广东省广东仲元中学、深圳龙城高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

广东仲元中学-龙城高级中学2024-2025学年度 第二学期高一年级期中联考数学试题 命题人：张海伦 审题人：黄意娴 考试时间：14：30—16：30 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 8. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列判断: ①直线与异面；②平面ABCD；③三棱锥的体积为定值；④的面积与的面积相等;⑤.其中判断正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. 复数的模长等于1 D. 的共轭复数为 10. 如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点，，，在同一平面内 B. 三条直线，，有公共点 C. 直线与直线不是异面直线 D. 直线上存在点使，，三点共线 11. 已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________ 13. 如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是________. 14. 如图，点O为内一点，且，，，则______ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，． （1）若，求的坐标； （2）若，求与夹角的余弦值． 16. 已知复数，i为虚数单位． （1）求z的共轭复数； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 17. 已知向量. （1）求函数的解析式及其单调递减区间； （2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 18. 如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. （1）正四棱锥的表面积； （2）若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； （3）若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 19. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 广东仲元中学-龙城高级中学2024-2025学年度 第二学期高一年级期中联考数学试题 命题人：张海伦 审题人：黄意娴 考试时间：14：30—16：30 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】8 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1）或 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，，理由见解析 【19题答案】 【答案】（1）6；（2）（i）；（ii）至少为米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $