专题1.1 集合（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题1.1 集合（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 元素与集合的关系】 2 【题型2 集合中元素个数问题】 3 【题型3 子集的个数问题】 3 【题型4 判断集合间的关系】 4 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 4 【题型6 集合的交、并、补集运算】 5 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 5 【题型8 集合中的新定义问题】 5 1、集合 考点要求 真题统计 考情分析 (1)集合的概念 (2)集合间的基本关系 (3)集合的基本运算 2023年I卷：第1题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分 2024年新课标I卷：第1题，5分 2025年全国一卷：第2题，5分 2025年全国二卷：第3题，5分 2025年北京卷：第1题，4分 2025年天津卷：第1题，5分 集合是高考数学的必考考点，新高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的单选题的前3题中，以简单题为主. 知识点 集合 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 4．集合的运算性质 (1)，，． (2)，，． (3)，，． 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【题型1 元素与集合的关系】 【例1】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 集合中元素个数问题】 【例2】（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【变式2-1】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【题型3 子集的个数问题】 【例3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【变式3-1】（2025·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【变式3-2】（2025·黑龙江·三模）已知集合 ，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【题型4 判断集合间的关系】 【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【变式4-2】（2025·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·天津·一模）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 【例5】（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·陕西铜川·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6 集合的交、并、补集运算】 【例6】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·广东茂名·二模）已知集合,，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 【例7】（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【变式7-1】（2025·贵州·二模）已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式7-3】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型8 集合中的新定义问题】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【变式8-1】（2025·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【变式8-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【变式8-3】（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 4．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西临汾·三模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 10．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 11．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 三、填空题 12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合，则 . 13．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 14．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 17．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 18．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 19．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 元素与集合的关系】 2 【题型2 集合中元素个数问题】 4 【题型3 子集的个数问题】 5 【题型4 判断集合间的关系】 6 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 7 【题型6 集合的交、并、补集运算】 8 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 9 【题型8 集合中的新定义问题】 10 1、集合 考点要求 真题统计 考情分析 (1)集合的概念 (2)集合间的基本关系 (3)集合的基本运算 2023年I卷：第1题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分 2024年新课标I卷：第1题，5分 2025年全国一卷：第2题，5分 2025年全国二卷：第3题，5分 2025年北京卷：第1题，4分 2025年天津卷：第1题，5分 集合是高考数学的必考考点，新高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的单选题的前3题中，以简单题为主. 知识点 集合 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 4．集合的运算性质 (1)，，． (2)，，． (3)，，． 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【题型1 元素与集合的关系】 【例1】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【解答过程】依题意可得，所以. 故选：A. 【变式1-1】（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：C. 【变式1-2】（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【解答过程】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 【变式1-3】（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【解答过程】由题可知且 解得. 故选：C. 【题型2 集合中元素个数问题】 【例2】（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【解题思路】根据补集的定义即可求出． 【解答过程】因为， 所以，则中的元素个数为， 故选：C． 【变式2-1】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】将集合与集合所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于的方程，求解的值后再得到对应的值，从而确定两个集合的交集. 【解答过程】将代入，得，解得或0， 所以.则中元素的个数为3个. 故选：C. 【变式2-2】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据给定条件，求出集合即可. 【解答过程】集合，则， 所以集合C的元素个数为3个. 故选：C. 【变式2-3】（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【解题思路】根据题意，得到阴影部分表示的集合为，结合集合运算法则，即可求解. 【解答过程】由题意得，图中阴影部分表示的集合为， 因为集合， 可得， 所以阴影部分所示集合的元素个数为个. 故选：B． 【题型3 子集的个数问题】 【例3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【解题思路】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解. 【解答过程】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 【变式3-1】（2025·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【解题思路】先确定集合中的元素，再求其非空真子集个数. 【解答过程】根据题意，当时， 集合， 集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为. 故选：C. 【变式3-2】（2025·黑龙江·三模）已知集合 ，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】利用子集求解即可. 【解答过程】由题知 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4， 即集合的子集个数为个. 故选：C. 【变式3-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【解题思路】首先求集合中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解. 【解答过程】由条件可知，，，，，，， 所以集合，集合的子集的个数为个. 故选：C. 【题型4 判断集合间的关系】 【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【解答过程】由 ，则. 故选：B. 【变式4-1】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【解题思路】由集合，即可判断集合间的关系. 【解答过程】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C. 【变式4-2】（2025·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可. 【解答过程】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 【变式4-3】（2025·天津·一模）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解. 【解答过程】,故, 由于，故， 由于为任意整数，故 ，因此, ,故， 故， 所以， 故选：B． 【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】 【例5】（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案. 【解答过程】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 【变式5-1】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【解答过程】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的包含关系列不等式，解不等式可得结论. 【解答过程】由，得， 解得且， 故实数的取值范围是． 故选：C． 【变式5-3】（2025·陕西铜川·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，结合图象列不等式即可求解. 【解答过程】因为， 所以, 所以由数轴得. 即的取值范围为. 故选：D.    【题型6 集合的交、并、补集运算】 【例6】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合后结合交集的定义可求. 【解答过程】， 故， 故选：D. 【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合M，再根据并集概念计算. 【解答过程】解：由 ， 所以 故选：D. 【变式6-2】（2025·广东茂名·二模）已知集合,，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先解绝对值不等式，再用交集定义即可求得. 【解答过程】由可得，则， 因，则. 故选：A. 【变式6-3】（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【解答过程】由，则， 集合， 故 故选：D. 【题型7 与集合的运算有关的含参问题】 【例7】（2025·山东威海·三模）已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【解题思路】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【解答过程】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 【变式7-1】（2025·贵州·二模）已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用交集的结果求出范围. 【解答过程】集合，，而，则， 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式7-2】（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据交集的结果直接得出答案. 【解答过程】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B. 【变式7-3】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数集的并集运算求参数的取值范围. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：A. 【题型8 集合中的新定义问题】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【解题思路】由题定义先得，进而可得真子集的个数为. 【解答过程】集合，， 定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为， 故选：B. 【变式8-1】（2025·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【解题思路】先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数. 【解答过程】根据题意，， 则集合的非空子集的个数是. 故选：B. 【变式8-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【解题思路】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【解答过程】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 【变式8-3】（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【解题思路】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【解答过程】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【解答过程】因为，所以， 故选：D. 2．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：C. 3．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【解题思路】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C. 4．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【解答过程】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 5．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【解答过程】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 6．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【解答过程】由 ，则. 故选：B. 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成. 【解答过程】因为， 所以， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 8．（2025·山西临汾·三模）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集、并集的定义计算可得. 【解答过程】因为全集，，， 所以，则. 故选：A. 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【解题思路】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【解答过程】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 10．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ） A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【解题思路】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【解答过程】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 11．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【解题思路】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合，则 . 【解题思路】解不等式求出集合A，即可求集合的交集. 【解答过程】解集合A中的不等式，得， 就是求既属于A又属于的元素，所以. 故答案为：. 13．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 3 ． 【解题思路】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【解答过程】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 14．（2025·上海崇明·二模）已知全集，集合，则 ． 【解题思路】由集合运算求出，然后得到. 【解答过程】，∴， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【解题思路】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【解答过程】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 17．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【解题思路】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 18．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）求出，再求； （2）分类讨论求出集合，根据得，可得答案. 【解答过程】（1）， ， ， （2）存在. ， ①当时，，满足，所以； ②当时，，要满足，则， 因为，所以或5； 综上所述，或3或5. 19．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【解题思路】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【解答过程】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$