2.2.4均值不等式及其应用 2025-2026学年高一数学人教B版(2019)必修第一册

2.2.4　均值不等式及其应用 高中数学人教B版(2019)必修一 主讲人： 1 掌握均值不等式 结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题． 1．能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式．(数学抽象) 2．能够利用求差法推导均值不等式，理解均值不等式的几何意义．(逻辑推理、直观想象) 3．明确均值不等式的形式及等号成立的条件，会用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题．(逻辑推理、数学运算) 4．掌握均值不等式，学会灵活变换条件使用均值不等式解决最值问题．(逻辑推理、数学运算) 课标解读 素养目标 2 两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标那么 （1）几何平均值有什么几何意义呢? （2）两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢? 给定两个正数a，b， 数 称为a，b的算术平均值; 数 称为a，b的几何平均值· 知识点一　算术平均值与几何平均值 3 (1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小:(2)如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据(1)说出结论的几何意义. 尝试与发现 4 知识点二、均值不等式 1. 如果a,b都是正数,那么 ，当且仅当a=b时等号成立． 此结论通常称为均值不等式，也称为基本不等式 证明 ⸪a，b都是正数 ⸫ 即 ，等号成立时，当且仅当 ，即a=b. 2.推广：多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义. 例如，a,b,c的算术平均值为 ，几何平均值为 . 5 将均值不等式两边平方可得 如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab， 与矩形周长相等的正方形的面积为 3．几何角度解释均值不等式 均值不等式的几何意义(1):所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. 你能推广这个结论吗?比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大?平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大? 想一想 答：周长相等的三角形中，正三角形的面积最大。平面上周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大，当周长一定时，正多边形的面积随着边数的增加而增加，当边数趋近于正无穷时，边长趋近于一个点，正多边形的形状趋近于一个圆，故圆的面积最大 6 如图 2-2-7 所示的半圆中，AB 为直径，0为圆心，已知 AC=a，BC=b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD 和CD，给出均值不等式的另一个几何意义: 探索与研究 证明：如图 可证Rt△ACD∽Rt△DCB 则有 即CD2＝AC·CB，得CD＝ 所以 几何意义(2)：在同一个圆中，半径不小于半弦 7 例 1已知x>0，求 的最小值，并说明x 为何值时y取得最小值. 解：⸪x>0，⸫根据均值不等式有 其中等号成立当且仅当 ，即x2=1， 解得x=1或x=-1(舍)⸫x=1时，y取得最小值 2. 8 例 2已知 ab>0，求证: ，并推导出等号成立的条件. 证明: ⸪ab>0， 根据均值不等式，得 当且仅当 ，即a2=b2时，等号成立.因为ab>0， 所以等号成立的条件是a=b 9 例 3(1)已知矩形的面积为 100，则这个矩形的长、宽各为多少时矩形的周长最短?最短周长是多少? (2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大?最大面积是多少? 解:(1)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy=100. ⸪ x>0，y>0 ⸫ 2(x+y)≥40. 当且仅当x=y时，等号成立， 由 可知此时x=y=10. ⸫当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40. (2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x+y)=36，即x+y=18. ⸪x>0，y>0， 当且仅当x=y时，等号成立，由 可知此时x=y=9 ⸫当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81. 10 例3的结论可以表述为: 当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值; 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值， 例4已知x∈(-1，3)，求 y=(1+x)(3-x)的最大值，以及y取得最大值时x的值. 解：当x∈(-1，3)时，-1<x<3，因此1+x>0，3-x>0. 解由均值不等式可得 从而(1+x)(3-x)<4，即y≤4 当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立 从而当x=1时，y取得最大值 4. 11 例 5已知a，b是实数，求证:a2+b2≥2ab.并说明等号成立的条件. 证明:因为a²+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以 a2+b2-2ab≥0，即 a²+b2≥2ab.等号成立时，当且仅当(a-b)2=0，即a=b. 例6已知a，b∈R，求证: (1)(a+b)2≥4ab; (2)2(a²+b2)≥(a+b)2 证明：(1)因为a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，得a²+b2+2ab≥4ab, 即(a+b)2≥4ab. (2)因为a2+b2≥2ab，两边同时加上a2+b2，得2(a²+b2)≥a²+b² +2ab, 即2(a²+b2)≥(a+b)2 12 知识点三 几个重要不等式 当且仅当a=b等号成立 13 巩固训练 1.(多选题)下列不等式正确的是(　ABC　) A.当x＞0时, D．若x为负实数， 解析：符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”，A正确；不等式取等号的条件是 ,此时x＝0，B正确；由均值不等式可知C项正确；当x＜0时 D错 14 2.　设0＜a＜b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　B　)A． B．b C．2ab D．a2＋b2 解析：方法一：∵0＜a＜b，且a＋b＝1， ∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)＞0， ∴b＞a2＋b2，∴b最大．方法二： ，故选B． 15 3．下列说法正确的是(　C　)A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立B．若a≠0，则C．若a＞0，b＞0，则D．0＜a＜1，则a(3－3a)取得最大值时a的值为 解析：任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2 成立，故A错误；只有当a＞0时，根据均值不等式，才有不等式 成立，故B错误；因为 ，所以 ， 故C正确；由a(3－3a)＝3a(1－a)≤3× ，当且仅当a＝1－a， 即a＝ 时取等号，故D错误．故选C． 16 4．下列说法不正确的有(　D　)A．存在a，使得不等式 成立 B．不等式a＋b≤ 恒成立C．若ab＞0，则 D．不等式a＋b≥2 恒成立 解析：当a＜0时， 成立，A正确；当a＋b≤0时成立，当a＋b＞0时，(a＋b)2－2(a2＋b2)＝－(a－b)2≤0，故a＋b≤ ，一定成立，B正确；若a＞0，b＞0可得 ，若a＜0，b＜0，可得 ，当且仅当 ，即a＝b时取等号，C正确；当a＜0，b＜0时不成立，D不正确． 17 解析：a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立． 5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　B　)A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 6．设a＞0，b＞0，证明： 证明：∵a＞0，b＞0， 当且仅当a＝b时，等号成立． 18 本节要点回顾 1.算数平均值与几何平均值 2.均值不等式 3.几个重要不等式 19 感谢观看！ 20 $$