2025年湖南省长沙市“星锐杯”拔尖创新人才选拔赛（八年级）数学初赛试卷

2025年星锐杯初赛八年级卷 测试时长: 90分钟 $1.($ 分)若^{==k,且 x+$y>=1$,则$k=$$ 2.(5分)点P(3-2)关于直线x=1对称的坐标是 3.(5分)多项式2x*-x2+4x-5除以(x-1)的余数是___。 4.(5分)若a:b=3:7,b:c=2:7,则a:c= 5.(5分)(2.5x10-3)x(8x104)- (科学计数法) 6.(5分)将数字1-9填入九宫格,使每行、每列、每条对角线和相等。若中心格填5,则角格数 字之和为___。 7.(5分)若x2+y2=-25,xy=12,则x-y=__。 (取正值) 8.(5分)若a+1-6,则a+ 9.(5分)数列2.5,10.17.26. 的第n项为an,若an→100,则最小整数n= 10.(5分)若x-3+2,则x*-10x*+1=_。 11.(5分)定义“完美数”为各位数字互异且无零的正整数。三位完美数共有个。 12.(5分)函数y=x-2+x-3+x-4的最小值为。 13.(5分)2025减去它的,再减去剩余数的, .再减去剩余数的.以此类推,一直到减去剩 余数到20 那么最后剩余的数是__。 14.(10分)解下列关于x的不等式 (1)不等式3x2-2x-1<0.3x的解集是 3x+1<0 (2)不等式x-1 的解集是 15. (20分)如图,线段AB-8,Q是AB的中点,C是AB上的动点,以AC,CB为边在 AB上方做正△ACD和正△CBE。 (1)设P是DE的中点,则PC十PO的最小值是_; (2)设P是DE的中点,则PA+PB的最小值是__: (3)△CDE周长的最小值是; (4)△CDE面积的最大值是 16.(25分)设集合M是正实数集上的一个非空子集,定义集合 A=xx=Vab,aEM,bEM 在基本不等式 由它的几何意义知,若a+b为定值,当a,b越 接近时,ab的值就越大;当a=b时,ab取得最大值。 (1)若集合M=(1.2,3,,2023,2024),aEM,bEM且a+b-2025,则集合A中元素的 最大值是___,最小值是__: (2)根据上述材料,试估计6的值是(精确到0.01): x) (4)已知实数x, (5)已知实数x, 第一届“星锐杯”拔尖创新人才选拔赛-8年级初赛 1.(5分)若==k,且x+y=15,则k=_。[填空题]$ 【答案】3 2.(5分)点P(3,-2)关于直线x=1对称的坐标是_。[填空题] 【答案】(-1,-2) 3.(5分)多项式2x3-x2+4x-5除以(x-1)的余数是__ 。[填空题] 【答案】0 4.(5分)若a:b=3:7,b:c=2:7,则a:c=_-[填空题] 【答案】6:49 5.(5分)(2.5x10-3)x(8×104)=_。 (科学计数法)[填空题] 【答案】2×102 6.(5分)将数字1-9填入九宫格,使每行、每列、每条对角线和相等。若中心格填5,则角格数字之和为 [填空题] 【答案】20 7.(5分)若x②+y2=25,xy=12,则x-y=_。 (取正值)[填空题] 【答案】1 8.(5分)若a+1=6,则a3+=__。[填空题] 【答案】198 9.(5分)数列2,5.10.17.26.的第n项为an,若an100,则最小整数n=_。[填空题] 【答案】10 10.(5分)若x=V3+V2,则x4-10x2+1-_。[填空题] 【答案】0 11.(5分)定义“完美数”为各位数字互异且无零的正整数。三位完美数共有个。[填空题] 【答案】504 12.(5分)函数y=x-2+x-3]+x-4]的最小值为_。[填空题] 【答案】2 13.(5分)2025减去它的) 再减去剩余数的 那么 最后剩余的数是_。 [填空题] 【答案】1 14.(10分)解下列关于x的不等式 (1)不等式3x2-2x-1<03x的解集是 【答案】[-1 【解析】因式分解,知(3x+1)(x-1)<0,于是解集为[-1: (2)不等式0的解集是 【答案】[-1) 【解析】分式方程等价于(3x+1)(x-1)<0或x--,即解集为[-,1): 15.(20分)如图,线段AB=8,O是AB的中点,C是AB上的动点,以AC,CB为边在AB上方做正△ACD 和正△CBE。 (D)设P是DE的中点,则PC+PO的最小值是 (2)设P是DE的中点,则PA士PB的最小值是 (3)△CDE周长的最小值是 (4)△CDE面积的最大值是 【答案】(1)将正AABX补齐,知A.D.X共线,B.E.X共线,知O.X关于正AABX的中位线(与AB平行的) 对称,故PC+P0=PC+PX>CX>OC=43,当C=O时取到 (2)同上补齐正AABX,于是作A关于中位线的对称点A,知: PA+PB=AP+PBAB=(4V3){}+82=4V7 当C一O取到: (3)同上补齐正AABX,于是作D,E关于AB的垂线,设垂足为D,E,知: DC+CE+DE=AC+CB+DE=8+DE>8+D.E.=8+4=12 当C=O取到: (方法2)或使用余弦定理计算DE的最小值:DE②=x2+(8-x)2-2x(8-x)-=3x3-24x+64 =3(x-4)2+16>16,当x=4取到; (4)注意到$SAcne-x(8-x)sin60*=x(8-x)s.(x48-){}=4V3 16.(25分)设集合M是正实数集上的一个非空子集,定义集合 A=fxx=Vab,aEM,bEM 在基本不等式->vab(a>0.b>0)中,由它的几何意义知,若a+b为定值,当a.b越接近时,V的 值就越大:当a三b时,ab取得最大值 (1)若集合M=(1.2.3....2023.2024):aEM,bEM且a+b=2025,则集合A中元素的最大值是 最小值是 (2)根据上述材料,试估计V6的值是 (精确到0.01): (3)已知实数x,y>0,且满足x+y=1,则+2的最小值是 【答案】 (1)根据均值不等式的几何意义知; 当$a=1012,b=1013或a=1013,b=1012时;b取得最大值y1012t1013=1025156$$ 当$a=1:b=2024或a=2024;b=1时:b取得最小值y1x2024=2v506$$ 225 所以2.448<6<2.45,所以6~2.45 (3)由西不等式:+=(t+y)(+>(2+3){}=25,当x=}y=取到$ 3x+2y 2x+3y= 当x=0.y=1取到; 取到: