专题1.1 直线的斜率与倾斜角（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题1.1 直线的斜率与倾斜角（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 求直线的斜率】 2 【题型2 求直线的倾斜角】 2 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 3 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 4 【题型5 斜率公式的应用】 4 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 5 知识点1 直线的斜率 1．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 【题型1 求直线的斜率】 【例1】（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【变式1-1】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线经过点，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 知识点2 直线的倾斜角 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型2 求直线的倾斜角】 【例2】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【变式4-1】（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【变式4-2】（24-25高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 斜率公式的应用】 【例5】（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【变式5-2】（24-25高二上·河南·阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上： (1)； (2). 【变式5-3】（24-25高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例6】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【变式6-3】（24-25高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 直线的斜率与倾斜角（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 求直线的斜率】 2 【题型2 求直线的倾斜角】 3 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 5 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 6 【题型5 斜率公式的应用】 8 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 10 知识点1 直线的斜率 1．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 如果x1=x2，那么直线l的斜率不存在. 对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作. 【注】(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； (2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； (3)当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合. 【题型1 求直线的斜率】 【例1】（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【解题思路】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【解答过程】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜率公式即可求解. 【解答过程】由于直线经过点，，故斜率为， 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线经过点，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由斜率公式即可求解； 【解答过程】由， 可得：， 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据即可求解出斜率． 【解答过程】直线的斜率为， 故选：C． 知识点2 直线的倾斜角 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型2 求直线的倾斜角】 【例2】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的斜率，即得直线的倾斜角. 【解答过程】由，可得直线的斜率为， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【解答过程】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【解答过程】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先对进行讨论，当时得到直线倾斜角为，当时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【解答过程】当时，直线为：， 故直线的倾斜角为：； 当时，直线为：， 设直线的倾斜角为， 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 综上所述：. 故选：A. 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解答过程】设直线,的倾斜角为， 由图可知， 所以，即，，所以． 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【解答过程】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【解答过程】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【解答过程】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C. 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【解题思路】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【解答过程】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 【变式4-1】（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【解题思路】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果. 【解答过程】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可. 【解答过程】显然，则，即，解得. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 即直线的斜率. 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 【题型5 斜率公式的应用】 【例5】（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【解答过程】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【解题思路】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【解答过程】因为，所以， 不妨设，则 ． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 【变式5-2】（24-25高二上·河南·阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上： (1)； (2). 【解题思路】（1）计算和，根据其是否相等即可判断； （2）计算和，根据其是否相等即可判断. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 所以A，B，C三点不在同一条直线上. （2）因为，， 所以. 又直线DE与直线DF有公共点D， 所以D，E，F三点在同一条直线上. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【解题思路】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【解答过程】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上，可得实数的取值范围. 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例6】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解答过程】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【解答过程】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示，    由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 【变式6-2】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 【变式6-3】（24-25高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【解题思路】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 （2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，， 所以的取值范围为，即直线CD的倾斜角的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$