中线，为的中线．    (1)，，求的度数； (2)若的面积为，，则中边上的高为多少？ 25．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是角平分线． (1)若，求； (2)若是的高线，且，，求的度数． 26．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图所示．、分别是的角平分线和高． (1)若，，求的度数； (2)试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 27．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知△ABC的三边长分别为，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 30．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ． 31．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1三角形中的线段和角 题型一、三角形的三边关系 1．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）四条线段的长度分别为3，5，8，11，可以组成三角形的组数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； 根据题意先得出在4条线段中取3条共有四种情况，然后结合三角形的三边关系即可作出判断. 【详解】解：以长度分别为3，5，8，11的四条线段，取3条共有以下四种情况： 3，5，8；3，5，11；3，8，11；5，8，11； 其中能够组成三角形的只有5，8，11这一种情况； 所以可以组成三角形的组数是1； 故选：D. 2．（24-25八年级上·吉林·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时；当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时， ， 能组成三角形； 综上所述：第三边长是10， 故答案为：10． 3．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键． （1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； （2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ， ∴可构成三角形， ∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 题型二、利用三角形的三边关系求范围 4．（23-24八年级上·四川南充·开学考试）已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据三角形存在的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可． 本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 直接利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：，即． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【答案】(1) (2)6或8 【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可． 此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8； 题型三、利用三角形的三边关系进行化简 7．（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形三边关系，绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：、、是的三边的长， ，，， 原式． 故选：A． 8．（21-22七年级下·江西萍乡·期末）已知 是 三边的长，化简    ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系和绝对值的性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据三角形三边关系判断，的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值即可． 【详解】解：的三边长分别是， 即 故答案为： 题型四、三角形的高 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了画高线， 过点C作，交的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作． 【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 10．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，，的面积为，，则点到直线的距离为 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算、点到直线的距离．作于，先求出，再结合点到直线的距离的意义即可得解． 【详解】解：如图，作于，    的面积等于，， ，即， ， ， 点到直线的距离为， 故答案为：6． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，垂足为点． 则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形高有关的计算，掌握等面积法求高是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 故答案为： ． 题型五、三角形的中线 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，是的中线，则与面积大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边与底边上的高的积一半；等底等高的三角形的面积相等．根据中线的定义得到，然后根据等底等高的三角形的面积相等即可得到． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴． 故选：B． 13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：， 故答案为： ． 题型六、三角形的角平分线 14．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 15．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 16．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是利用外角表示出． 题型一、三角形三边关系的综合应用 17．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）已知，在中，，，的对边分别用，，表示，其中，满足． (1)请直接写出______，______； (2)若为等腰三角形，请求出的周长； 【答案】(1)， (2)的周长为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】（1）解： ， ，， ，， 故答案为：，； （2）由（1）得，，， 若是腰长，则三角形的三边长为：、、， ，不能组成三角形； 若是底边长，则三角形的三边长为：、、， ，能组成三角形， 的周长为． 18．（24-25八年级上·山西朔州·期末）向阳实践小组成员每人分发一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．三位成员制作的三角形三条边的数据（单位：cm）如下． 第一条边 第二条边 第三条边 莉莉 4 4 4 牛牛 a _____ 晨晨 4 m n (1)莉莉制作的三角形每个内角的度数为_________； (2)试判断牛牛制作的三角形a的值能否为3，并说明理由； (3)晨晨制作的三角形中各边均为整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1) (2)牛牛制作的三角形a的值不能为3；见解析 (3)符合条件的m的值为3，4，5． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形三边关系，求不等式组的解集． （1）先判断莉莉制作的三角形是等边三角形，据此求解即可； （2）当a的值为3时，求得三边的长，利用三角形三边关系即可判断； （3）先求得三边的长4，m，，利用三角形三边关系列出不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得三边长都是4， 莉莉制作的三角形是等边三角形， 则每个内角的度数为， 故答案为：； （2）解：由题意得塑料管的长度为， 当a的值为3时，第一条边为3，第二条边为， 则第二条边为， ∵， ∴3，2，7不能构成三角形， ∴牛牛制作的三角形a的值不能为3； （3）解：由题意，第一条边为4，第二条边为m，则第二条边为， 由题意，得，，， 解得，， ∴， ∴符合条件的m的值为3，4，5． 题型二、利用三角形的三边关系进行证明 19．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，D是内任意一点，连接，，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，把这些分散的线段集中在三角形中，利用三角形的三边关系证明即可． 【详解】证明：如图所示，延长交于点E， 在中，． 在中，． 上述两式相加，得， ， ． 20．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 题型三、三角形的中线与面积计算问题 21．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．易得、的面积均为面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半． 【详解】解： 为中点， ， 为中点， ， ， 为中点， ，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 题型五、三角形的高、中线与角平分线的有关综合计算 23．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由三角形的中线定理可得：，，再结合，即可求解； （2）根据三角形的外角性质可求出，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： 是的中线，的面积为， ，， ， ， ； （2） ，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． 24．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，为的中线，为的中线．    (1)，，求的度数； (2)若的面积为，，则中边上的高为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线和高，三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据三角形中线的性质先求出的面积，再求出的面积，最后根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】（1）解： 是的一个外角，，， ， ，， ； （2）为的中线，的面积为， ， 为的中线， ， ， 中边上的高为． 25．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是角平分线． (1)若，求； (2)若是的高线，且，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线性质是解答本题的关键． （1）过点作于点，于点，由角平分线性质定理得，根据三角形面积公式可得结论； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，由直角三角形两锐角互余得出，从而可求出． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点， ∵是的平分线， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图所示．、分别是的角平分线和高． (1)若，，求的度数； (2)试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． （1）先利用三角形的内角和求得，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵，分别是的角平分线和高， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，分别是的角平分线和高， ∴，， ∴， ∴ ． 27．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知△ABC的三边长分别为，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，完全平方公式，三角形三边关系的应用，根据已知条件得到，再由非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 28．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线平分三角形的面积是正确解答此题的关键． 根据三角形中线平分三角形面积得到，进而得到，同理可得． 【详解】解：∵点是的中点， 的面积为， ∴， ∵点是的中点， ∴，同理可得， 同理可得，． 故选B． 29．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 30．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形高的定义、四边形的内角和等知识，正确分类并画出图形是解题的关键； 分两种情况：为锐角与为钝角，分别画出图形，利用四边形的内角和求解即可． 【详解】解：当为锐角时，如图，设三角形的两条高交于点O， 则，， ∴， ∴； 当为钝角时，如图，设三角形的两条高所在的直线交于点O， 则，， ∴； 故答案为：或． 31．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 【答案】(1)，或； (2)， 【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系， （1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可； （2）根据（1）中结果，确定，；再根据三角形三边关系分析即可． 熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键． 【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则， ∴； 当与10、与8分别是对应边时，则， ∴； 综上，或； （2）因为边长小于边长，所以取，； 当时，以a，m，n为三角形的三边长， 则边长a取值范围为． ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$