专题09 空间几何体的结构特征、表面积和体积6种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题09 空间几何体的结构特征、表面积和体积 6种常考题型总结 题型概览 题型 01 空间几何体的结构特征 题型 02 空间几何体的直观图 题型 03 空间几何体的表面积 题型 04 空间几何体的体积 题型 05 与球有关的切、接问题 题型 06 几何体的截面问题 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（2023春•辛集市期末）下列命题中成立的是　　 A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 【解析】对，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起， 所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，如图，故错误； 对，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直， 则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故正确； 对于，如图所示，若，， 满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面不是正三角形，故错误； 对，各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体， 比如底面为三角形的直三棱柱，故错误． 故选：． 2．（2023春•高碑店市校级期末）下列命题中正确的有　　 ①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面； ②圆柱不是旋转体； ③半圆围绕直径旋转半周得到一个球； ④圆台的轴截面是等腰梯形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，正确； ②圆柱不是旋转体，不正确； ③以半圆的直径为轴旋转一周形成的旋转体叫做球，所以半圆围绕直径旋转半周得到一个球，不正确； ④圆台的轴截面是等腰梯形，正确． 故选：． （多选）3．（2023春•高碑店市校级期末）下列说法中，正确的有　　 A．平面是由空间点、线组成的无限集合 B．棱柱中，各条棱长都是相等的 C．侧棱垂直于底面的棱柱为正棱柱 D．侧面都是矩形的棱柱为直棱柱 【解析】由平面的基本特征，平面是由无数个点或线组成的集合，正确； 棱柱的侧棱平行且相等，但不是所有的棱都一定相等，错误； 侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱，底面为正多边形的直棱柱为正棱柱，错误， 侧面都是矩形可得侧棱垂直于底面，则棱柱为直棱柱，正确． 故选：． 4．（2020春•新华区校级期末）下列说法正确的是　　 A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C．棱锥的所有侧面都是三角形 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【解析】选项，四棱台的上下底面平行，其余各面也均为四边形，但不是棱柱，即错误； 选项，若这三点共线，则可以确定无数个平面，即错误； 选项，棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，即正确； 选项，只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，即错误． 故选：． ( 题型02 ) 空间几何体的直观图 5．（2025春•武强县校级期末）水平放置的△的斜二测直观图如图所示，已知，，则△的面积是　　 A．6 B．10 C．12 D．24 【解析】由斜二测画法可知，，即△为直角三角形， 其中，， 所以△的面积是． 故选：． 6．（2024春•石家庄期末）如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是　　 A． B． C． D． 【解析】正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 则原图是平行四边形，相邻边长为：1和， 原图的周长是：8． 故选：． 7．（2024春•廊坊期末）如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为　　 A． B． C． D． 【解析】依题意，由于，，，， 则四边形是平行四边形，，，且与之间的距离， 则的面积， 则四边形的直观图面积． 故选：． 8．（2024春•张家口期末）如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为，　　 A． B．3 C． D． 【解析】根据题意，直观图直角梯形中，，， 则直观图的面积， 故原图的面积． 故选：． 9．（2023春•曹妃甸区校级期末）已知的斜二测画法的直观图为△，若，，，则的面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，根据“斜二测画法”原理，原的面积与△的面积的比值为， ，，， 可得△的面积：，， 则的面积． 故选：． 10．（2022春•保定期末）如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为　　 A．面积为的等腰三角形 B．面积为的等腰三角形 C．面积为的直角三角形 D．面积为的直角三角形 【解析】通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，的面积为，是直角三角形． 故选：． 11．（2023春•沧州期末）如图，一个水平放置的的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形，若，则原三角形的面积为 　　． 【解析】根据题意可得， 在中，， ， 所以的面积为 故答案为：． ( 题型03 ) 空间几何体的表面积 12．（2023秋•河北期末）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，圆锥的底面半径为2，高为， 则该圆锥的母线长， 则其侧面积． 故选：． 13．（2024春•河北期末）以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】等腰直角三角形的斜边长为2， 以该等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴， 两条直角边旋转一周得到的几何体为两个底面半径，高为的圆锥， 则圆锥的母线长， 将底面重合后形成的组合体， 其表面积为． 故选：． 14．（2024春•深州市校级期末）已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为　　 A．72 B．82 C．92 D．112 【解析】正棱台的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为， 可得棱台的侧面是等腰梯形，高， 所以一个侧面积， 所以该棱台的表面积． 故选：． 15．（2024春•唐山期末）已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【解析】已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1， 则侧面展开扇形的弧长为，圆锥的母线长为， 则圆锥的侧面积为． 故选：． 16．（2023秋•张家口期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为、，母线长为， 则，，母线与下底面所成的角为， 则， 故该圆台的表面积． 故选：． 17．（2022秋•沧州期末）如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕很杯，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图．当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】设圆柱的高为，则， ， 又，，即， ， 酒杯的容积， 由酒杯的容积不大于半球体积的2倍， ， ， 即， ， 所以的取值范围是． 故选：． ( 题型04 ) 空间几何体的体积 18．（2024秋•邯郸期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭（浇铸过程体积无变化），该铁锭的上、下底面的边长分别为和，则该铁锭的高为　　 A． B． C． D． 【解析】设实心铁球的半径为， 因为实心铁球的表面积为， 所以， 解得， 则实心铁球的体积为， 设正四棱台的实心铁锭的高为， 因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等，且铁锭的上、下底面的边长分别为和， 所以， 解得． 故选：． 19．（2024秋•承德期末）已知四棱锥，，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为， 则有， 而，， 又由，，平分，则， 则； 故，而， 则有， 又由点在上且满足，故到平面的距离为， 则有， 故． 故选：． 20．（2023春•河北期末）元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】依题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和， 正六棱台的两个底面积分别为，， 所以花灯的体积． 故选：． 21．（2021秋•张家口期末）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面面积是底面面积的倍，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示， 由已知可得，，其底面积为， 且侧面积为， 所以，解得， 所以， 所以该圆锥的体积为． 故选：． 22．（2024秋•邢台期末）某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（不考虑储物料斗斗壁的厚度）　　 A．立方米 B．28立方米 C．立方米 D．84立方米 【解析】根据题意可得该储物料斗的体积是立方米． 故选：． 23．（2024秋•唐山期末）如图，在三棱柱中，平面，，．则三棱柱的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】在三棱柱中，平面，，． ，，， ， △是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：． 24．（2024秋•唐县校级期末）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为　　 A．4 B．2 C． D． 【解析】如图，设在底面的射影为，则为底面正方形的中心， 过作于，则为中点 连接，则， 二面角的平面角为， 又底面正方形边长为2，， 该正四棱锥的体积为． 故选：． 25．（2023秋•海港区校级期末）走马灯古称蟠螭灯、仙音烛和转鹭灯、马骑灯，是汉族特色工艺品，亦是传统节日玩具之一，属于灯笼的一种．如图为今年元宵节某地灯会的走马灯，主体为正六棱柱，底面边长，高，则它的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】正六棱柱的底面是边长的正六边形，能分成六个边长为的正三角形， 则底面积为， 又棱柱高，体积． 故选：． 26．（2024春•沧州期末）已知四棱柱的高为3，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）如图所示，其中，，则这个四棱柱的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】由于直观图的面积为． 根据原图面积，（其中表示直观图面积） 所以四边形的面积为， 所以四棱柱的体积是． 故选：． ( 题型0 5 ) 与球有关的切、接问题 （多选）27．（2024秋•邯郸期末）如图，四面体由矩形沿对角线折叠而成，其中，，当向量和所成的角为时，下列结论正确的有　　 A．折叠过程中四面体外接球的表面积恒等于 B．棱的长度为4 C．平面 D．四面体的四个面都是直角三角形，其内切球的半径是 【解析】在四面体中，，，，， 所以外接球的球心在的中点处，且半径，所以表面积为，正确； 因为，又，， 所以，解得，所以选项错误； 由勾股定理易得，又， 所以，，又， 所以平面，所以选项正确； 由勾股定理易得，，又，， 所以四面体的四个面都是直角三角形， 所以易得， 所以四面体的表面积， 设内切球的半径为，所以由等积法可得，解得，所以选项正确． 故选：． 28．（2024秋•衡水期末）在三棱锥中，平面，，．若，，，，四点都在球的表面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，取的中点，连接，， 在四面体中，平面，是边长为的等边三角形， ，是等腰三角形， 令的中心为，作交的中垂线于， 为外接球的球心，由，， 得球的半径， 故球的表面积为． 故选：． 29．（2024秋•唐县校级期末）如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 【解析】设点为的中点，连接，，由于，，所以，，所以为二面角的平面角； 由于二面角的正切值是， 所以，故； 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理； 所以， 由于， 所以、、两两垂直，将三棱锥体补成正方体， 如图所示： 正方体的棱长为2，则正方体的对角线长为， 故外接球的半径， 则外接球的表面积为． 故选：． 30．（2024春•涉县校级期末）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是　　 A． B． C． D． 【解析】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积． 故选：． 31．（2024春•邯郸期末）在三棱锥中，平面，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，将三棱锥补成三棱柱， 则三棱锥和三棱柱的外接球相同， 设，分别为和的外心， 则三棱柱的外接球球心为的中点， 连接并延长交于点，则为的中点，连接， 因为，所以， 由正弦定理可得， 所以， 由， 即， 可得， 则， 则外接球的表面积． 故选：． 32．（2023秋•唐县校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】设外接球的半径为，因为， 所以，所以， 又，，，平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面． 由于，所以平面，又平面，所以， 所以，所以是等边三角形． 设其外心为，设是的中点，连接，则， 由于平面平面，平面平面，平面， 所以平面，设，则是矩形的外接圆的圆心． 连接，如图所示，因为平面，所以， 球心在的正上方也在的正上方，故四边形是矩形， 因为， 所以， 所以外接球的表面积为． 故选：． 33．（2024春•唐山期末）在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】由，，所以的外接圆直径， ， 由于底面，， 所以外接球的半径， ， 所以外接球的体积． 故选：． 34．（2025春•武强县校级期末）底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知，圆锥的母线，底面半径， 根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示： 根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰△的内切圆， 即，，，， 在△中，，由，，则， 在△中，，即， 可得，解得，即内切球的半径， 故内切球体积为． 故选：． ( 题型0 6 ) 几何体的截面问题 35．（2024春•邢台期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点在棱上，且，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为　　 A．6 B．8 C．12 D．16 【解析】根据题意，如图所示， 分别在，，上取点，，，且满足， 易得，， 所以四边形为平行四边形， 可得，， 因为平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 所以四边形即为截面， 故截面图形的周长为8． 故选：． 36．（2023秋•廊坊期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示： 过点作于点，因为，， 所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以棱长为， 如图所示： 过 于点，于点，连接， 由对称性可知，， 所以， 而， 所以， 所以， 同理， 分别在棱，上取点，，使得， 易得，， 所以截面多边形的周长为． 故选：． （多选）37．（2024春•深州市校级期末）如图，在表面积为的正方体中，点在侧面（包含边界）内运动，则下列结论正确的有　　 A．直线 B．二面角的大小为 C．三棱锥的外接球体积为 D．过三点，，的正方体的截面面积的最大值为 【解析】对于，在表面积为的正方体中，点在侧面（包含边界）内运动， 连接，如图， 为正方体，，平面， 又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，直线，故正确； 对于，由正方体性质，得平面，，平面， ，，二面角为，故错误； 对于，由题意得三棱锥的外接球即正方体的外接球， 其半径为体对角线的一半，即， 三棱锥的外接球体积为，故错误； 对于，由对称性，在△内与△内截面面积取最大值的情况相同， 且当在上时，截面即矩形，面积为． 故不妨设在△内（不包含． 设截面交，分别于，， 则由正方体性质与面面平行的性质可得，， ，截面为梯形． 设，，， ，，，，平面， 平面，平面． 又平面，，为梯形的高， 设，则， ． ，即，即，显然成立， 成立． ． 即， 过三点，，的正方体的截面面积的最大值为，故正确． 故选：． （多选）38．（2024春•唐县校级期末）正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【解析】对于，取中点，连接、、， 则由题意可知，，且， 所以是直线与所成角或补角，且， 所以直线与所成角余弦值为，故正确； 对于，连接，， 由正方体几何性质可知且， 所以四边形是平行四边形，故， 又，所以，故与共面且过与的面有且只有一个， 故四边形是平面截正方体所得的截面图形， 连接，则由、均为所在边的中点以及正方体性质得，且， 故，又平面，平面， 所以平面，故点到平面的距离即为到平面的距离， 所以为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项正确； 对于，由可知平面截正方体所得的截面图形为四边形， 又由上以及题意得，，， 所以平面截正方体所得的截面周长为，故正确； 对于，连接， 由正方体性质可知平面， 故是直线与平面所成的角， 又，所以， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为，故错． 故选：． 1．（2023秋•保定期末）直三棱柱中，，为中点，，为上一点，，则经过，，三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是　　 A． B．4 C． D．5 【解析】如图所示，取的四等分点中靠近的点为， 连接，，，， 则有，且有， 所以梯形所在的平面就是经过，，三点的平面， 又因为，为中点，， 所以三角形为等腰直角三角形， 所以，，， ， 由题意可知平面， 又因为平面， 所以， 所以梯形的面积为． 故选：． 2．（2024春•深州市校级期末）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成．某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是，高是；四棱柱底面边长为和，液体高是．计时结束后如图2所示，求此时“沙漏”中液体的高度为　　 A． B． C． D． 【解析】如图， 圆锥的底面半径是，高是， 所以、是直角三角形， 由已知可得：液体的体积为， 圆锥的体积为， 计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为， 设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为， 则， 即， 所以， 即， 解得， 所以计时结束后．“沙漏”中液体的高度为． 故选：． 3．（2024春•卢龙县期末）在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】设正四棱锥的底面边长为，， 则其高为， 正四棱锥体积为： ， 当且仅当，即时，取得等号， 正四棱锥体积的最大值为． 故选：． 4．（2024春•邯郸期末）若正六棱台的侧棱与底面所成的角为，且，，则该正六棱台的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】取上下底面正六边形的中心分别为，，连接， 则是棱台的高，过作，则平面， 所以， 因为六边形为正六边形，，， 所以，，， 在直角中，， 因为棱台上底面面积为， 棱台的下底面面积为， 所以正六棱台的体积为． 故选：． 5．（2024春•定州市期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为　　 A．2 B．4 C． D． 【解析】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为， 在中，， ， 所以，故，则． 故选：． 6．（2023秋•深州市校级期末）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为 　　． 【解析】如图， 由，可得，又由， 可得点到底面的垂足为的外心，即的中点， 显然三棱锥外接球的球心在直线上， 设， 在中，有， 解得． 故答案为：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 空间几何体的结构特征、表面积和体积 6种常考题型总结 题型概览 题型 01 空间几何体的结构特征 题型 02 空间几何体的直观图 题型 03 空间几何体的表面积 题型 04 空间几何体的体积 题型 05 与球有关的切、接问题 题型 06 几何体的截面问题 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（2023春•辛集市期末）下列命题中成立的是　　 A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 2．（2023春•高碑店市校级期末）下列命题中正确的有　　 ①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面； ②圆柱不是旋转体； ③半圆围绕直径旋转半周得到一个球； ④圆台的轴截面是等腰梯形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （多选）3．（2023春•高碑店市校级期末）下列说法中，正确的有　　 A．平面是由空间点、线组成的无限集合 B．棱柱中，各条棱长都是相等的 C．侧棱垂直于底面的棱柱为正棱柱 D．侧面都是矩形的棱柱为直棱柱 4．（2020春•新华区校级期末）下列说法正确的是　　 A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C．棱锥的所有侧面都是三角形 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 ( 题型02 ) 空间几何体的直观图 5．（2025春•武强县校级期末）水平放置的△的斜二测直观图如图所示，已知，，则△的面积是　　 A．6 B．10 C．12 D．24 6．（2024春•石家庄期末）如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是　　 A． B． C． D． 7．（2024春•廊坊期末）如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为　　 A． B． C． D． 8．（2024春•张家口期末）如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为，　　 A． B．3 C． D． 9．（2023春•曹妃甸区校级期末）已知的斜二测画法的直观图为△，若，，，则的面积为　　 A． B． C． D． 10．（2022春•保定期末）如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为　　 A．面积为的等腰三角形 B．面积为的等腰三角形 C．面积为的直角三角形 D．面积为的直角三角形 11．（2023春•沧州期末）如图，一个水平放置的的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形，若，则原三角形的面积为 　　． ( 题型03 ) 空间几何体的表面积 12．（2023秋•河北期末）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 13．（2024春•河北期末）以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为　　 A． B． C． D． 14．（2024春•深州市校级期末）已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为　　 A．72 B．82 C．92 D．112 15．（2024春•唐山期末）已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•张家口期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为　　 A． B． C． D． 17．（2022秋•沧州期末）如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕很杯，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图．当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的取值范围是　　 A． B． C． D． ( 题型04 ) 空间几何体的体积 18．（2024秋•邯郸期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭（浇铸过程体积无变化），该铁锭的上、下底面的边长分别为和，则该铁锭的高为　　 A． B． C． D． 19．（2024秋•承德期末）已知四棱锥，，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 20．（2023春•河北期末）元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的体积为　　 A． B． C． D． 21．（2021秋•张家口期末）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面面积是底面面积的倍，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 22．（2024秋•邢台期末）某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（不考虑储物料斗斗壁的厚度）　　 A．立方米 B．28立方米 C．立方米 D．84立方米 23．（2024秋•唐山期末）如图，在三棱柱中，平面，，．则三棱柱的体积为　　 A． B． C． D． 24．（2024秋•唐县校级期末）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为　　 A．4 B．2 C． D． 25．（2023秋•海港区校级期末）走马灯古称蟠螭灯、仙音烛和转鹭灯、马骑灯，是汉族特色工艺品，亦是传统节日玩具之一，属于灯笼的一种．如图为今年元宵节某地灯会的走马灯，主体为正六棱柱，底面边长，高，则它的体积为　　 A． B． C． D． 26．（2024春•沧州期末）已知四棱柱的高为3，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）如图所示，其中，，则这个四棱柱的体积为　　 A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 与球有关的切、接问题 （多选）27．（2024秋•邯郸期末）如图，四面体由矩形沿对角线折叠而成，其中，，当向量和所成的角为时，下列结论正确的有　　 A．折叠过程中四面体外接球的表面积恒等于 B．棱的长度为4 C．平面 D．四面体的四个面都是直角三角形，其内切球的半径是 28．（2024秋•衡水期末）在三棱锥中，平面，，．若，，，，四点都在球的表面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 29．（2024秋•唐县校级期末）如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 30．（2024春•涉县校级期末）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是　　 A． B． C． D． 31．（2024春•邯郸期末）在三棱锥中，平面，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 32．（2023秋•唐县校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 33．（2024春•唐山期末）在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为　　 A． B． C． D． 34．（2025春•武强县校级期末）底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为　　 A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 几何体的截面问题 35．（2024春•邢台期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点在棱上，且，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为　　 A．6 B．8 C．12 D．16 36．（2023秋•廊坊期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为　　 A． B． C． D． （多选）37．（2024春•深州市校级期末）如图，在表面积为的正方体中，点在侧面（包含边界）内运动，则下列结论正确的有　　 A．直线 B．二面角的大小为 C．三棱锥的外接球体积为 D．过三点，，的正方体的截面面积的最大值为 （多选）38．（2024春•唐县校级期末）正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与平面所成角的正弦值为 1．（2023秋•保定期末）直三棱柱中，，为中点，，为上一点，，则经过，，三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是　　 A． B．4 C． D．5 2．（2024春•深州市校级期末）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成．某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是，高是；四棱柱底面边长为和，液体高是．计时结束后如图2所示，求此时“沙漏”中液体的高度为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•卢龙县期末）在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•邯郸期末）若正六棱台的侧棱与底面所成的角为，且，，则该正六棱台的体积为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•定州市期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为　　 A．2 B．4 C． D． 6．（2023秋•深州市校级期末）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为 　　． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$