专题11 空间直线与平面的垂直问题5种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题11 空间直线与平面的垂直问题5种常考题型总结 题型概览 题型 01 垂直关系的判定 题型 02 线线垂直的证明 题型 03 线面垂直的证明 题型 04 面面垂直的证明 题型 05 垂直关系的探索性问题 ( 题型01 ) 垂直关系的判定 1．（2024秋•邢台期末）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2021秋•邢台期末）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列说法正确的是　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．（2021春•安平县校级期末）若是等边三角形所在平面外一点，且，，，分别是，，的中点，则下列结论中不正确的是　　 A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 4．（2020春•保定期末）已知，，是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 ( 题型02 ) 线线垂直的证明 5．（2024秋•邯郸期末）如图，已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且，，，为棱的中点，点在棱上，且． （1）证明：； （2）在棱上是否存在一点使平面？若存在，请指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 6．（2021春•沧州期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2024春•邢台期末）已知正方体． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 8．（2024春•故城县校级期末）如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点，分别在棱，上（不含端点），，且，点在棱上，． （1）证明：； ( 题型03 ) 线面垂直的证明 9．（2024春•邢台期末）如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，求证：平面． 10．（2024春•邢台期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面． （1）若为边的中点，求证：平面； （2）求证：． 11．（2019春•定州市期末）如图，在四棱锥中，，，，，，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． 12．（2021春•河北期末）如图，在正四棱锥中，点，分别在棱，上，且． （1）证明：平面． （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 13．（2024春•河北期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 14．（2024春•唐县校级期末）在正四棱柱中，，为棱中点． （1）证明平面． 15．（2024春•张家口期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，平面平面，平面平面． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）当为何值时，二面角的余弦值为． ( 题型04 ) 面面垂直的证明 16．（2024春•廊坊期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面． 17．（2024春•唐县校级期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点． （1）证明：平面平面； 18．（2024春•张家口期末）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，证明：平面平面； （3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值． 19．（2024春•沧州期末）在如图所示的几何体中，，平面，四边形为菱形，，，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 20．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为上一点． （1）若点为中点，求证：平面； （2）若，，，平面平面，求证：平面平面． ( 题型0 5 ) 垂直关系的探索性问题 21．（2024春•深州市校级期末）已知正方体的棱长为2，，，分别是，，的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 1．（2024春•辛集市期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成△，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （多选）2．（2023春•张家口期末）如图，已知正方体的棱长为1，是中点，是线段（包含端点）上任意一点，则　　 A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得直线与平面所成角为 C．在平面内一定存在直线，使得平面 D．存在点，使得平面 3．（2021春•石家庄期末）如图1，在等腰梯形中，，，，，、分别为腰、的中点．将四边形沿折起，使平面平面，如图2，，别线段、的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面垂直，并给出证明： （Ⅲ）若为线段中点，在直线上是否存在点，使得面？如果存在，求出线段的长度，如果不存在，请说明理由． 4．（2021春•保定期末）如图，梯形中，，过作于，沿把折起，设点折起后的位置为，且，． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使直线平面？并说明理由； （3）求直线与平面所成的角． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 空间直线与平面的垂直问题5种常考题型总结 题型概览 题型 01 垂直关系的判定 题型 02 线线垂直的证明 题型 03 线面垂直的证明 题型 04 面面垂直的证明 题型 05 垂直关系的探索性问题 ( 题型01 ) 垂直关系的判定 1．（2024秋•邢台期末）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】必要性：当时，与不一定垂直，则必要性不成立． 充分性：若，因为，，，所以， 因为，所以，故充分性成立． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 2．（2021秋•邢台期末）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列说法正确的是　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【解析】对于，，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面， 对于，若，，则与相交、平行或异面，故错误； 对于，若，，，则与相交或异面，故错误； 对于，若，，则由面面垂直的判定定理得，故正确； 对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误． 故选：． 3．（2021春•安平县校级期末）若是等边三角形所在平面外一点，且，，，分别是，，的中点，则下列结论中不正确的是　　 A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【解析】是等边三角形所在平面外一点，且， ，，分别是，，的中点， ， 平面，平面，平面，故正确； ，是中点， ，， ，平面， ，平面，故正确； 平面，平面， 平面平面，故正确； 设，连结，不是等边三角形的重心，与平面不垂直， 平面与平面不垂直，故错误． 故选：． 4．（2020春•保定期末）已知，，是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是　　 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】对于，由平面与平面平行的定义可知，若，，则，故正确； 对于，由两平面平行的性质可知，若，，，则，故正确； 对于，若，，则，故正确； 对于，若，，则或与相交，故错误． 故选：． ( 题型02 ) 线线垂直的证明 5．（2024秋•邯郸期末）如图，已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且，，，为棱的中点，点在棱上，且． （1）证明：； （2）在棱上是否存在一点使平面？若存在，请指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【解析】证明：（1）连接，，， 四棱锥中，，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 在矩形中，， 因为，，， 所以，所以， 又，，所以平面， 又平面，所以， 解：（2）存在，为线段上靠近点的三等分点． 取的三等分点（靠近点，连接， 易知，，所以四边形是平行四边形，所以， 取中点，连接，所以，所以， 又平面，平面，则平面， 因为为中点，所以为的三等分点（靠近点， 连接，，所以， 又平面，平面，则平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 6．（2021春•沧州期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）解：为正三角形，为中点， ， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ， 为二面角的平面角， ， 又，， 底面为正方形． 又易得， 四棱的体积． （2）证明：由（1）知，平面，平面， ， 在正方形中，易知， ， 而， ， ， ， 平面， 平面， ． （3）解：设，连接，． 平面． 为直线与平面所成的角， 可求得，，， ， 又，， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 7．（2024春•邢台期末）已知正方体． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：连接． 在正方体中，平面， 平面，所以． 在正方形中，． 因为，、平面， 所以平面．因为平面， 所以； （2）取的中点，连接，，则． 在正方体中， 因为平面，平面，所以． 又因为，，、平面， 所以平面，平面，则． 又因为，所以为二面角的平面角． 连接，设正方体的棱长为4．在中， ，， ． 由余弦定理得． 故二面角的余弦值为． 8．（2024春•故城县校级期末）如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点，分别在棱，上（不含端点），，且，点在棱上，． （1）证明：； 【解析】（1）证明：如图，过点作，垂足为，连接， 因为，，所以， 又因为，，，平面，所以平面， 平面，所以平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面， 平面，所以，① 平面，平面， 所以， 因为为正方形，，平面中，， 又，即有，所以四边形是矩形， 因为，，所以， 又由已知得，， 所以四边形为矩形，所以，② 由①②，结合，，平面， 所以平面，平面， 所以； ( 题型03 ) 线面垂直的证明 9．（2024春•邢台期末）如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，求证：平面． 【解析】证明：菱形中，且，为的中点， 可得，因为， 在中，， 图①中，连接， 可得为等边三角形， 图②中，，， 所以平面，而平面， 所以， 又因为， 所以平面． 10．（2024春•邢台期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面． （1）若为边的中点，求证：平面； （2）求证：． 【解析】证明：（1）连接，在菱形中，， 为等边三角形， 又已知为的中点，， 又平面平面，平面平面， 由平面与平面垂直的性质可得平面； （2）已知为正三角形，为的中点，， 又由（1）知，且，、平面，平面， 而平面，则． 11．（2019春•定州市期末）如图，在四棱锥中，，，，，，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． 【解析】证明：（1）因为，，，所以， 所以． 因为，，所以平面． （2）因为为棱的中点，所以． 因为，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，所以平面． 因为，分别为棱，的中点，所以，所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 12．（2021春•河北期末）如图，在正四棱锥中，点，分别在棱，上，且． （1）证明：平面． （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：如图，连接，记，连接， 由题意可得四边形是正方形，， 则为的中点，且， 因为，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面， 因为，所以， 则平面． （2）设存在点满足条件，连接，，记，连接， 取的中点，连接， 因为，分别是，的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，则， 由（1）可知，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以， 故存在满足条件的点，此时． 13．（2024春•河北期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为，，，为的中点，为的中点， 连接，，设，连接， 可得四边形为矩形， 可得为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：因为平面，平面， 所以， 易证得，， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，为的中点， 所以， 又因为， 所以平面； （3）解：，， 可得，， 由（2）可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 14．（2024春•唐县校级期末）在正四棱柱中，，为棱中点． （1）证明平面． 【解析】（1）因为是正四棱柱，所以侧面， 而平面，所以， 又，，，平面， 所以平面； 15．（2024春•张家口期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，平面平面，平面平面． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）当为何值时，二面角的余弦值为． 【解析】（1）证明：菱形中，，平面，平面， 则平面， 而平面平面，平面， 所以； （2）证明：在平面内过点作于，平面平面，平面平面， 则平面，而平面，于是， 又平面，平面， 则，而，平面， 因此平面，又， 所以平面； （3）由（2）知平面，平面，则， 菱形为正方形，由平面，平面，得， 过作于，连接，， ，而，， 则，有， 于是，则， 即，是二面角的平面角， 令，， ，而， 在中，由余弦定理得， 解得， 所以当的值为时，二面角的余弦值为． ( 题型04 ) 面面垂直的证明 16．（2024春•廊坊期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面． 【解析】证明：（1）由题意可知：，，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，可得平面， 又因为，，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，可得平面， 且，，平面， 所以平面平面． （2）因为为正方形，则， 因为，，，则△△， 可得， 设，可知为的中点，则， 且，，平面， 可得平面， 由平面， 所以平面平面． 17．（2024春•唐县校级期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点． （1）证明：平面平面； 【解析】（1）证明：底面为正方形，则， 又平面，平面，． 且，，平面， 可得平面，由平面，可得， ，且为的中点，则， 由，，平面，可得平面， 且平面，平面平面． 18．（2024春•张家口期末）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折起使点到点的位置，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，证明：平面平面； （3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 又是的中点，，且， 又，且， ，且， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面； （2）证明：矩形中，，，是的中点， 易得，又， ，， 又，且， 平面，又平面， 平面平面； （3）由（2）可知平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 又为等腰直角三角形，为中点， 再过作于点，连接，则根据三垂线定理可得即为所求， 取中点，则易知，又， ， ， 故二面角的余弦值为． 19．（2024春•沧州期末）在如图所示的几何体中，，平面，四边形为菱形，，，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，， 因为是等边三角形，点为的中点， 所以， 又，，平面， 所以平面； （2）证明：如图，取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以， 又因为， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 由（1）知平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （3）解：因为平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面， 过点作的垂线，重足为，即， 所以平面，连接， 所以是直线与平面所成的角， 易知点为上靠近点的四等分点， 在中，，则， 因为平面，平面， 所以， 又，所以在中，， 因为平面，平面， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 20．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为上一点． （1）若点为中点，求证：平面； （2）若，，，平面平面，求证：平面平面． 【解析】证明：（1）连接交于，连接，如图所示： 因为为的中点，是的中点， 所以是的中位线，则， 又平面，平面， 所以平面； （2）在中，，，， 所以由余弦定理可得，， 则， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． ( 题型0 5 ) 垂直关系的探索性问题 21．（2024春•深州市校级期末）已知正方体的棱长为2，，，分别是，，的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：连接， 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以； 因为，分别为，，中点，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）解：取中点为， 因为，， 所以，，又， 所以，， 又， 可得，， 因为，，平面， 所以平面，此时， 则线段上存在点，为中点， 使得平面，此时． 1．（2024春•辛集市期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成△，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：，是的中点，， 故四边形是菱形，从而， 沿着翻折成△后，，， 又， 平面， 由题意，易知，， 四边形是平行四边形，故， 平面； （2）解：平面， 与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， △是正三角形，， 与平面所成的角为； （3）假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连结，，如下图： ，，，，四点共面， 又平面，， 四边形为平行四边形，故， 为中点， 故在线段上存在点，使得平面，且． （多选）2．（2023春•张家口期末）如图，已知正方体的棱长为1，是中点，是线段（包含端点）上任意一点，则　　 A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得直线与平面所成角为 C．在平面内一定存在直线，使得平面 D．存在点，使得平面 【解析】由于，故正确； 过作，垂足为，连接， 则为直线与平面所成角，则， 又因为，，，， 则四边形为平行四边形，因为平面，平面， 则，则四边形为矩形， 则，，， 当与或重合时，， 当时，，所以， 故，故错误； 对，显然直线与在底面内相交， 故平面与平面相交， 在平面内一定存在直线与交线平行， 则平面，故正确； 对，因为底面，平面， 所以，又，且，，平面， 所以平面，又平面，所以， 延长使得，再分别连接，， 因为，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 则异面直线与的夹角即为或其补角， 因为，，， 所以，所以，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，假设平面， 则平面与平面重合，显然假设不成立，故错误． 故选：． 3．（2021春•石家庄期末）如图1，在等腰梯形中，，，，，、分别为腰、的中点．将四边形沿折起，使平面平面，如图2，，别线段、的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面垂直，并给出证明： （Ⅲ）若为线段中点，在直线上是否存在点，使得面？如果存在，求出线段的长度，如果不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）证明：四边形是等腰梯形， 点为的中点，点为的中点， ， 平面平面，平面平面， 平面． （Ⅱ）解：在图2中，，这两个点，使得这两点所在直线与平面垂直． 证明：连结，， 平面，， ，且，四边形是菱形，’ ， ，，这两点所在直线与平面垂直． （Ⅲ）解：为线段中点，假设在直线上存在点，使得面． 在线段上取点，使得， 连结线段，交于点， 由题意得平面平面，平面， 就是所求的点，． 4．（2021春•保定期末）如图，梯形中，，过作于，沿把折起，设点折起后的位置为，且，． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使直线平面？并说明理由； （3）求直线与平面所成的角． 【解析】（1）证明：连接，因为，， 所以，故， 在中，， 在中，， 所以，故， 又，，平面， 则平面，又平面， 所以平面平面； （2）解：在棱上存在中点，使直线平面．证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为，分别为，的中点， 所以且， 又且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面， 故当为的中点时，直线平面； （3）解：取的中点，连接，，作，垂足为， 在四边形中，，，且，， 所以四边形为正方形，则， 故平面， 则点到平面的距离即为点到平面的距离， 因为，，，，平面， 故平面，又平面， 所以， 因为，平面，则平面，又平面， 所以， 在中，，， 在中，， 因为，，，则平面， 所以点到平面的距离为， 即点到平面的距离为， 故直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角为． 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