精品解析： 2025年河南省普通高中招生名校联考三模数学试题

2025年河南省普通高中招生名校联考 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较法则“正数大于0、负数小于0、正数大于负数、负数绝对值大的反而小”，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据有理数的大小比较法则即可得． 【详解】解：这四个数的大小关系为， 则在这四个数中，最小的数是， 故选：A． 2. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：“卯”的视图是： 故选：A． 3. 深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：580万亿； 故选C． 4. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出a的值即可． 【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 6. 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（　　）度时，平行于支撑杆． A. 15 B. 60 C. 70 D. 115 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，平行的性质．根据得出，根据三角形内角和定理得出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种， ∴两次摸到相同颜色的棋子的概率， 故选：C． 8. 如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角为90o．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法正确的是（　　） A. 甲车在立交桥上共行驶9s B. 从F口出比从G口出多行驶40m C. 甲车从F口出，乙车从G口出 D. 立交桥总长为120m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意、结合图象问题可得． 【详解】解：由图象可知，甲车驶出立交桥时，一共行驶的时间为3+2+3＝8（s），故选项A不合题意； 根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走，弧长之和，用时为4s，则走40m，故选项B符合题意； 甲车先驶出立交桥，乙车后驶出立交桥，所以甲车从G口出，乙车从F口出，故选项C不合题意； 图中立交桥总长为：3×3×10+3×2×10＝150（m），故选项D不合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，理解题意、数形结合是解决问题的关键 9. 如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接、，，，过作于点，先证明、、、共线，再求出，，，利用勾股定理得，从而四边形是菱形，是等边三角形，进而得，，于是即可得解． 【详解】解：如图，连接、，，，过作于点， 由正六边形的性质得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，即点、、共线， 同理：点、、共线， ∴、、、共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 同理：， ∴，， ∴， 同理可得， ∴四边形是菱形，是等边三角形， ∵， ∴，， ∴四边形的面积为． 故选∶． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理，正多边形的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质，菱形的判定及性质是解题的关键． 10. 如图，在中，，．的垂直平分线分别交于点，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据旋转的性质，线段垂直平分线的性质得到，，，根据，分类讨论即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形， ∴与重合，则； 如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形， ∴与重合，则； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 如图是跷跷板板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，过作垂直于地面，则，得到，即可得到． 【详解】解：如图，跷跷板的一端着地时，过作垂直于地面， ∵是的中点，垂直于地面，垂直于地面， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴另一端离地面的高度为， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】过H作于Q，根据勾股定理求出设，列方程,求出的值即可求出解． 【详解】解：过H作于Q，如图， 在矩形中，，，, ∴， 由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，有， 即：， 解得：， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，矩形的性质，角平分线性质，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 14. “黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形的弧长以及图形规律，先找出每一步的半径，再运用扇形弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵“黄金螺旋线”是半径大小不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的， 第一步中的扇形的半径是1厘米， ∴（厘米）， ∴它的弧线长是厘米； 结合图形，得第二步中所画的弧线长也是厘米； 第三步，半径是（厘米）， ∴第三步中所画的弧线长为（厘米）； 第四步，半径是（厘米）， ∴第四步中所画的弧线长为（厘米）； 第五步，半径是（厘米）， ∴第五步中所画的弧线长为（厘米）； ∴画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段），______；当的面积为时，运动时间为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，； 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值和实数的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． （1）先运算零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简，然后合并解答即可． （2）根据整式的运算法则进行化简，然后将代入计算解题． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ， 当时，原式． 17. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为______； （2）表格中的____，_____（填“”“”或“”）； （3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图所示． （2）7.5， （3） 解：选择乙公司． 理由：乙公司配送速度得分的平均数和中位数都高于甲公司，说明乙公司的整体配送速度较快（答案不唯一，合理即可）． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，方差的意义，求中位数，扇形统计图，解题的关键是熟练掌握扇形统计图的特点． （1）求出甲公司配送速度得分为9分的频数，补全频数分布直方图即可；用乘以扇形统计图中“7分”的百分比，即可得扇形统计图中圆心角α的度数． （2）根据中位数的定义可得m的值；根据方差的意义可得答案． （3）根据配送速度和服务质量得分统计表分析即可． 【小问1详解】 解：甲公司配送速度得分为9分的频数为． 扇形统计图中圆心角α的度数为． 【小问2详解】 解：由频数分布直方图可得，． 由甲、乙快递公司配送服务质量得分折线统计图知，甲公司的得分数据比乙公司的得分数据波动小， ∴． 故答案为：；＜． 【小问3详解】 略 18. 如图，线段、相交于点．且，于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2） 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定： （1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接、即可； （2）先证明，得到，再证明，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积 ； ； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 20. 【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对公园里的摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图象如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； （2）求摩天轮的半径； 【问题解决】如图2，摩天轮从点旋转到点需6分钟，且两点与地面距离相等，即． （3）若距离地面82米以上能够获得最佳观赏效果，试问摩天轮从点旋转到点的全过程中是否能够获得最佳观赏效果，并说明理由．（结果精确到0.1米，参考数据，，） 【答案】（1）108，3；（2）摩天轮的半径是52.5米；（3）从点旋转到点的全过程能够获得最佳观赏效果． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求得最大值与最小值，即可求解； （2）根据最大值与最小值的差为直径，即可求解； （3）先根据题意求得所对圆心角的度数，连接，作于点，得出，进而即可求解． 【详解】解：（1）图象的最高点对应的的值是108，最低点对应的的值是3米， 摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米． 故答案为：108，3； （2）摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， 摩天轮的直径是米， 摩天轮的半径是52.5米． 答：摩天轮的半径是52.5米； （3）摩天轮顺时针旋转一周需要20分钟，摩天轮从点旋转到点需6分钟， 所对圆心角的度数． 连接，作于点． ． ，， ． ， （米）． 点到地面的距离为：（米）． ， 从点旋转到点的全过程能够获得最佳观赏效果． 21. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多3元． （1），款哪吒玩偶每个各多少元？ （2）试营业时计划购买款哪吒玩偶共200个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款哪吒玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）、款哪吒玩偶每个各6元和9元 （2）购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的一用以及一次函数的实际应用． （1）设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元．根据用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等为等量关系列出分式方程的解即可得出答案． （2）设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个，根据其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 则（元）， 、款哪吒玩偶每个各6元和9元． 【小问2详解】 解：设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个， 款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的， ， 解得， ，且为正整数． 根据题意，购买这批哪吒玩偶总费用， ， 随的增大而减小， ，且为正整数， 当时，取最小值，此时， 即购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元． 22. 图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方处的A点发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求图2中抛物线的表达式． （2）记图2中的落球点为点E，则的长为多少？ （3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则的长为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，即可求解； （3）由，即可求解. 【小问1详解】 解：建立如图2、3所示的直角坐标系， 则点A、M的坐标分别为、， 设抛物线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：令， 解得：（舍去）或， 即； 【小问3详解】 解：设点， 由（2）知点， 设抛物线的表达式为：， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即长为. 23. 我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】 （1）选①证明：，， ， ， ， ， ； 选②证明：，， ， ， ， ， ； 选③证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）选①，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选②，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选③，先证明，再列出比例式，变形即可得； （2）先判定是直角三角形，再说理，先证明，再列出比例式，变形即可得，再证明，从而可得，再利用垂直的意义得出，从而可得，最后可判断是直角三角形； （3）先写出结论线段的长为，再说明理由，先证明，再利用垂直的意义得出，从而可求得，再证明，列出比例式和，从而可得，求得，从而可得是定值，且是定值，再得出当时，取得最小值， 此时与重合，求得，从而可利用勾股定理求得． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）线段的长为．理由如下： 是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于， 过作交于，过作交于， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动， 当时，取得最小值， 此时与重合， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形有关的动点问题，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省普通高中招生名校联考 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 6. 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（　　）度时，平行于支撑杆． A. 15 B. 60 C. 70 D. 115 7. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角为90o．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法正确的是（　　） A. 甲车在立交桥上共行驶9s B. 从F口出比从G口出多行驶40m C. 甲车从F口出，乙车从G口出 D. 立交桥总长为120m 9. 如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，．的垂直平分线分别交于点，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 如图是跷跷板板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 13. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 14. “黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是________厘米． 15. 如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段），______；当的面积为时，运动时间为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为______； （2）表格中的____，_____（填“”“”或“”）； （3）综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由． 18. 如图，线段、相交于点．且，于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 20. 【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对公园里的摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图象如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； （2）求摩天轮的半径； 【问题解决】如图2，摩天轮从点旋转到点需6分钟，且两点与地面距离相等，即． （3）若距离地面82米以上能够获得最佳观赏效果，试问摩天轮从点旋转到点的全过程中是否能够获得最佳观赏效果，并说明理由．（结果精确到0.1米，参考数据，，） 21. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多3元． （1），款哪吒玩偶每个各多少元？ （2）试营业时计划购买款哪吒玩偶共200个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款哪吒玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 22. 图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方处的A点发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求图2中抛物线的表达式． （2）记图2中的落球点为点E，则的长为多少？ （3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则的长为多少？ 23. 我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $