江苏省淮安市2024-2025学年下学期九年级数学模拟试卷练习

1 江苏省淮安市 2024-2025 年初三数学模拟试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 一．选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 1．（3 分）实数﹣2 的相反数是（ ） A．﹣2 B．2 C．− 12 D． 1 2 2．（3 分）国产五代机歼 20 战斗机，最大航程达 5500000m．数据 5500000 用科学记数法表示为（ ） A．0.55×10 7 B．5.5×10 6 C．55×10 5 D．5500×10 3 3．（3 分）如图是由七个相同的小正方体堆成的物体，这个物体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）已知抛物线 y＝x 2 +mx﹣1 经过（﹣1，n）和（2，n）两点，则 n的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 5．（3分）如图，为了测量河两岸 A、B 两地间的距离（AB 与河岸垂直），在与 AB 垂直的方向上取点 C，测 得 AC＝48 米，∠ACB＝30°，则 A、B 两地间的距离为（ ）米． A．16 3 B．24 C．48 3 D．24 2 6．（3 分）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积 V 改变时，气体的密度ρ也随之改 变，ρ与 V 在一定范围内满足关系� = ��（m 是常数，且 m≠0）它的图象如图所示，当ρ为 2.4kg/m 3 时，V 的值为（ ） A．2 B．3 C．3.6 D．7.2 2 7．（3分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O的直径，点 E 在⊙O上，且∠ADC＝110°，则∠BEC 的 度数为（ ） A．35° B．30° C．25° D．20° 8．（3 分）如图，平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A（1，0），B（0，﹣2），�� = 3 5，将矩形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90°，则第 2025 次旋转结束时，点 D的坐标为（ ） A．（3，5） B．（5，3） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣5，﹣3） 二．填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 9．（3 分）分解因式：m 3 ﹣4m 2 +4m＝ ． 10．（3 分）在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的 3 个红球和 2 个白球，从中任意摸出一个球，则摸到 红球的概率是 ． 11．（3 分）不等式组 2 − � ≥ 0 2�＞� − 1的最小整数解是 ． 12．（3 分）一个扇形的弧长是π，半径是 2，则此扇形的圆心角为 度． 13．（3分）对于实数 m、n，定义一种新运算“※”为 m※n= 1�−�2，这里等式右边是实数运算，例如：2 ※3= 12−32 =− 1 7，则方程 x※（﹣1）= 2 �−1−1 的解为 ． 14．（3 分）已知反比例函数� = ��（k 为常数，k≠0），当 1≤x≤2 时，y的最大值与最小值的差为 2，则 k ＝ ． 3 15．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，若 AE＝6，EC＝8，则 OE 的长度为 ． 16．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点 E 是 AD 上一动点，将△ABE 沿 BE 折叠 得到△A′BE，当点 A′恰好落在 EC 上时，DE 的长为 ． 三．解答题（共 11 小题，满分 102 分） 17．（8 分）解不等式组： 3(� − 2)＜4� 5�−2 2 − 1 ≤ 2�+5 3 ，并写出它的所有非负整数解． 18．（8 分）先化简再求值：(1 − 1�+2 ) ÷ �2−1 �2+4�+4，其中� = 3 + 1． 4 19．（8分）电子商务的快速发展使快递企业成为消费者与商家的关键桥梁．为了解城市 A 和 B 的快递企业 运营情况，相关机构对两城市各 25 家快递企业进行了收入数据（单位：百万元）的抽样调查，并进行 了深入分析． 基于上述背景，研究人员获得了以下部分数据： a．A 城市快递企业 4月份收入的频数分布如下： 数据分为 5 组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x＜16b．A 城市快递企业 4 月份收 入的数据在 10≤x＜12 这一组的是： 10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8 A，B 两城市快递企业 4 月份收入的平均数和中位数如下表所示： 城市 平均数（百万元） 中位数（百万元） A城市 10.8 m B 城市 11.0 11.5 请根据以上信息，回答以下问题： （1）m＝ ； （2）在 A 城市抽取的快递企业中，将 4月份收入高于平均数 10.8 百万元的企业的个数记为 p1．同样， 在 B 城市抽取的快递企业中，将 4月份收入高于平均数 11.0 百万元的企业的个数记为 p2．请比较 p1和 p2的大小，并说明理由； （3）假设 B城市共有 200 家快递企业，请根据样本数据估计 B城市所有快递企业在 4月份的总收入． 5 20．（8 分）如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小 相同． （1）若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是 ； （2）若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率． 21．（8 分）如图，已知△ABC． （1）按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作 BC 的垂直平分线 PQ，PQ 交 AC 于 D； ②在直线 PQ 找一点 E，使四边形 DBEC 是菱形． （2）若∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，求四边形 DBEC 的面积． 6 22．（8 分）根据如下素材，探索完成任务． 解决如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润问题． 条件一：某书店为了迎接“读书节”决定购进 A，B 两种新书，两种图书的进价分别是每本 18 元、每本 12 元） 条件二：已知 A 种图书的标价是 B 种图书标价的 1.5 倍，若顾客用 600 元按标价购买图书，能单独购买 A 种图书的数量恰好比单独购买 B 种图书的数量少 10 本． 条件三：该书店准备用不超过 16800 元购进 A，B 两种图书共 1000 本，且 A 种图书不少于 700 本经市场 调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的 8 折销售，B种图书按标价销售． 任务解决： （1）探求图书的标价，请运用适当方法，求出 A，B 两种图书的标价； （2）确定如何获得最大利润，书店应怎样进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 7 23．（8 分）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息 1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如 图是这种平开窗的实物展示图． 信息 2 数学抽象 把平开窗的滑撑支架抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道 AB 固定在窗框底边，EF 固定在窗页底边，点 B，C，D 三点固定在同一直 线上．当窗户关闭时，点 E与点 A 重合，DE 和 DB 均落在 AB 上；当点 O向点 B 滑动时，四边形 OCDE 始终为平行四边形，其中 OE＝8cm，DE ＝16cm，BC＝17cm． 信息 3 安全规范 窗户打开一定角度后，OC 与 AB 形成一个角∠COB．出于安全考虑，部 分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控 制在 27 以内（即∠COB＝27°）． 问题解决 任务 1 求解关键数量 滑撑支架中 CD 的长度为 cm，滑动轨道 AB 的长度是 m． 任务 2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道 AB 上安装 一个限位器 P，控制平开窗的开启角度，当点 O 滑动到点 P 时∠COB ＝27°，则限位器 P 应装在离点 A 多远的位置？（结果精确到 0.1） （参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50） 8 24．（10 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C为⊙O 上一点，∠OCB 的角平分线交⊙O 于点 D，F 在直线 AB 上，且 DF⊥BC，垂足为 E，连接 AD、BD． （1）请写出一个与∠BCD 相等的角： ； （2）求证：DF 是⊙O的切线； （3）若���� = 35，⊙O的半径为 6，求图中阴影部分的面积． 25．（10 分）在一条笔直的公路上有 A，B 两地，甲、乙二人同时出发，甲从 A地步行匀速前往 B地，到达 B 地后，立刻以原速度沿原路返回 A 地．乙从 B 地步行匀速前往 A 地（甲、乙二人到达 A 地后均停止运 动），甲、乙二人之间的距离 y（米）与出发时间 x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下 列问题： （1）A，B 两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分． （2）图中 a＝ ，b＝ ，c＝ ． （3）求线段 MN 的函数解析式． （ 4 ） 在 乙 运 动 的 过 程 中 ， 何 时 两 人 相 距 80 米 ？ （ 直 接 写 出 答 案 即 可 ） 9 26．（12 分）已知抛物线 y＝ax 2 +2ax+a﹣1 的顶点为 D． （1）若抛物线经过原点，求 a的值及顶点 D的坐标． （2）在（1）的条件下，把 x≤0 时函数 y＝ax 2 +2ax+a﹣1 的图象记为 M1，将图象 M1绕原点旋转 180°， 得到新图象 M2，设图象 M1与图象 M2组合成的图象为 M． ①图象 M2的解析式为 （写出自变量的取值范围）； ②若直线 y＝x+m 与图象 M有 3个交点，请直接写出 m的取值范围． 10 27．（14 分）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形的一边 AB＝4cm． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平； 操作二：在 AD 上选一点 P，沿 BP 折叠，使点 A 落在矩形内部点 M 处，把纸片展平，连接 PM，BM． 根据以上操作，当点 M 在 EF 上时，写出图 1中一个 60°的角： ． （2）知识探究 小华对折叠继续探究，当点 M 在 EF 上时，延长 PM 交 CD 于点 Q，如图 2． ①若点 Q 恰好与点 C 重合时，BC＝ cm． ②若 FQ＝1cm，求 BC 的长． （3）拓展应用 如图 3，当矩形变为正方形时，改变点 P在边 AD 上的位置，若 FQ＝1cm，直接写出 DP 的长． 2025年06月09日张鱼小丸子的初中数学组卷答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答） 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三．解答题（共11小题，满分102分）（请在各试题的答题区内作答） 17.答： 18.答： 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 26.答： 27.答： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）实数﹣2的相反数是（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【考点】实数的性质；相反数．版权所有 【答案】B 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【解答】解：﹣2的相反数是2． 故选：B． 【点评】本题考查的是实数的性质及相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 2．（3分）国产五代机歼20战斗机，最大航程达5500000m．数据5500000用科学记数法表示为（　　） A．0.55×107 B．5.5×106 C．55×105 D．5500×103 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【答案】B． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：5500000＝5.5×106． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）如图是由七个相同的小正方体堆成的物体，这个物体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图．版权所有 【答案】C 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面看，底层左边是1个正方形，上层是3个正方形． 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4．（3分）已知抛物线y＝x2+mx﹣1经过（﹣1，n）和（2，n）两点，则n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案】B 【分析】根据（﹣1，n）和（2，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x1，即可求解； 【解答】解：抛物线y＝x2+mx﹣1经过（﹣1，n）和（2，n）两点， 可知函数的对称轴x， ∴， ∴m＝﹣1； ∴y＝x2﹣x﹣1， 将点（﹣1，n）代入函数解析式，可得n＝1； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 5．（3分）如图，为了测量河两岸A、B两地间的距离（AB与河岸垂直），在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝48米，∠ACB＝30°，则A、B两地间的距离为（　　）米． A． B．24 C． D． 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【答案】A 【分析】易得∠A＝90°，根据AC的长和∠ACB的正切值可得A、B两地间的距离． 【解答】解：∵AB与河岸垂直， ∴∠A＝90°， ∵AC＝48米，∠ACB＝30°， ∴AB＝AC•tan30°＝4816（米）． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．用到的知识点为：直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个锐角的对边与邻边的比值． 6．（3分）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度ρ也随之改变，ρ与V在一定范围内满足关系（m是常数，且m≠0）它的图象如图所示，当ρ为2.4kg/m3时，V的值为（　　） A．2 B．3 C．3.6 D．7.2 【考点】函数的图象．版权所有 【答案】B 【分析】根据题意：装有一定质量m的某种气体，且P与V在一定范围内满足ρ，可得ρ与V成反比例关系．且过点（4，1.8）；代入数据可得答案． 【解答】解：根据题意得ρ，且过点（4，1.8）， 所以m＝4×1.8＝7.2， ∴ρ， ∴当ρ为2.4kg/m3时，V的值为3． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠ADC＝110°，则∠BEC的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．版权所有 【答案】D 【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据直角三角形的性质求出∠CAB，再根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC＝110°， ∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°， ∴∠CAB＝90°﹣70°＝20°， ∴∠BEC＝∠CAB＝20°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8．（3分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），B（0，﹣2），，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（3，5） B．（5，3） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣5，﹣3） 【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．版权所有 【答案】A 【分析】由旋转的角度90°，可知旋转4次是一个循环，则第2025次旋转结束时与矩形ABCD点O顺时针旋转90°的位置一样，先结合相似三角形的判定与性质，求出矩形ABCD点D的坐标，通过证明△ERO≌△OHD，得出点E的坐标，即可作答． 【解答】解：由题意可得：旋转360°时与原矩形ABCD重合， ∵2025÷4＝506……1， ∴第2025次旋转结束时与矩形ABCD点O顺时针旋转90°的位置一样， 过点D作DH⊥x轴交x轴于点H，如图所示： 由题意可得： ∴OA＝1，OB＝2， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAO+∠DAO＝90°， ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠DAO＝∠ABO， ∵∠DHO＝∠AOB＝90°， ∴△DHA∽△AOB， ∴， 又∵， ∴， ∴DH＝3，HA＝6， ∴OH＝HA﹣OA＝6﹣1＝5， 根据题意可得：D点坐标为（﹣5，3）， 设E为矩形ABCD点O顺时针旋转90°后的点D的对应点，连接DO，EO，过E作ER⊥x轴，如图所示： 根据题意，由旋转的性质可得： ∴DO＝EO，∠DOE＝90°， ∴∠DOH+∠EOR＝90°， 则∠ERO＝∠OHD＝90°， ∴∠DOH+∠HDO＝90°， ∴∠DOH＝∠EOR， ∴△ERO≌△OHD， ∴OR＝HD＝3，ER＝OH＝5， ∵E在第一象限， ∴E（3，5）． 故选：A． 【点评】本题考查图形的旋转，点的坐标，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2025次旋转后矩形的位置是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）分解因式：m3﹣4m2+4m＝　m（m﹣2）2　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：m3﹣4m2+4m ＝m（m2﹣4m+4） ＝m（m﹣2）2． 故答案为：m（m﹣2）2． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10．（3分）在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是　　 ． 【考点】概率公式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率． 【解答】解：∵袋子中共有2+3＝5个球，其中3个红球， ∴从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是． 故答案为． 【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 11．（3分）不等式组的最小整数解是　0　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可． 【解答】解：不等式组整理得：， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 则最小的整数解为0， 故答案为：0 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（3分）一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角为 　90　 度． 【考点】弧长的计算．版权所有 【答案】90． 【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：设圆心角为n°， ∵扇形的弧长是π，半径是2， ∴π， 解得：n＝90． 故答案为：90． 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 13．（3分）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为m※n，这里等式右边是实数运算，例如：2※3，则方程x※（﹣1）1的解为 　x＝2　 ． 【考点】解分式方程；实数的运算．版权所有 【答案】x＝2． 【分析】根据新定义可得：x※（﹣1），再根据x※（﹣1），由此可得分式方程，再根据解分式方程的方法求解即可． 【解答】解：由新定义，得x※（﹣1）， ∵x※（﹣1）， ∴， 方程两边同时乘（x﹣1），得，1＝2﹣（x﹣1）， 去括号，得1＝2﹣x+1， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入x﹣1≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查了解分式方程，新定义，理解新定义，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 14．（3分）已知反比例函数（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k＝　±4　 ． 【考点】反比例函数的性质．版权所有 【答案】±4． 【分析】分k＞0和k＜0进行讨论，再根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答． 【解答】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小． ∴2， 解得k＝4， 当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大． ∴2， 解得k＝﹣4， 综上所述，k＝±4． 故答案为：±4． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答，解题关键是对于k的值要分情况讨论． 15．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若AE＝6，EC＝8，则OE的长度为　5　 ． 【考点】平行四边形的性质．版权所有 【答案】5． 【分析】根据平行四边形的性质求出OA＝OC，根据勾股定理求出AC＝10，再根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可． 【解答】解：在▱ABCD中，AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BC，AE＝6，EC＝8， ∴AC10， ∴OEAC＝5， 故答案为：5． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 16．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为 　　 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】解法一：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，由平行四边形的性质可得DC＝AB＝6，∠ABC＝∠ADC＝120°，AD∥BC，由平角的定义∠CDF＝60°，利用含30度角的直角三角形性质得DFDC＝3，CF，由平行线的性质得∠A＝60°，∠DEC＝∠A′CB，由折叠可知AB＝A′B＝6，∠A＝∠BA′E＝60°，于是可通过AAS证明△A′BC≌△DCE，得到BC＝CE＝8，再利用勾股定理求得EF，则DE＝EF﹣DF． 解法二：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，由题意易得∠A＝60°，在Rt△ABF中，AF＝AB•cosA＝3，BF＝AB•sinA，由折叠可知∠AEB＝∠A′EB，由平行线的性质可得∠AEB＝∠CBE，进而得到∠CBE＝∠A′EB，于是△CBE为直角三角形，BC＝CE＝8，EG＝BG，易证△BEF∽△CEG，由相似三角形的性质得到BE2＝2EF•CE，设EF＝x（0＜x＜8），则BE2＝2x•8＝16x，在Rt△BEF中，利用勾股定理建立方程，求解即可． 【解答】解：解法一：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F， ∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6， ∴DC＝AB＝6，∠ABC＝∠ADC＝120°，AD∥BC， ∴∠CDF＝180°﹣∠ADC＝60°， ∵CF⊥AD， ∴∠CFD＝90°，∠DCF＝90°﹣∠CDF＝30°， ∴DFDC＝3，CF， ∵AD∥BC， ∴∠A＝180°﹣∠ABC＝60°，∠DEC＝∠A′CB， 根据折叠的性质可得，AB＝A′B＝6，∠A＝∠BA′E＝60°， ∴A′B＝DC＝6，∠BA′C＝180°﹣∠BA′E＝120°＝∠CDE， 在△A′BC和△DCE中， ， ∴△A′BC≌△DCE（AAS）， ∴BC＝CE＝8， 在Rt△CEF中，EF， ∴DE＝EF﹣DF． 解法二：当点A′恰好落在EC上时，如图，过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G， ∵四边形ABCD为平行四边形，BC＝8， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8， ∵∠ABC＝120°， ∴∠A＝60°， 在Rt△ABF中，AF＝AB•cosA＝63，BF＝AB•sinA＝6， 根据折叠的性质可得，∠AEB＝∠A′EB， ∵AE∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠A′EB，即∠CBE＝∠CEB， ∴△CBE为等腰三角形，BC＝CE＝8， ∵CG⊥BE， ∴EG＝BG， ∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°， ∴△BEF∽△CEG， ∴，即， ∴BE2＝2EF•CE， 设EF＝x（0＜x＜8）， ∴BE2＝2x•8＝16x， 在Rt△BEF中，EF2+BF2＝BE2， ∴， 整理得：x2﹣16x+27＝0， 解得：（舍去），， ∴EF， ∴DE＝AD﹣AF﹣EF＝8﹣3）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题． 三．解答题（共11小题，满分102分） 17．（8分）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．版权所有 【答案】﹣6＜x≤2，它的非负整数解是0，1，2． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的非负整数． 【解答】解：， 解不等式①得，x＞﹣6， 解不等式②得，x≤2， 所以，不等式组的解集是﹣6＜x≤2， 所以，它的非负整数解是0，1，2． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 18．（8分）先化简再求值：，其中． 【考点】分式的化简求值．版权所有 【答案】；． 【分析】先化简括号内的分式，将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解，约分后得到最简形式．再将代入化简后的表达式计算具体数值． 【解答】解： ， 当时， 原式 ． 【点评】本题主要考查分式化简与代入求值，关键步骤是正确进行分式加减、乘除运算及因式分解，最终结果需化简到最简形式并代入计算． 19．（8分）电子商务的快速发展使快递企业成为消费者与商家的关键桥梁．为了解城市A和B的快递企业运营情况，相关机构对两城市各25家快递企业进行了收入数据（单位：百万元）的抽样调查，并进行了深入分析． 基于上述背景，研究人员获得了以下部分数据： a．A城市快递企业4月份收入的频数分布如下： 数据分为5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x＜16b．A城市快递企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是： 10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8 A，B两城市快递企业4月份收入的平均数和中位数如下表所示： 城市 平均数（百万元） 中位数（百万元） A城市 10.8 m B城市 11.0 11.5 请根据以上信息，回答以下问题： （1）m＝　10.1　 ； （2）在A城市抽取的快递企业中，将4月份收入高于平均数10.8百万元的企业的个数记为p1．同样，在B城市抽取的快递企业中，将4月份收入高于平均数11.0百万元的企业的个数记为p2．请比较p1和p2的大小，并说明理由； （3）假设B城市共有200家快递企业，请根据样本数据估计B城市所有快递企业在4月份的总收入． 【考点】用样本估计总体；算术平均数；中位数．版权所有 【答案】（1）10.1； （2）p1＜p2，理由见解析； （3）2200百万元． 【分析】（1）根据中位数的意义即可求解； （2）确定出p1，p2的大小或范围，即可比较大小； （3）利用样本的平均数估计总体的平均数，即可求得结果． 【解答】解：（1）快递企业共有25家，按4月份收入从低到高排列，中间的第13个数为中位数， 而3+7＜13＜3+7+8， 即中位数在10≤x＜12这一组的第3个数，为10.1， 根据中位数的意义可知m＝10.1； 故答案为：10.1； （2）p1＜p2；理由如下： 由题意知，p1＝12； 在B城市快递企业中，将4月份收入的中位数为11.5，则不低于11.5的数据有13个，高于平均数11.0百万元的企业的个数记p2≥13． ∴p1＜p2； （3）用样本的平均数估计总体的平均数可知： 由表知，B城市抽取的所有快递企业在4月份的平均收入为11.0百万， 则B城市共有200家快递企业在4月份的总收入为：200×11.0＝2200（百万）； 答：B城市共有200家快递企业在4月份的总收入为2200百万． 【点评】本题考查了频数分布表与扇形统计图，求中位数，用样本估计总体的数量等知识，熟悉这些基础知识是解题的关键． 20．（8分）如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同． （1）若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是　　 ； （2）若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种， ∴这辆车直行的概率是． 故答案为：； （2）列表如下： 直行 向左转 向右转 直行 （直行，直行） （直行，向左转） （直行，向右转） 向左转 （向左转，直行） （向左转，向左转） （向左转，向右转） 向右转 （向右转，直行） （向右转，向左转） （向右转，向右转） 共有9种等可能的结果，其中这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果有：（向左转，向右转），（向右转，向左转），共2种， ∴这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21．（8分）如图，已知△ABC． （1）按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作BC的垂直平分线PQ，PQ交AC于D； ②在直线PQ找一点E，使四边形DBEC是菱形． （2）若∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，求四边形DBEC的面积． 【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；菱形的判定与性质．版权所有 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）①根据作垂直平分线的作图即可；②以点B为圆心，以BD为半径画弧，交PQ于点E即可； （2）由∠ACB的正弦求出BC＝8，再由菱形性质得，由∠ACB的正切求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，所作PQ即为线段BC的垂直平分线， （2）∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4， ∴， ∵四边形DBEC是菱形， ∴， ∴， ∴四边形DBEC的面积． 【点评】本题主要考查作图（角平分线和垂直平分线），菱形的判定和性质，以及锐角三角函数的知识．熟练掌握以上知识点是关键． 22．（8分）根据如下素材，探索完成任务． 解决如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润问题． 条件一：某书店为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元） 条件二：已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用600元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本． 条件三：该书店准备用不超过16800元购进A，B两种图书共1000本，且A种图书不少于700本经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售． 任务解决： （1）探求图书的标价，请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价； （2）确定如何获得最大利润，书店应怎样进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．版权所有 【答案】（1）30元，20元； （2）购进A种图书700本、B种图书300本，6600元． 【分析】（1）设B种图书标价为x元，则A种图书标价为1.5x元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）设购进A种图书m本，则购进B种图书（1000﹣m）本，根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集，设获得的利润为W元，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值及此时1000﹣m的值即可． 【解答】解：（1）设B种图书标价为x元，则A种图书标价为1.5x元． 根据题意，得10， 解得x＝20， 经检验，x＝20是所列分式方程的根， 1.5×20＝30（元）． 答：A种图书标价为30元，B种图书标价为20元． （2）设购进A种图书m本，则购进B种图书（1000﹣m）本． 根据题意，得， 解得700≤m≤800， 设获得的利润为W元，则W＝（0.8×30﹣18）m+（20﹣12）（1000﹣m）＝﹣2m+8000， ∵﹣2＜0， ∴W随m的减小而增大， ∵700≤m≤800， ∴当m＝700时W值最大，W最大＝﹣2×700+8000＝6600， 1000﹣700＝300（本）． 答：购进A种图书700本、B种图书300本才能获得最大利润，最大利润是6600元． 【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 23．（8分）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把平开窗的滑撑支架抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OE＝8cm，DE＝16cm，BC＝17cm． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角∠COB．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在27以内（即∠COB＝27°）． 问题解决 任务1 求解关键数量 滑撑支架中CD的长度为　8　 cm，滑动轨道AB的长度是　41　 m． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时∠COB＝27°，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果精确到0.1） （参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50） 【考点】解直角三角形的应用；平行四边形的判定．版权所有 【答案】任务1.8，41； 任务2．限位器P应装在离点A大约11.2cm的位置． 【分析】任务1．根据平行四边形的对边相等的性质可得CD的长度等于OE的长度，进而根据窗户紧闭时的状态可得AB的长度等于DE+CD+BC的长度； 任务2．作CH⊥AB于点H，分别求出OH和BH的长度，则限位器P应装在离点A的距离AP＝AB﹣OH﹣BH，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：任务1．∵四边形OCDE为平行四边形，OE＝8cm， ∴CD＝OE＝8cm， ∵当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上，DE＝16cm，BC＝17cm， ∴滑动轨道AB的长度＝DE+CD+BC＝41cm． 故答案为：8，41； （2）作CH⊥AB于点H，则∠CHO＝∠CHB＝90°， ∵四边形OCDE为平行四边形， ∴OC＝DE＝16cm， ∵∠COB＝27°， ∴CH＝16×sin27°≈7.2（cm）， OH＝16×cos27°≈14.4（cm） ∵BC＝17cm， ∴BH15.4（cm）， ∴限位器P应装在离点A的距离AP＝AB﹣OH﹣BH＝41﹣14.4﹣15.4＝11.2（cm）． 答：限位器P应装在离点A大约11.2cm的位置． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所求的线段合理分割，整理到直角三角形中进行求解是解决本题的关键． 24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD． （1）请写出一个与∠BCD相等的角：　∠A（答案不唯一）；　 ； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若，⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积． 【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理．版权所有 【答案】（1）∠A（答案不唯一）； （2）见解析； （3）． 【分析】（1）根据圆周角定理即可得的答案； （2）连接OD，根据角平分线定义得∠OCD＝∠BCD，根据OD＝OC得∠OCD＝∠ODC，由此得∠BCD＝∠ODC，则OD∥BC，再根据DF⊥BC得OD⊥DF，然后根据切线的判定可得出结论； （3）根据三角函数的定义得到OF＝10，求得BF＝OF﹣OB＝4，由勾股定理得到DF8，根据三角函数的定义得到BE，于是得到S阴影DF•BE8． 【解答】（1）解：∵， ∴∠BCD＝∠A， 故答案为：∠A（答案不唯一）； （2）证明：连接OD，如图所示： ∵CD平分∠OCB， ∴∠OCD＝∠BCD， ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠BCD＝∠ODC， ∴OD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴OD⊥DF， 又∵OD为⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （3）解：∵⊙O的半径为6， ∴OD＝OB＝6， 在Rt△ODF中，sinF， ∴OF＝10， ∴BF＝OF﹣OB＝4， 由勾股定理得：DF8， 在Rt△BEF中，sinF， ∴BE， ∴S阴影DF•BE8． 【点评】此题主要考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定，灵活运用锐角三角函数，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 25．（10分）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间的距离是 　1200　 米，乙的步行速度是 　60　 米/分． （2）图中a＝　900　 ，b＝　800　 ，c＝　15　 ． （3）求线段MN的函数解析式． （4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可） 【考点】一次函数的应用．版权所有 【答案】（1）1200；60；（2）900；800；15；（3）y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）；（4）二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米． 【分析】（1）利用函数图象中的信息直接得到A、B两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得乙的步行速度； （2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论； （3）利用待定系数法解答即可； （4）利用分类讨论的方法，分别求得相遇前和相遇后两人相距80米时的时间即可求得结论． 【解答】解：（1）由图象知：当x＝0时，y＝1200， ∴A、B两地之间的距离是1200米； 由图象知：乙经过20分钟到达A， ∴乙的速度为60（米/分）． 故答案为：1200；60； （2）由图象知：当x时，y＝0， ∴甲乙二人的速度和为：1200140（米/分）， 设甲的速度为x米/分，则乙的速度为（140﹣x）米/分， ∴140﹣x＝60， ∴x＝80． ∴甲的速度为80（米/分）， ∵点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地， ∴c＝1200÷80＝15（分钟）， ∴a＝60×15＝900（米）． ∵点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地， ∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）； 故答案为：900；800；15； （3）由题意得：M（15，900），N（20，800）， 设线段MN的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：， ∴线段MN的解析式为y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）； （4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．理由： ①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米）， ∴1120÷140＝8（分钟）； ②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米）， ∴1280÷140（分钟）． 综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象上点的坐标的实际意义是解题的关键． 26．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax+a﹣1的顶点为D． （1）若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标． （2）在（1）的条件下，把x≤0时函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象记为M1，将图象M1绕原点旋转180°，得到新图象M2，设图象M1与图象M2组合成的图象为M． ①图象M2的解析式为　y＝﹣x2+2x（x≥0）　 （写出自变量的取值范围）； ②若直线y＝x+m与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． 【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【答案】（1）a＝1，顶点D的坐标为（﹣1，﹣1）； （2）①y＝﹣x2+2x（x≥0）．②． 【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+2ax+a﹣1经过原点，可得：a﹣1＝0，从而可知a＝1，抛物线的解析式为y＝x2+2x，把抛物线的解析式化为顶点式为y＝（x+1）2﹣1，可得抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，﹣1）； （2）①将图象M1绕原点旋转180°，得到新图象M2的顶点坐标为（1，1），开口向下，所以可以得到图象M1的顶点式解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1（x≥0），整理成二次函数的一般式解析式即可； ②直线y＝x+m与图象M有3个交点，则可能直线y＝x+m与图象M1有1个交点、与图象M2有2个交点，也可能直线y＝x+m与图象M1有2个交点、与图象M2有1个交点时，分情况利用一元二次方程根的判别式求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+a﹣1经过原点， ∴a﹣1＝0， 解得：a＝1， ∴y＝x2+2x， ∴y＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，﹣1）； （2）①得到新图象M2的顶点坐标为（1，1），开口向下， ∴图象M2的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1（x≥0）， ∴y＝﹣x2+2x（x≥0）； ②如下图所示， 当直线y＝x+m与图象M1有1个交点、与图象M2有2个交点时， 可得：， ∴x2+x﹣m＝0， 则有Δ＝b2﹣4ac＝12+4m＝0， ∴； 当直线y＝x+m与图象M1有2个交点、与图象M2有1个交点时， 可得：， 整理可得：﹣x2+x﹣m＝0， 则有Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4m＝0， 解得：； ∴当时，直线y＝x+m与图象M有3个交点． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、求二次函数的解析式，解决本题的关键是要注意数形结合的思想和分类讨论的思想的运用． 27．（14分）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．已知矩形的一边AB＝4cm． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个60°的角：　∠MBE（或∠APB或∠BPM或∠DPM，答案不唯一）　 ． （2）知识探究 小华对折叠继续探究，当点M在EF上时，延长PM交CD于点Q，如图2． ①若点Q恰好与点C重合时，BC＝　　 cm． ②若FQ＝1cm，求BC的长． （3）拓展应用 如图3，当矩形变为正方形时，改变点P在边AD上的位置，若FQ＝1cm，直接写出DP的长． 【考点】四边形综合题．版权所有 【答案】（1）∠MBE（或∠APB或∠BPM或∠DPM，答案不唯一）； （2）①； ②； （3）cm或cm． 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得∠BME＝30°，进而可得∠ABP＝∠PBM＝∠MBC＝30°； （2）①根据折叠的性质，利用直角三角形的性质，即可求解； ②根据折叠的性质，解直角三角形，即可求解． （3）分两种情况：当点Q在线段FC上时，当点Q在线段FD上时，设PD＝x cm，分别由勾股定理列式即可求解． 【解答】解：（1）由折叠的性质得， ∴， ∵∠BEM＝90°，sin∠BME， ∴∠BME＝30°， ∴∠MBE＝60°； ∵∠ABP＝∠PBM， ∴∠ABP＝∠PBM＝∠MBC＝30°， ∴∠APB＝∠BPM＝∠DPM＝60°， 故答案为：∠MBE（或∠APB或∠BPM或∠DPM，答案不唯一）； （2）①如图，由折叠可知BM＝AB＝4cm，∠BMQ＝∠BMP＝90°，∠MBQ＝30°， ∴MQ＝BMtan30°＝4（cm）， ∴BC＝BQ＝2MQcm， 故答案为：； ②由（1）知，∠D＝90°，∠QPD＝60°，则∠PQD＝30°． 又∵DQ＝DF+FQ＝3cm， ∴PD＝DQtan30°＝3（cm）， 又∵∠A＝90°，∠APB＝60°，则∠ABP＝30°， ∴AP＝ABtan30°＝4（cm）， ∴BC＝ADcm； （3）DP的长为cm或cm．理由如下： ①当点Q在线段FC上时，连接BQ．如图3， ∵∠BMQ＝∠C＝90°， ∴△BMQ和△BCQ是直角三角形， 在Rt△BMQ和Rt△BCQ中， ， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）， ∴CQ＝MQ＝1cm． 设PD＝x cm，则AP＝PM＝（4﹣x）cm． 又∵DQ＝3cm， 在Rt△PDQ中，由勾股定理得：x2+32＝（4﹣x+1）2， 解得， ∴PDcm； 当点Q在线段FD上时，连接BQ， ∵∠BMQ＝∠C＝90°， ∴△BMQ和△BCQ是直角三角形， 在Rt△BMQ和Rt△BCQ中， ， ∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）， ∴CQ＝MQ＝3cm． 设PD＝x cm，则AP＝PM＝（4﹣x）cm． 又∵DQ＝1cm， 在Rt△PDQ中，x2+12＝（4﹣x+3）2， 解得：． ∴PDcm， 综上所述，DP的长为cm或cm． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理，解直角三角形，三角形的全等的判定与性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$