专题1.2 常用逻辑用语（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题1.2 常用逻辑用语（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 3 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 4 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 5 【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 6 【题型5 根据命题的真假求参数】 7 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 9 1、常用逻辑用语 考点要求 真题统计 考情分析 (1)必要条件、充分条件、充要条件 (2)全称量词与存在量词 (3)全称量词命题与存在量词命题的否定 2022年天津卷：第2题，5分2023年新高考I卷：第7题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第2题，5分 常用逻辑用语是高考数学的重要考点，从近几年高考情况来看，常用逻辑用语较少单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中，难度不大.重点关注以下两点：①集合与充分、必要条件相结合的问题的求解；②命题的否定和全称量词命题与存在量词命题的真假判断. 知识点1 常用逻辑用语 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 4．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【方法技巧与总结】 1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 【例1】（2025·天津滨海新·三模）已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】求出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解答过程】由可得且， 因为“”“且”，“”“且”， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-1】（2025·陕西渭南·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义结合特殊值法即可判断. 【解答过程】由可知，或，，此时， 即“”“”； 但当时，取，，此时， 即“” “”， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【解答过程】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A. 【变式1-3】（2025·天津河东·二模）已知，命题p：，命题q：，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】由命题间的必要不充分条件判断即可. 【解答过程】命题p：即， 命题q：即， 所以命题能推出命题，而命题不能推出命题， 所以p是q的必要不充分条件. 故选：C. 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 【例2】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【解答过程】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 【变式2-1】（2025·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【解答过程】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用绝对值不等式的解法化简，再由充分条件与必要条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【解答过程】因为：， 所以， 记； ，记为． 因为是的必要不充分条件，所以A⫋， 所以，解得． 故选：A． 【变式2-3】（2025·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意是的子集，从而求解. 【解答过程】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例3】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明. 【解答过程】对于命题，因为当时，，故命题是假命题； 对于命题，当时，，故命题是真命题. 故选：B. 【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】判断出、的真假，即可得出结论. 【解答过程】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 【变式3-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】判断出、的真假，即可得出结论. 【解答过程】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 【变式3-3】（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】利用判断命题的真假，举例说明，令，可判断命题的真假性. 【解答过程】由，得是真命题，是假命题； 当时，，则，则是真命题，是假命题． 综上，和都是真命题. 故选：A.   【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 【例4】（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解. 【解答过程】由全称量词命题的否定可知， 命题的否定是， 故选：D. 【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据全称量词命题否定的规律，改变量词否定结论，找出结果. 【解答过程】易得全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”. 故选:C. 【变式4-2】（2025·云南·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果. 【解答过程】命题“”的否定是“，”. 故选：B. 【变式4-3】（2025·湖南邵阳·二模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据全称量词命题的否定是特称量词，改量词否定结论即可. 【解答过程】命题“，”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论. 所以命题“，”的否定为“，”. 故选：D. 【题型5 根据命题的真假求参数】 【例5】（2025·河北·模拟预测）若命题“”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据存在性命题真假性可得，运算求解即可. 【解答过程】若命题“”为真命题， 则，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【解答过程】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据命题是真命题的意思求解即可. 【解答过程】因为命题“”为真命题， 所以命题“”为真命题， 所以时，. 因为， 所以当时，，此时. 所以时，，即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式5-3】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【解答过程】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 【例6】（2025·广东茂名·二模）设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据已知条件，推得是的真子集，即可判断． 【解答过程】∵集合， ， ∴是的真子集， 是的充分不必要条件． 故选：A． 【变式6-1】（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误； 对于C，因为，所以，当时， 成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件， 由，可得，所以，所以是的必要条件， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 【变式6-3】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【解答过程】（1）由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时，. 一、单选题 1．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】举反例和可得出. 【解答过程】若，则满足，但不满足，故无法得到； 若，则满足，但不满足，故无法得到， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题即可求解. 【解答过程】命题“，”的否定是“，”， 故选：D. 3．（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【解题思路】分类讨论求解，即可判断． 【解答过程】当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 4．（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【解题思路】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解. 【解答过程】当时，， 所以是假命题，且. 故选：C. 5．（2025·吉林·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解. 【解答过程】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得，或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：C. 6．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【解答过程】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案. 【解答过程】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题. 故选：B. 8．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围. 【解答过程】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即，所以实数的取值范围是. 实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 【解题思路】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【解答过程】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 10．（2025·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【解答过程】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【解题思路】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可. 【解答过程】由题意得，解得，则BC符合题意. 故选：BC. 三、填空题 12．（2025·四川成都·模拟预测）已知命题，，则是 . 【解题思路】根据全称量词命题的否定要求即得. 【解答过程】由，可得：. 故答案为：. 13．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 ． 【解题思路】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案. 【解答过程】命题p：，的否定为：， 故答案为：. 14．（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【解题思路】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可. 【解答过程】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，判断真假并说明理由． (1)； (2)：不论取何实数，关于的方程必有实数根； (3)：有的平行四边形的对角线相等； (4)：有些实数的绝对值是正数． 【解题思路】先求出命题的否定，再判断真假即可. 【解答过程】（1）因为，所以． 显然当时，，所以命题为假命题，的否定为真命题． （2）因为：不论取何实数，关于的方程必有实数根，所以：存在实数，关于的方程没有实数根． 当时，方程有实根；当时，方程的判别式，故命题为真命题，命题的否定为假命题． （3）因为：有的平行四边形的对角线相等，所以：所有平行四边形的对角线都不相等．命题是真命题，命题的否定是假命题． （4）因为：有些实数的绝对值是正数，所以：所有实数的绝对值都不是正数．命题为真命题，命题的否定是假命题． 16．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解题思路】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可. (2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得. 【解答过程】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2）， ， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 17．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【解题思路】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【解答过程】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或. 18．（24-25高一上·山东东营·期中）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案. 【解答过程】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 19．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【解答过程】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 常用逻辑用语（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 3 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 4 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 5 【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 6 【题型5 根据命题的真假求参数】 7 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 9 1、常用逻辑用语 考点要求 真题统计 考情分析 (1)必要条件、充分条件、充要条件 (2)全称量词与存在量词 (3)全称量词命题与存在量词命题的否定 2022年天津卷：第2题，5分2023年新高考I卷：第7题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第2题，5分 常用逻辑用语是高考数学的重要考点，从近几年高考情况来看，常用逻辑用语较少单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中，难度不大.重点关注以下两点：①集合与充分、必要条件相结合的问题的求解；②命题的否定和全称量词命题与存在量词命题的真假判断. 知识点1 常用逻辑用语 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 4．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【方法技巧与总结】 1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 【例1】（2025·天津滨海新·三模）已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2025·陕西渭南·三模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·天津河东·二模）已知，命题p：，命题q：，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 【例2】（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例3】（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．和都是假命题 【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式3-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式3-3】（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 【例4】（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（2025·云南·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】（2025·湖南邵阳·二模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型5 根据命题的真假求参数】 【例5】（2025·河北·模拟预测）若命题“”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 【例6】（2025·广东茂名·二模）设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 【变式6-2】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式6-3】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 5．（2025·吉林·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 6．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 10．（2025·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 三、填空题 12．（2025·四川成都·模拟预测）已知命题，，则是 . 13．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 ． 14．（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，判断真假并说明理由． (1)； (2)：不论取何实数，关于的方程必有实数根； (3)：有的平行四边形的对角线相等； (4)：有些实数的绝对值是正数． 16．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 18．（24-25高一上·山东东营·期中）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$