精品解析： 2025年山东省东营市垦利区中考三模数学试题

二〇二五年初中学业水平模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 3的平方根是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，结合一个正数的平方根有两个，互为相反数，即可作答． 【详解】解：3的平方根是， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式乘单项式，平方差公式，积的乘方，单项式乘以多项式，解题的关键是熟悉这些基本的计算法则． 根据合并同类项法则，平方差公式，积的乘方，单项式乘以多项式分别求出每个式子的值，再判断即可； 【详解】解:A、和不是同类项不能合并，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、 ，故本选项计算错误； D、，故本选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．理解看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线是解题关键．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，其图形为： 故选：B． 4. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 5. 如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，延长交于点，求出和，即可得到答案． 【详解】解：延长交于点， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 6. 小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 将平行四边形分成平行四边形和平行四边形两部分，可得四边形内阴影部分是四边形面积的一半，四边形内阴影部分是四边形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 【详解】∵平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形内阴影部分面积四边形面积， 四边形内阴影部分面积四边形面积， ∴阴影部分的面积平行四边形的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：B． 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，先判断是平行四边形，然后根据矩形和平行四边形的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，， 又∵， ∴是平行四边形， ∴，， 故B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 8. 已知二次函数，当时，则y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先化为顶点式，再确定开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质确定取值范围． 【详解】解：∵， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∵当时，；当时，， 当时，． 故选：A． 9. 对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦（，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，圆的基本特点，根据题意可得都在上，由，可得点B只能在C、D这两个位置，同理点A只能在，这两个位置，进而确定或，再确定对应情形下旋转的角度即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的半径为1， ∴都在上， 如图， ∵， ∴劣弧（不包括端点）上的任意一点到点P的距离都小于1，优弧（不包括端点）上任意一点到点P的距离大于1， ∴点B只能在C、D这两个位置， 同理可得点A只能在，这两个位置， ∴或， 当时，此时旋转角度为180度，符合题意， 当，此时点A旋转到其对应点时的旋转角度大于90度，点B旋转到其对应点时的旋转角为90度，不符合题意， ∴， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故选：B． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI……要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据0.000000005用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：0.000000005用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再根据完全平方公式进行第二次因式分解．解题的关键是掌握公式的特点以便利用公式法进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 某城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）、采购小组分别从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 方差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.5 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购______苗圃的树苗． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，平均数的意义，方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，稳定性越好，根据方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的平均高度，进而确定选购哪家的树苗． 【详解】解：由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适； 又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗． 故答案为：丁． 14. 如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为_____． 【答案】75°． 【解析】 【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ADB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABD的度数，继而求得∠BAD的度数． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACD＝15°， ∴∠ABD＝∠ACD＝15°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝75°． 故答案为75°． 【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键． 15. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】14． 【解析】 【分析】利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线所成的直角三角形，求出BC，再用40去减即可． 【详解】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米， （米）， （米）； 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用解直角三角形的知识，准确进行计算． 16. 某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二次函数，根据总利润单件利润销售量，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故， 故答案为：． 17. 如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．如图，作于，由，可得，由的几何意义可得 ，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴， 由的几何意义可得 ，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 18. 如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时，_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系及切线的性质，解直角三角形，一次函数的性质，含30度角的直角三角形等知识点，通过解直角三角形找出是解题的关键．过点作直线于点，由直线的解析式可得出，根据切线的性质结合解直角三角形即可得出、、、…、的值，代入即可得出结论． 【详解】解：过点作直线于点，如图所示． ∵直线解析式为， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得：， 同理：可求出，，…， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中， ． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式性质，分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式性质，绝对值意义，进行计算即可； （2）先根据分式混合运算法则，进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 20. 为了让学生紧跟信息时代步伐，提升信息技术素养，某校组织了一次全校2000名学生参加的“AI知识竞赛”，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 b a 0.30 80 0.40 （1）随机抽取的学生数量为 ， ， ； （2）请补全频数分布直方图； （3）若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段对应的扇形的圆心角为 度； （4）本次大赛得分最高的4名学生中，男女生各有2名，学校为了进一步提高学生信息技术素养，现从这4名学生中随机抽取2名做现场技术展示，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）200，60，0.15 （2） 补全直方图如图所示： （3）54 （4） 【解析】 【分析】本题考查分布表，直方图，求扇形统计图中圆心角的度数，利用列表法求概率，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）利用频数等于总数乘以频率进行计算即可； （2）根据（1）中结果，补全直方图即可； （3）360度乘以分数段的频率进行计算即可； （4）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ； 故答案为：54； 【小问4详解】 列表如下： 男 男 女 女 男 男，男 男，女 男，女 男 男，男 男，女 男，女 女 女，男 女，男 女，女 女 女，男 女，男 女，女 共12等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴． 21. 如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，，连接．过点作，垂足为，直线与交于点． （1）求证：是的切线； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵为的半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证； （）连接，由圆周角定理可得，所以，则，最后通过角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【答案】2.4米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握坡度是坡角的正切值． 延长交于点E，根据坡道的坡比，可得，即可求出米，进而得出米，再证明，则，设，，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， ， ， ， ， ， ． ， ． ∴， 设，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴米． 答：点D到的距离的长为2.4米． 23. 综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用：______元． 素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． 任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】任务1：；任务2：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元；任务3：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 任务1：根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； 任务2：根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； 任务3：根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】解：任务1：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：；； 任务2：由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元． 任务3：设每年行驶里程为， 由题意，得， 解得． 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 24. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______，______； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 解：， 理由如下：如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质． （1）设交于点G，由，得，而，，即可根据“”证明，所以，，则，于是得到问题的答案； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论． 【小问1详解】 如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：30． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； （3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，满足条件的点M的坐标有或或 【解析】 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【小问1详解】 解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． 【小问3详解】 解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年初中学业水平模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 3的平方根是（ ） A. B. C. D. 3 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当时，则y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦（，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI……要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据0.000000005用科学记数法表示为______． 12. 因式分解：______． 13. 某城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）、采购小组分别从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 方差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.5 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购______苗圃的树苗． 14. 如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为_____． 15. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据：，） 16. 某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为______． 17. 如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为________． 18. 如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时，_________． 三．解答题（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中， ． 20. 为了让学生紧跟信息时代步伐，提升信息技术素养，某校组织了一次全校2000名学生参加的“AI知识竞赛”，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 b a 0.30 80 0.40 （1）随机抽取的学生数量为 ， ， ； （2）请补全频数分布直方图； （3）若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段对应的扇形的圆心角为 度； （4）本次大赛得分最高的4名学生中，男女生各有2名，学校为了进一步提高学生信息技术素养，现从这4名学生中随机抽取2名做现场技术展示，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好是一男一女的概率． 21. 如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，，连接．过点作，垂足为，直线与交于点． （1）求证：是的切线； （2）当，，时，求的长． 22. 随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 23. 综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用：______元． 素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． 任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 24. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______，______； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想之间的数量关系并说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； （3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $