专题1.1 空间向量及其线性运算（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题1.1 空间向量及其线性运算（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 空间向量的有关概念】 2 【题型2 空间向量的加减运算】 3 【题型3 空间向量的线性运算】 4 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 4 【题型5 空间向量共线的判定】 7 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 8 【题型7 空间向量共面的判定】 8 【题型8 由空间向量共面求参数】 9 【题型9 共线、共面向量定理的推论及应用】 10 知识点1 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【变式1-2】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知，，，是空间中互不相同的四个点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）在四面体中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（24-25高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二·全国·课后作业）化简：． 【变式3-3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）在四面体OABC中，，，，，N为BC的中点，若，则λ=（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二·全国·课后作业）如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值.    （1）； （2）. 【变式4-3】（24-25高二·湖南·课后作业）如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)； (2)； (3)． 知识点3 共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型5 空间向量共线的判定】 【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【变式5-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【变式5-3】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【变式6-1】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式6-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-3】（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【题型7 空间向量共面的判定】 【例7】（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【变式7-1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式7-2】（24-25高二·福建·阶段练习）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·广东揭阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【题型9 共线、共面向量定理的推论及应用】 【例9】（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【变式9-1】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中， .直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025高二上·全国·专题练习）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【变式9-3】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 空间向量及其线性运算（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 空间向量的有关概念】 2 【题型2 空间向量的加减运算】 4 【题型3 空间向量的线性运算】 5 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 6 【题型5 空间向量共线的判定】 10 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 12 【题型7 空间向量共面的判定】 14 【题型8 由空间向量共面求参数】 15 【题型9 共线、共面向量定理的推论及应用】 17 知识点1 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【解题思路】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【解答过程】对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【解题思路】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【解答过程】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【解答过程】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【解答过程】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量加减法法则计算． 【解答过程】由题意， 故选：C． 【变式2-1】（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知，，，是空间中互不相同的四个点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量线性运算的运算法则直接计算. 【解答过程】 ， 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）在四面体中，（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的加减运算计算即可. 【解答过程】根据向量的加法、减法法则，得， 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量加减法运算法则，逐项分析判断即可. 【解答过程】在空间四边形中， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（24-25高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的线性运算即可求解. 【解答过程】, 故选:A. 【变式3-1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案. 【解答过程】原式 . 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二·全国·课后作业）化简：． 【解题思路】根据空间向量的线性运算及运算律即可求解。 【解答过程】原式． 【变式3-3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【解答过程】， 故，，，. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）在四面体OABC中，，，，，N为BC的中点，若，则λ=（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的线性运算，求得，结合已知条件，即可求解. 【解答过程】如图所示，因为N为BC的中点，所以， 又因为，所以， 因为，所以. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二·全国·课后作业）如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值.    （1）； （2）. 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算算出答案即可； （2）根据空间向量的线性运算算出答案即可. 【解答过程】(1)因为， 又， 所以x＝1，y＝－1，z＝1. (2)因为 ， 又， 所以x＝，y＝，z＝1. 【变式4-3】（24-25高二·湖南·课后作业）如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值． (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果； （2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果； （3）因为，由（1），（2）可知，，由此即可求出结果. 【解答过程】（1）解：由向量加法的三角形法则得，， 由平行四边形法则和向量相等得，； 所以， 所以； （2）解：由向量加法的三角形法则得，， 由四边形法则和向量相等得，； 所以， 所以． （3）解： 由（1），（2）可知， ， 所以. 知识点3 共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型5 空间向量共线的判定】 【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【解答过程】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【解题思路】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【解答过程】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【解答过程】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【变式5-3】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【解题思路】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得 ，由此可得证. 【解答过程】解：（1）因为， ， 所以， 所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【解题思路】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【解答过程】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 【变式6-1】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【解题思路】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【解答过程】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C. 【变式6-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【解答过程】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C. 【变式6-3】（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【解题思路】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【解答过程】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 【题型7 空间向量共面的判定】 【例7】（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【解题思路】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【解答过程】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 【变式7-1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案. 【解答过程】A选项：，所以，，是共面向量； B选项：，所以，，是共面向量； C选项：， 所以，，是共面向量； D选项：令 ，显然无解，故不是共面向量. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二·福建·阶段练习）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【解答过程】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 【变式7-3】（24-25高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【解题思路】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【解答过程】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【解答过程】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【解答过程】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D. 【变式8-2】（24-25高二上·广东揭阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【解答过程】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C. 【变式8-3】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【解题思路】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【解答过程】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 【题型9 共线、共面向量定理的推论及应用】 【例9】（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【解题思路】根据三点共线的推理即可求得，. 【解答过程】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B. 【变式9-1】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中， .直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设，通过四点共面，即可求解. 【解答过程】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A. 【变式9-2】（2025高二上·全国·专题练习）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； （2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； 【解答过程】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若， 即， 又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面. （2）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若，此时， 根据空间向量的共面定理，可得点与不共面． 【变式9-3】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【解题思路】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$