2025年广东省广州市中考数学保温练习卷

2025年广州市中考数学保温练习卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（    ） A．B．C．D． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11 3．若分式的值为零，则x等于（　　） A．0 B．2 C． D． 4．三角形的面积为5，底边长为，底边上的高为，则与的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 7．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（    ） A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3 C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 9．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 10．如图，在矩形中，，，连接，以点C为圆心，为半径作弧交于点E，连接．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则a= ． 12．第九届亚洲冬季运动会于年月日在哈尔滨正式开幕，它点燃了中国人参与冰雪运动的热情，比赛项目包含“冰球”“单板滑雪”和其他项目共计个小项，根据调查各项目参赛人数结果绘制成扇形统计图（如图），则“单板滑雪”所在扇形的圆心角的度数为 ． 13．关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 14．从2，3，3，4中随机抽取两个数，抽到两个都是这组数据的众数的概率 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 16．已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿直线翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为 ． 三、解答题 17．（本小题4分）解不等式组： 18．（本小题4分）如图，在中，，求的长度． 19．（本小题4分）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 20．（本小题6分）如图，在中，，，为上一点，且到，两点的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连结，若，，求的长． 21．（本小题8分）如图，已知，若， (1)在边上找一点D，使D到的两边距离相等，用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的条件下，若，连接，求的长． 22．（本小题10分）在《黑神话·悟空》中，“天命人”需要跨越一座被妖雾笼罩的山峰，由于雾气被施法，无法飞行，只能缓缓爬山，路线示意图如图②，“天命人”从山脚出发，沿走400米到点，再沿到山顶点，已知山高为384米，，，交的延长线于点，，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求“天命人”从山脚点到达山顶点共走了多少米？（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，） 23．（本小题12分）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 24．（本小题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，当时，抛物线取得最大值为，求的值； (3)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、H），求的取值范围． 25．（本小题12分）如图1，已知四边形中， (1)点、分别是、边上动点，且，连接与，交于点，求的度数（用表示）； (2)当时， ①点是边上动点，将沿着翻折，若点的对应点刚好落在对角线上，求此时的长度； ②如图2，在上运动，在射线上运动，与交于点，且满足，是中点，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的判断，根据定义逐项判定，即将一个图形绕某点旋转后能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以A不符合题意； B、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以B不符合题意； C、因为图形绕某点旋转后能与本身重合，所以C符合题意； D、因为图形绕某点旋转后不能与本身重合，所以D不符合题意．故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握是解题的关键． 若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得． 【详解】A、3，4，7， ∵， ∴3，4，7的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； B、6，8，15， ∵， ∴6，8，15的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； C、5，12，13， ∵， ∴5，12，13的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形； D、5，5，11， ∵， ∴5，5，11的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形．故选：C． 3．C 【分析】分式有意义时，分母不为零；分式的值为零时，分子等于零，据此可得，求解即可． 【详解】∵分式的值为零， ∴，解得，故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值为零时的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键． 4．A 【分析】根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解． 【详解】解：∵底边长为x，底边上的高为y的三角形面积为， ∴， ∴．故选：A 【点睛】本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到x、y的关系式是解题关键． 5．C 【分析】此题主要考查了合并同类项以、同底数幂的除法、积的乘方及单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项以、同底数幂的除法、积的乘方及单项式乘单项式运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误．故选：C． 6．A 【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可． 【详解】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为．故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴，故选：C． 8．A 【分析】利用函数图象，写出抛物线在双曲线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当或时，抛物线在双曲线上方， 所以不等式的解集为或．故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组，解题的关键是掌握对于二次函数、、是常数，与不等式的关系可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，利用交点直观求解． 9．B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理，熟练掌握点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理是解题的关键；过点O作于点D，连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在内；故选B． 10．A 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，特殊角的三角函数．熟练掌握矩形的性质，扇形的面积公式，特殊角的三角函数是解题的关键． 利用特殊角的三角函数求出，再根据矩形的性质求出的度数，最后利用阴影部分面积求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， ， ，则． 阴影部分面积 ．故选A． 11．-3 【分析】根据一元二次方程解的定义把代入x2﹣2x+a＝0即可求得答案. 【详解】将代入x2﹣2x+a＝0得：，解得：，故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，本题逆用一元二次方程解的定义是解题的关键. 12． 【分析】本题考查了求扇形统计图的圆心角，利用乘以“单板滑雪”所占的百分比，即可求解． 【详解】解：“单板滑雪”所占的百分比为， “单板滑雪”所在扇形的圆心角的度数为．故答案为： ． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，∴，故答案为：． 14．【分析】本题主要考查概率公式和众数的定义，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．在数据2，3，3，4中，随机抽取两个数的所有情况为，，，，，，共6种，抽到两个都是3的情况只有1种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：2，3，3，4的众数为3， 所以在数据2，3，3，4中，随机抽取两个数的所有情况为，，，，，，共6种，抽到两个都是3的情况只有1种， 所以抽到两个都是这组数据的众数的概率，故答案为：． 15．【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义． 根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解： 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点的坐标关于原点对称， ∵，， ， ， ，是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得 ∴ ∵反比例函数的图形位于二、四象限 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及，根据解直角三角形得，根据折叠性质，，然后根据勾股定理进行列式，即． 【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴， ∵与的图象交于点，∴把代入，得出， ∴，把代入，解得， ∴反比例函数解析式为，设， 在，∴， ∵点B为y轴上一点，将沿翻折得到， ∴，， ∴， ∴， 解得或（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为，故答案为：． 17． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据，得到，列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 19．， 【分析】本题考查分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵x是方程的根， ∴， ∴原式． 20．(1)图见解析 (2)4 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理： （1）根据题意，得到点在线段的中垂线上，尺规作出线段的中垂线即可； （2）设，则，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图点即为所求； （2）如图， ∵点在线段的中垂线上， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 21．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了角平分线的性质，尺规作角平分线，，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）尺规作出的平分线即可； （2）过D作于E，于F，根据角平分线的性质求出，，然后利用求出，然后利用含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：过D作于E，于F，如图， ∴， ∵是的角平分线，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 22．(1)的长为米 (2)“天命人”从山脚点到达山顶点共走了米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由含角的直角三角形的性质即可得解； （2）证明四边形为矩形，得出米，求出米，解直角三角形得出米，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，米， ∴米， 即的长为米； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴“天命人”从山脚点到达山顶点共走了米． 23．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 24．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标为，再分当和时，两种情况讨论，分别把或代入求解即可； （3）先求得顶点坐标为，分顶点在线段上或顶点落在上方时，两种情况讨论，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大， ∴时，为最大值，即， 解得或（舍）； Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小， 时，为最大值，即， 解得或（舍）， 综上所述，的值为或； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时， 即：， 解得：； Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是或． 25．(1) (2)①；②4 【分析】（1）证明，推出，即可求解； （2）①证明四边形是正方形，得到，，再结合折叠的性质，得到是等腰三角形，即可求解； ②先证得，得到，进而得到点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧，设的中点为O，连接，如图，在上取点Q，使，连接，证明，得到，则，可得当三点共线时最小，即最小，然后作辅助线、构建直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ； （2）解：①在四边形中，， 四边形是正方形， ，， 设点C的落点为G，由折叠的性质可知，，，， 是等腰三角形， ， ； ②，， ， ， ， ∴， ， 连接，是中点， ∴， ∴点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧， 设的中点为O，连接，如图， 则，， 在上取点Q，使，连接，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图，则， ∴当三点共线时最小，即最小， 作，垂足分别为H、K， 则四边形是矩形，    ， ∴， 在直角三角形中，， ， ∴，， 则在直角三角形中，， 即的最小值为4． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理以及点与圆上距离的最值等知识，比较难的是最后一个小题，正确作出辅助线、利用相似三角形的性质转化带根号系数的线段是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$