专题2长方体（一）-2025年五升六数学暑假专项提升（北师大版）

专题2 长方体（一） 1、长方体和正方体都是由6个面围成的立体图形。长方体和正方体各部分的名称如下所示: 2、长方体的特点 (1)长方体有8个顶点、6个面、12条棱; (2)长方体相对的两个面完全相同，6个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形; (3)长方体相对的棱长度相等。 3、正方体的特点。 (1)正方体有8个顶点、6 个面、12 条棱; (2)正方体的6个面完全相同，都是正方形; (3)正方体每条棱的长度都相等。 4、长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 5、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体因此它是特殊的长方体 6、利用长方体和正方体的面、棱的特点可以判断一些面是否可以组成长方体或正方体。 7、长方体的展开图是由6个小长方形(特殊情况下有2个正方形)组成的，相对的面完全隔开。 8、正方体的展开图是由6个小正方形组成的，且相对的面也完全隔开。由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。 9、根据长方体和正方体的特点，可以判断长方体和正方体的展开图中哪两个面是相对的。 10、由于长方体并不是每个面都相同，有时可直接根据面的大小来判断(相对的面大小相同)。 11、长方体(或正方体)6个面的面积之和，叫作它的表面积。 12、长方体的表面积=长x宽X2+长x高X2+宽X高X2=(长x宽+长x高+宽X高)X2。如果用S 表示长方体的表面积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的表面积公式可以用字母表示为 S=2ab+2ah+2bh 或S=2(ab+ah+bh) 13、正方体的表面积=棱长x棱长x6。如果用$表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长。 那么正方体的表面积公式可以用字母表示为 S=6a2。 14、求露在外面的面积，要先判断露在外面的面的个数，再用一个面的面积乘个数。 15、数堆放在一起的正方体露在外面的面的个数时，要先观察正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数中包含的规律。 一、选择题 1．（24-25五年级下·福建泉州·期中）下列四幅图，不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特点，“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成正方体；据此解答。 【详解】 A．，属于“2—3—1”型，是正方体的展开图，能折成正方体； B．，属于“1—4—1”型，是正方体的展开图，能折成正方体； C．，不是正方体的展开图，不能折成正方体； D．，属于“2—3—1”型，是正方体的展开图，能折成正方体。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）如图，李叔叔用两个完全相同的小正方体拼成一个长方体，棱长之和减少了，这两个小正方体原来的棱长总和是（    ）dm。 A．3 B．18 C．36 D．72 【答案】D 【分析】用两个完全相同的小正方体拼成一个长方体，少了2个面和8个棱长，即8个棱长的和是24dm，每条棱长是3dm，根据正方体的棱长和＝棱长×12，再乘2即可得出这两个小正方体原来的棱长总和。 【详解】24÷8＝3（dm） 3×12×2＝72（dm） 则这两个小正方体原来的棱长总和是72dm。 故答案为：D 3．（24-25五年级下·广东深圳·期中）如图，淘气用图中两种长方形纸板和第三种长方形纸板拼长方体，第三种长方形纸板可能是（    ）。 A．长3cm宽2cm的长方形 B．长6cm宽3cm的长方形 C．长3cm宽1cm的长方形 D．长5cm宽3cm的长方形 【答案】A 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 已知两种长方形纸板分别是4×2、4×3，那么拼成的长方体的长是4cm、宽是2cm、高是3cm，根据长方体的特征得出第三种长方形纸板。 【详解】如图： 第三种长方形纸板可能是长3cm宽2cm的长方形。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·广东深圳·期中）如图是笑笑给妈妈准备的母亲节礼物，若接头处的彩带长18厘米，则捆绑该礼盒至少用（    ）分米的彩带。 A．15.2 B．17 C．33.2 D．25 【答案】B 【分析】观察图形可知，捆绑该礼盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【详解】18厘米＝1.8分米 2×2＋2×2＋1.8×4＋1.8 ＝4＋4＋7.2＋1.8 ＝17（分米） 则捆绑该礼盒至少用17分米的彩带。 故答案为：B 5．（24-25五年级下·山西吕梁·期中）如图，在这个大正方体上减少箭头所指的小正方体，若小正方体的棱长为3cm，则大正方体的表面积（    ）。 A．保持不变 B．增加18cm2 C．增加36cm2 D．减少25cm2 【答案】C 【分析】看图可知，大正方体的表面积会减少1个边长是3cm的小正方形的面积，但同时又会增加5个小正方形的面积，即一共会增加4个小正方形的面积。正方形面积＝边长×边长，据此先求出1个小正方形的面积，再乘4即可求出大正方体表面积增加了多少。 【详解】3×3×4 ＝9×4 ＝36（cm2） 所以，大正方体的表面积增加36cm2。 故答案为：C 6．（23-24五年级下·广西贺州·期中）把一个长方体切成两个长方体，下面（    ）种切法增加的表面积最少。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体切割的特征，明确将一个长方体切成两个长方体，如果平行于上、下底面切割，表面积增加2个（长×宽）的面积；如果平行于前、后面切割，表面积增加2个（长×高）的面积，如果平行于左、右面切割，表面积增加2个（宽×高）的面积，分别计算出增加的表面积，再进行比较，即可解答。 【详解】A．表面积增加了：6×5×2＝60； B．表面积增加了：5×4×2＝40； C．表面积增加了：6×4×2＝48； D．表面积增加了：6×5×2＝60。 60＝60＞48＞40，这种切法表面积增加最少。 把一个长方体切成两个长方体，种切法增加的表面积最少。 故答案为：B 7．（24-25六年级上·吉林长春·期末）学校要粉刷一间教室的四壁和天花板，教室长8米，宽6米，高3米，门窗面积共15平方米，工人师傅想知道需要粉刷的面积是多少平方米？（    ） A．120平方米 B．129平方米 C．117平方米 D．144平方米 【答案】C 【分析】根据题意，粉刷教室的四壁和天花板，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积。 【详解】8×6＋8×3×2＋6×3×2 ＝48＋48＋36 ＝132（平方米） 132－15＝117（平方米） 需要粉刷的面积是117平方米。 故答案为：C 8．（23-24六年级下·四川成都·期末）下面表达关系不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A．长方体和正方体都是立体图形，正方体是特殊的长方体，据此判断； B．平行四边形和正方形都是特殊的四边形，正方形是特殊的平行四边形，据此判断； C．在同一平面内，两条直线不相交就平行，当两条直线相交成直角时它们垂直，即垂直是相交的一种特殊形式，据此判断； D．三角形按照角可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形和等边三角形，据此判断。 【详解】A．立体图形包括长方体和正方体，长方体包括正方体，该表达关系正确； B．平行四边形包括正方形，该表达关系正确； C．垂直是相交的一种特殊形式，相交包括垂直，该表达关系正确； D．等腰三角形可能是钝角三角形也可能是锐角三角形也可能是直角三角形，该表达关系不正确。 故答案为：D 9．（23-24五年级下·四川成都·期末）将4个长8cm，宽6cm，高1cm的长方体盒子用彩纸包装在一起，最省包装纸的包装方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方体的表面积的意义可知，将4个8cm、宽6cm，高1cm的长方体盒子用彩纸包在一起，要想最节省包装纸，也就是把4个长方体盒子的最大面重合叠起来进行包装。据此解答即可。 【详解】 把长方体最大面叠起来最节省包装，因此，按此方法最省包装纸。 故答案为：D 10．（22-23五年级下·广东清远·期末）把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了（    ）。 A．32平方厘米 B．16平方厘米 C．8平方厘米 D．4平方厘米 【答案】B 【分析】根据题意作图如下： 从图中可知：这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了4个面的面积，即减少的面积＝棱长×棱长×4；分别代入数据计算即可。 【详解】2×2×4＝16（平方厘米） 把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了16平方厘米。 故答案为：B 11．（23-24五年级下·广东惠州·期末）一根长方体木料长3米，宽和高都是3分米，把它锯成5段，表面积最少增加（    ）。 A．27平方分米 B．36平方分米 C．45平方分米 D．72平方分米 【答案】D 【分析】根据题意，把一个长方体木料锯成5段，则要锯5－1＝4次；每锯1次增加2个切面的面积，锯4次增加8个切面的面积；从这个长方体木料的长、宽、高可知，“宽×高”的面积最小，要使锯成5段增加的表面积最少，那么要平行于“宽×高”的面锯4次，表面积最少增加8个“宽×高”的面积。 【详解】3米＝30分米 3×3＜30×3 5－1＝4（次） 3×3×（4×2） ＝9×8 ＝72（平方分米） 表面积最少增加72平方分米。 故答案为：D 12．（23-24五年级下·福建南平·期中）如图：一个正方体六个面上各有一个数字，分别是1、2、3、4、5、6，观察下图，与2相对的面是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【答案】C 【分析】从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，则写有数字1的面与写有数字5的面相对；与写有数字6的面相邻的面上数字是4，1，5，3，则写有数字6的面与写有数字2的面相对；与写有数字3的面相邻的面上数字是1，2，5，6，则写有数字3的面与写有数字4的面相对，据此解答。 【详解】根据分析可知，与2相对的面是6。 故答案为：C 13．（23-24五年级下·广东深圳·期中）用一根铁丝正好制成一个棱长为8分米的正方体灯笼框架，如果用同样长的铁丝正好制成一个长和宽都是6分米的长方体灯笼框架，那么这个长方体灯笼框架的高是（    ）。 A．12分米 B．16分米 C．48分米 D．36分米 【答案】A 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，先求出正方体的棱长总和，棱长总和不变，利用长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即可计算出长方体灯笼框架的高。 【详解】长方体灯笼框架的高是： （分米） 这个长方体灯笼框架的高是12分米。 故答案为：A 二、填空题 14．（24-25五年级下·陕西渭南·期中）一种工艺蜡烛盒高9厘米，如图，底面和四周都是玻璃。底面是边长6厘米的正方形。制作这样的蜡烛盒至少需玻璃( )平方厘米。 【答案】252 【分析】求制作这样的蜡烛盒需要玻璃的面积，就是求这个长方体蜡烛盒五个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】6×6＋（6×9＋6×9）×2 ＝36＋（54＋54）×2 ＝36＋108×2 ＝36＋216 ＝252（平方厘米） 一种工艺蜡烛盒高9厘米，如图，底面和四周都是玻璃。底面是边长6厘米的正方形。制作这样的蜡烛盒至少需玻璃252平方厘米。 15．（24-25五年级下·广东茂名·期中）制作一个棱长为7cm的正方体框架，至少需要( )cm的铁丝，如果把它的六个面都贴上彩纸，至少需要彩纸( ) cm2。 【答案】 84 294 【分析】求至少需要铁丝的长度，就是求正方体的棱长总和，正方体棱长总和＝棱长×12；求需要彩纸的面积，就是求正方体的表面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6。据此解答。 【详解】7×12＝84（cm） 7×7×6 ＝49×6 ＝294（cm2） 故制作正方体框架至少需要84cm铁丝，如果六个面都贴上彩纸，至少需要彩纸294 cm2。 16．（23-24六年级下·陕西西安·开学考试）把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了 平方分米。 【答案】24 【分析】锯成4个一样的正方体，需要锯3次，每锯1次就增加两个切面的面积，也就是正方形的面，所以一共增加6个面；增加的一个面的面积是（8÷4）×（8÷4），由此即可解答 【详解】（8÷4）×（8÷4）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方分米） 把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了24平方分米。 17．（24-25五年级下·全国·课后作业）把3个棱长是5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 【答案】100 【分析】这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了4个面的面积，即减少的面积＝棱长×棱长×4；代入数据计算即可。 【详解】5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 所以表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少100平方厘米。 18．（23-24五年级下·四川成都·期末）用棱长2分米的正方体砖块像下图一样搭台阶，共搭了6级，共用了( )块这样的砖块，如果将每级台阶朝上的一面铺上防滑垫，防滑垫的面积是( )平方分米。 【答案】 105 120 【分析】从图中可以看出，每级台阶用砖块的数量分别是：第1级用了5块，第2级用了5×2＝10块，第3级用了5×3＝15块……，据此可推断出第4级、第5级、第6级用了（5×4）块、（5×5）块、（5×6）块，再把每级的砖块相加，即是6级台阶共用砖块的总块数。 如果将每级台阶朝上的一面铺上防滑垫，从图中可以看出，每级台阶朝上露出了5个面，共有6级台阶，所以一共露出了5×6＝30个面；每个面是边长为2分米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘30即可求出防滑垫的面积。 【详解】6级台阶共用砖块： 5＋5×2＋5×3＋5×4＋5×5＋5×6 ＝5＋10＋15＋20＋25＋30 ＝105（块） 每个面的面积是：2×2＝4（平方分米） 6级台阶朝上的面共有：5×6＝30（个） 防滑垫的面积：4×30＝120（平方分米） 共用了（105）块这样的砖块，防滑垫的面积是（120）平方分米。 19．（23-24五年级下·陕西榆林·期末）用一根长96厘米的铁丝焊一个正方体框架（没有剩余），若要在这个正方体框架的表面焊上一层铁皮，至少需要( )平方厘米的铁皮。 【答案】384 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】96÷12＝8（厘米） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 至少需要384平方厘米的铁皮。 20．（23-24五年级下·广东惠州·期中）一个正方体的棱长是3cm，如果棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大到原来的( )倍。 【答案】 2 4 【分析】正方体的棱长和＝棱长×12；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的棱长扩大到原来的2倍，棱长总和扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的（2×2）倍。 【详解】2×1＝2 2×2＝4，这个正方体的棱长总和扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的4倍。 21．（22-23五年级下·安徽亳州·期中）至少需要( )个小正方体才能拼成一个大正方体；如果小正方体的棱长是2cm，那么大正方体的表面积是( )cm2。 【答案】 8 96 【分析】 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，小正方体拼大正方体，如图，据此确定至少需要的个数；大正方体的棱长＝小正方体棱长×2，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，即可求出大正方体的表面积。 【详解】2×2＝4（cm） 4×4×6＝96（cm2） 至少需要8个小正方体才能拼成一个大正方体；如果小正方体的棱长是2cm，那么大正方体的表面积是96cm2。 22．（23-24五年级下·广东湛江·期末）一个长方体木块截成两个相同的正方体后，表面积增加了18cm2，原来长方体木块的表面积是( )cm2。 【答案】90 【分析】根据题意，一个长方体木块截成两个相同的正方体后，表面积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，截面是相同的正方形； 用增加的表面积除以2，求出正方体一个面的面积；根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出一个正方体的表面积，再乘2求出两个正方体的表面积，最后减去增加的表面积，即是原来长方体的表面积。 【详解】正方体一个面的面积：18÷2＝9（cm2） 1个正方体的表面积：9×6＝54（cm2） 2个正方体的表面积：54×2＝108（cm2） 原来长方体的表面积：108－18＝90（cm2） 原来长方体木块的表面积是90cm2。 23．（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】296 【分析】观察图形可知，这个组合图形的表面积可以看做是棱长6厘米的正方体的表面积与棱长2厘米的正方体的4个面的面积与棱长是l厘米的正方体的4个面的面积之和，据此利用正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可解答。 【详解】1×1×4×4＋2×2×4×4＋6×6×6 ＝4×4＋4×4×4＋36×6 ＝16＋16×4＋216 ＝16＋64＋216 ＝80＋216 ＝296（平方厘米） 这个立体图形的表面积是296平方厘米。 三、判断题 24．（23-24五年级下·陕西西安·期末）如果把5个棱长为1厘米的正方体排成一个长方体后，那么表面积比原来减少了6平方厘米。( ) 【答案】× 【分析】把5个棱长为1厘米的正方体排成一个长方体后，表面积比原来减少了8个正方形的面积，先求出1个正方形的面积，再乘8，求出减少的总面积。据此解答即可。 【详解】1×1×8＝8（平方厘米） 则如果把5个棱长为1厘米的正方体排成一个长方体后，那么表面积比原来减少了8平方厘米。原题干说法错误。 故答案为：× 25．（23-24五年级下·广东惠州·期末）包装时重叠的面越大，表面积越小，越节约包装纸。( ) 【答案】√ 【分析】根据长方体表面积的意义可知，要想省包装纸，就要把长方体最大的面重叠起来，使重叠的面积最大，其表面积最小，据此判断即可。 【详解】由分析可得：包装时重叠的面越大，表面积越小，越节约包装纸，原题说法正确。 故答案为：√ 26．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，则表面积也扩大到原来的2倍。( ) 【答案】× 【分析】假设正方体的棱长为1厘米，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”计算出正方体的表面积；正方体的棱长扩大到原来的2倍，则棱长变为1×2＝2厘米，同样计算出变化后的正方体的表面积，最后用变化后的表面积除以变化前的表面积计算出表面积扩大的倍数。 【详解】1×1×6＝6（平方厘米） 1×2＝2（厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 24÷6＝4 所以表面积扩大到原来的4倍，而非2倍。 故答案为：× 27．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）若一个正方体的棱长之和是12厘米，则这个正方体的表面积是6平方厘米。( ) 【答案】√ 【分析】已知正方体的棱长之和是12厘米，根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，再根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求出它的表面积。 【详解】12÷12＝1（厘米） 1×1×6＝6（平方厘米） 若一个正方体的棱长之和是12厘米，则这个正方体的表面积是6平方厘米。 原题说法正确。 故答案为：√ 28．（21-22五年级下·陕西咸阳·期末）用可以做成一个，数字“1”所在面相对面上的数字是“6”。( ) 【答案】√ 【分析】 是正方体展开图的“1－4－1”型，中间的4个小正方形中，相对的两个小正方形中间隔着一个小正方形是正方体的两个对面，而上、下相对的2个小正方形是相对的面。 【详解】通过分析可得：数字“1”所在面相对面上的数字是“6”。原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 29．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）求下列图形的表面积。（单位：） 【答案】304cm2；384cm2 【分析】（1）根据，代入数据计算即可。 （2）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。 【详解】（1） （cm2） （2） （cm2） 30．（23-24五年级下·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 【答案】616cm2 【分析】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是14cm，宽是10cm，高是7cm，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【详解】（14×10＋14×7＋10×7）×2 ＝（140＋98＋70）×2 ＝308×2 ＝616（cm2） 31．（23-24五年级下·辽宁·假期作业）计算如图所示的图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】150平方厘米 【分析】根据图示可知，这个图形是由一个正方体叠加在一个长方体上面，叠加部分减少正方体2个面的面积，即图示的表面积为长方体的表面积加上正方体4个面的面积，结合长方体的面积公式（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、正方体的面积公式：边长×边长×6，代入数据，计算即可。 【详解】 ＝9×4＋（24＋24＋9）×2 ＝36＋57×2 ＝36＋114 ＝150（平方厘米） 五、解答题 32．（24-25五年级下·福建泉州·期中）在科技节活动中，同学们制作了一些棱长为6厘米的正方体小零件，打算将它们装入一个大收纳箱中进行展示。大收纳箱的尺寸如图所示。（大收纳箱材料厚度忽略不计） （1）大收纳箱最多能放（    ）个小零件。 （2）为了让收纳箱更美观，同学们要在大收纳箱的四周（不包含上下面）用彩纸装饰，至少需要多少平方厘米的彩纸？（连接处损耗忽略不计） （3）现要用彩带捆绑这个收纳箱（如图所示），结头处要用20厘米的彩带，捆绑这个收纳箱，需要用多少厘米的彩带？ 【答案】（1）6； （2）600平方厘米； （3）120厘米 【分析】（1）把棱长为6厘米的正方体小零件装入一个大收纳箱中，看大收纳箱的长、宽、高里各有几个正方体的棱长，再相乘，即是大收纳箱最多能放正方体小零件的个数。 （2）要在大收纳箱的四周（不包含上下面）用彩纸装饰，求至少需要彩纸的面积，就是求前后面、左右面共4个面的面积之和，根据“长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 （3）从图中可知，彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结的长度，代入数据计算，求出捆绑这个收纳箱需要彩带的长度。 【详解】（1）18÷6＝3（个） 12÷6＝2（个） 10÷6＝1（个）……4（厘米） 一共：3×2×1＝6（个） 大收纳箱最多能放6个小零件。 （2）18×10×2＋12×10×2 ＝360＋240 ＝600（平方厘米） 答：至少需要600平方厘米的彩纸。 （3）18×2＋12×2＋10×4＋20 ＝36＋24＋40＋20 ＝120（厘米） 答：需要用120厘米的彩带。 33．（24-25五年级下·山西吕梁·期中）在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是多少平方厘米？ 【答案】736平方厘米 【分析】分析题目，按照第一种切法表面积增加的160平方厘米，正好是长方体的左、右两个面的面积；按照第二种切法表面积增加的256平方厘米，正好是长方体前、后两个面的面积；按照第三种切法表面积增加的320平方厘米，正好是长方体上、下两个面的面积；把它们相加即可求出原来长方体彩砖的表面积，据此解答。 【详解】160＋256＋320 ＝416＋320 ＝736（平方厘米） 答：原来每块长方体彩砖的表面积是736平方厘米。 34．（24-25五年级下·陕西渭南·期中）张老师为了让同学们通过手工活动，发挥想象力，创造出独一无二的作品，举办了以“创意无限，乐趣无穷”的手工活动。如图是明明用硬纸板制作的一个长方体抽纸盒，上面有一个面积是12平方厘米的抽口，制作这个抽纸盒至少需要硬纸板多少平方厘米？（接头、耗损忽略不计） 【答案】868平方厘米 【分析】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出完整长方体的表面积，再减去抽口的面积即可。 【详解】（20×10＋20×8＋10×8）×2－12 ＝（200＋160＋80）×2－12 ＝440×2－12 ＝880－12 ＝868（平方厘米） 答：制作这个抽纸盒至少需要硬纸板868平方厘米。 35．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）一间教室的长是8米，宽是6米，高是4米，要粉刷教室的四壁和顶面，除去门窗和黑板面积是24平方米，如果每平方米用涂料2千克，粉刷这间教室共需涂料多少千克？ 【答案】272千克 【分析】粉刷的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－除去门窗和黑板的面积，代入数据求出粉刷的面积。再用它乘每平方米用涂料重量，可求出粉刷这间教室共需涂料多少千克。 【详解】8×6＋（8×4＋6×4）×2 ＝48＋（32＋24）×2 ＝48＋56×2 ＝48＋112 ＝160（平方米） 160－24＝136（平方米） 136×2＝272（千克） 答：粉刷这间教室共需涂料272千克。 36．（23-24五年级下·广东湛江·期中）一个长方体形状的游泳池，长50米，宽25米，深2米。如果要给游泳池的四周和底面贴上瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？ 【答案】1550平方米 【分析】求需要瓷砖的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为上面不需要贴瓷砖，所以需要减去一个底面积，据此解答。 【详解】（50×25＋50×2＋25×2）×2－50×25 ＝（1250＋100＋50）×2－50×25 ＝1400×2－50×25 ＝2800－1250 ＝1550（平方米） 答：需要1550平方米的瓷砖。 37．（24-25五年级下·辽宁·课后作业）将一个由5个棱长是10厘米的正方体拼成的长方体拆开（如下图），5个正方体的表面积之和是多少？与长方体的表面积相等吗？与同伴交流。 【答案】3000平方厘米；不相等 【分析】已知正方体的棱长是10厘米，根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出1个正方体的表面积，再乘5，即是5个正方体的表面积之和； 长方体是由5个棱长是10厘米的正方体拼成，有8个面重合，所以长方体的表面积比原来5个正方体的表面积之和减少了8个面，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘8，即是减少的表面积； 用5个正方体的表面积之和减去减少的表面积，即是拼成的长方体的表面积。 【详解】5个正方体的表面积之和： 10×10×6×5 ＝100×6×5 ＝600×5 ＝3000（平方厘米） 长方体的表面积： 3000－10×10×8 ＝3000－800 ＝2200（平方厘米） 3000≠2200 答：5个正方体的表面积之和是3000平方厘米，与长方体的表面积不相等。 38．（23-24五年级下·四川成都·期末）用硬纸板做一个鞋盒，鞋盒分为盒体和盒盖。盒体长33厘米、宽20厘米、高12厘米，盒盖的长和宽分别比盒体的长和宽长1厘米，盒盖的高是3厘米（如下图）。制作这个鞋盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ 【答案】2976平方厘米 【分析】根据图意和题意可知，鞋盒的盒体和盒盖都只有5个面，盒体的5个面分别是长方体的下面、前后面和左右面，盒盖的5个面分别是长方体的上面、前后面和左右面； 根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，分别求出盒体、盒盖5个面的面积之和，再相加，即是制作这个鞋盒至少需硬纸板的面积。 【详解】盒盖的长：33＋1＝34（厘米） 盒盖的宽：20＋1＝21（厘米） 盒体的表面积： 33×20＋33×12×2＋20×12×2 ＝660＋792＋480 ＝1932（平方厘米） 盒盖的表面积： 34×21＋34×3×2＋21×3×2 ＝714＋204＋126 ＝1044（平方厘米） 一共：1932＋1044＝2976（平方厘米） 答：制作这个鞋盒至少需要2976平方厘米硬纸板。 39．（22-23五年级下·黑龙江大庆·期中）如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】126平方厘米 【分析】根据题意，把一个长方体木块平行于底面锯成三个大小相等的小正方体，说明原长方体的长、宽相等，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了4个底面的面积； 用增加的表面积36平方厘米除以4，求出原长方体的底面积为9平方厘米，因为底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，得出原长方体的长、宽都是3厘米，再乘3，即是原长方体的高； 最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原长方体的表面积。 【详解】36÷4＝9（平方厘米） 9＝3×3 所以原长方体的长、宽都是3厘米； 原长方体的高：3×3＝9（厘米） 原长方体的表面积： （3×3＋3×9＋3×9）×2 ＝（9＋27＋27）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是126平方厘米。 40．（23-24五年级下·湖北宜昌·期中）用铁皮做一节长30米的长方体通风管，管道口是边长1分米的正方形，做20节这样的通风管道至少需要多少平方米的铁皮？ 【答案】240平方米 【分析】根据题意可以知道，这个通风管道是一个底面是一个边长为1分米的正方形的长方体，求做20节通风管道至少需要多少铁皮，也就是求20个长1分米、宽1分米、高30米的长方体的侧面积。据此进行列式计算即可。 【详解】1dm＝0.1m 0.1×30×4×20 ＝3×4×20 ＝12×20 ＝240（平方米） 答：做20节这样的通风管道至少需要240平方米的铁皮。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 长方体（一） 1、长方体和正方体都是由6个面围成的立体图形。长方体和正方体各部分的名称如下所示: 2、长方体的特点 (1)长方体有8个顶点、6个面、12条棱; (2)长方体相对的两个面完全相同，6个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形; (3)长方体相对的棱长度相等。 3、正方体的特点。 (1)正方体有8个顶点、6 个面、12 条棱; (2)正方体的6个面完全相同，都是正方形; (3)正方体每条棱的长度都相等。 4、长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 5、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体因此它是特殊的长方体 6、利用长方体和正方体的面、棱的特点可以判断一些面是否可以组成长方体或正方体。 7、长方体的展开图是由6个小长方形(特殊情况下有2个正方形)组成的，相对的面完全隔开。 8、正方体的展开图是由6个小正方形组成的，且相对的面也完全隔开。由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。 9、根据长方体和正方体的特点，可以判断长方体和正方体的展开图中哪两个面是相对的。 10、由于长方体并不是每个面都相同，有时可直接根据面的大小来判断(相对的面大小相同)。 11、长方体(或正方体)6个面的面积之和，叫作它的表面积。 12、长方体的表面积=长x宽X2+长x高X2+宽X高X2=(长x宽+长x高+宽X高)X2。如果用S 表示长方体的表面积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的表面积公式可以用字母表示为 S=2ab+2ah+2bh 或S=2(ab+ah+bh) 13、正方体的表面积=棱长x棱长x6。如果用$表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长。 那么正方体的表面积公式可以用字母表示为 S=6a2。 14、求露在外面的面积，要先判断露在外面的面的个数，再用一个面的面积乘个数。 15、数堆放在一起的正方体露在外面的面的个数时，要先观察正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数中包含的规律。 一、选择题 1．（24-25五年级下·福建泉州·期中）下列四幅图，不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）如图，李叔叔用两个完全相同的小正方体拼成一个长方体，棱长之和减少了，这两个小正方体原来的棱长总和是（    ）dm。 A．3 B．18 C．36 D．72 3．（24-25五年级下·广东深圳·期中）如图，淘气用图中两种长方形纸板和第三种长方形纸板拼长方体，第三种长方形纸板可能是（    ）。 A．长3cm宽2cm的长方形 B．长6cm宽3cm的长方形 C．长3cm宽1cm的长方形 D．长5cm宽3cm的长方形 4．（24-25五年级下·广东深圳·期中）如图是笑笑给妈妈准备的母亲节礼物，若接头处的彩带长18厘米，则捆绑该礼盒至少用（    ）分米的彩带。 A．15.2 B．17 C．33.2 D．25 5．（24-25五年级下·山西吕梁·期中）如图，在这个大正方体上减少箭头所指的小正方体，若小正方体的棱长为3cm，则大正方体的表面积（    ）。 A．保持不变 B．增加18cm2 C．增加36cm2 D．减少25cm2 6．（23-24五年级下·广西贺州·期中）把一个长方体切成两个长方体，下面（    ）种切法增加的表面积最少。 A． B． C． D． 7．（24-25六年级上·吉林长春·期末）学校要粉刷一间教室的四壁和天花板，教室长8米，宽6米，高3米，门窗面积共15平方米，工人师傅想知道需要粉刷的面积是多少平方米？（    ） A．120平方米 B．129平方米 C．117平方米 D．144平方米 8．（23-24六年级下·四川成都·期末）下面表达关系不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 9．（23-24五年级下·四川成都·期末）将4个长8cm，宽6cm，高1cm的长方体盒子用彩纸包装在一起，最省包装纸的包装方法是（    ）。 A． B． C． D． 10．（22-23五年级下·广东清远·期末）把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了（    ）。 A．32平方厘米 B．16平方厘米 C．8平方厘米 D．4平方厘米 11．（23-24五年级下·广东惠州·期末）一根长方体木料长3米，宽和高都是3分米，把它锯成5段，表面积最少增加（    ）。 A．27平方分米 B．36平方分米 C．45平方分米 D．72平方分米 12．（23-24五年级下·福建南平·期中）如图：一个正方体六个面上各有一个数字，分别是1、2、3、4、5、6，观察下图，与2相对的面是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．无法确定 13．（23-24五年级下·广东深圳·期中）用一根铁丝正好制成一个棱长为8分米的正方体灯笼框架，如果用同样长的铁丝正好制成一个长和宽都是6分米的长方体灯笼框架，那么这个长方体灯笼框架的高是（    ）。 A．12分米 B．16分米 C．48分米 D．36分米 二、填空题 14．（24-25五年级下·陕西渭南·期中）一种工艺蜡烛盒高9厘米，如图，底面和四周都是玻璃。底面是边长6厘米的正方形。制作这样的蜡烛盒至少需玻璃( )平方厘米。 15．（24-25五年级下·广东茂名·期中）制作一个棱长为7cm的正方体框架，至少需要( )cm的铁丝，如果把它的六个面都贴上彩纸，至少需要彩纸( ) cm2。 16．（23-24六年级下·陕西西安·开学考试）把一根长8分米的长方体木料，正好锯成4个一样的正方体，表面积一共增加了 平方分米。 17．（24-25五年级下·全国·课后作业）把3个棱长是5厘米的正方体木块粘合成一个长方体，表面积比原来的3个小正方体表面积的和减少( )平方厘米。 18．（23-24五年级下·四川成都·期末）用棱长2分米的正方体砖块像下图一样搭台阶，共搭了6级，共用了( )块这样的砖块，如果将每级台阶朝上的一面铺上防滑垫，防滑垫的面积是( )平方分米。 19．（23-24五年级下·陕西榆林·期末）用一根长96厘米的铁丝焊一个正方体框架（没有剩余），若要在这个正方体框架的表面焊上一层铁皮，至少需要( )平方厘米的铁皮。 20．（23-24五年级下·广东惠州·期中）一个正方体的棱长是3cm，如果棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大到原来的( )倍。 21．（22-23五年级下·安徽亳州·期中）至少需要( )个小正方体才能拼成一个大正方体；如果小正方体的棱长是2cm，那么大正方体的表面积是( )cm2。 22．（23-24五年级下·广东湛江·期末）一个长方体木块截成两个相同的正方体后，表面积增加了18cm2，原来长方体木块的表面积是( )cm2。 23．（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 三、判断题 24．（23-24五年级下·陕西西安·期末）如果把5个棱长为1厘米的正方体排成一个长方体后，那么表面积比原来减少了6平方厘米。( ) 25．（23-24五年级下·广东惠州·期末）包装时重叠的面越大，表面积越小，越节约包装纸。( ) 26．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，则表面积也扩大到原来的2倍。( ) 27．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）若一个正方体的棱长之和是12厘米，则这个正方体的表面积是6平方厘米。( ) 28．（21-22五年级下·陕西咸阳·期末）用可以做成一个，数字“1”所在面相对面上的数字是“6”。( ) 四、计算题 29．（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）求下列图形的表面积。（单位：） 30．（23-24五年级下·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 31．（23-24五年级下·辽宁·假期作业）计算如图所示的图形的表面积。（单位：厘米） 五、解答题 32．（24-25五年级下·福建泉州·期中）在科技节活动中，同学们制作了一些棱长为6厘米的正方体小零件，打算将它们装入一个大收纳箱中进行展示。大收纳箱的尺寸如图所示。（大收纳箱材料厚度忽略不计） （1）大收纳箱最多能放（    ）个小零件。 （2）为了让收纳箱更美观，同学们要在大收纳箱的四周（不包含上下面）用彩纸装饰，至少需要多少平方厘米的彩纸？（连接处损耗忽略不计） （3）现要用彩带捆绑这个收纳箱（如图所示），结头处要用20厘米的彩带，捆绑这个收纳箱，需要用多少厘米的彩带？ 33．（24-25五年级下·山西吕梁·期中）在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是多少平方厘米？ 34．（24-25五年级下·陕西渭南·期中）张老师为了让同学们通过手工活动，发挥想象力，创造出独一无二的作品，举办了以“创意无限，乐趣无穷”的手工活动。如图是明明用硬纸板制作的一个长方体抽纸盒，上面有一个面积是12平方厘米的抽口，制作这个抽纸盒至少需要硬纸板多少平方厘米？（接头、耗损忽略不计） 35．（24-25五年级下·陕西榆林·期中）一间教室的长是8米，宽是6米，高是4米，要粉刷教室的四壁和顶面，除去门窗和黑板面积是24平方米，如果每平方米用涂料2千克，粉刷这间教室共需涂料多少千克？ 36．（23-24五年级下·广东湛江·期中）一个长方体形状的游泳池，长50米，宽25米，深2米。如果要给游泳池的四周和底面贴上瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？ 37．（24-25五年级下·辽宁·课后作业）将一个由5个棱长是10厘米的正方体拼成的长方体拆开（如下图），5个正方体的表面积之和是多少？与长方体的表面积相等吗？与同伴交流。 38．（23-24五年级下·四川成都·期末）用硬纸板做一个鞋盒，鞋盒分为盒体和盒盖。盒体长33厘米、宽20厘米、高12厘米，盒盖的长和宽分别比盒体的长和宽长1厘米，盒盖的高是3厘米（如下图）。制作这个鞋盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ 39．（22-23五年级下·黑龙江大庆·期中）如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 40．（23-24五年级下·湖北宜昌·期中）用铁皮做一节长30米的长方体通风管，管道口是边长1分米的正方形，做20节这样的通风管道至少需要多少平方米的铁皮？ 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$