2025 年湖南省长沙市初中学业水平考试6月份模拟试卷数学试题

2025 年长沙市初中学业水平考试试卷定心卷 数 学 注意事项： 1.答题前、请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题、在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分. 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.轮船可以通过反转螺旋桨的方向来实现反推操作.如果螺旋桨顺时针方向旋转30转，记为+30转，那么螺旋桨逆时针方向旋转20转，应该记为 A. 30转 B. - 30转 C. 20转 D. - 20转 2.如图是某机械零件的示意图，其主视图是 3.2025年以来，从眘晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，人形机器人“火”了起来，一季度，工业机器人、服务机器人产量总和达到2753000套.用科学记数法将数据2753000表示为 4.下列计算正确的是 5.分式方程 的解为 B. x=3 6. 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,连接DE,若∠ADE=∠B=40°,∠AED=72°,则∠C的度数为 A. 72° B. 50° C. 40° D. 36° 7.已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是一次函数 图象上的两点，若： 则y₁与y₂的大小关系为 D.无法确定 定心卷·数学、第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 万唯中考《定心卷》考前7天 最后一卷 8.某校举办“活力与梦想”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟.初赛结束后，随机抽取5名选手的演讲时长(单位:分钟),分别为:2.5,3.2,3.8,4、1,4.6、为了更全面地评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的演讲时长纳入统计.若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相同，则新抽取的2名选手的演讲时长可能是 A.2.8分钟、3.5 分钟 B. 3.6分钟.4.2分钟 C. 4、3分钟、4、5分钟 D. 3.9分钟,4.8分钟 9、如图、AB为⊙O的直径、AB⊥弦CD 于点 E,连接AC,BD,若BE=1,BD=3,则AC的长为 A. 6 C. 6 D. 3 10.电影《哪吒之魔童闹海》不仅视觉震撼，而且有多层次的教育意义.某班级在组织学生集体观看影片后，开展了“剧本分析，角色扮演”活动.为了决定角色的扮演者，老师设计了摸卡片游戏，把四张分别写有“哪吒”“敖丙”“申公豹”“太乙真人”且除文字外其他均相同的卡片放在不透明的袋子中，甲同学从四张卡片中随机抽取1张后，乙同学再从剩余的卡片中随机抽取1张，根据抽取卡片上的角色确定扮演者，则甲、乙同学扮演“哪吒”，“敖丙”的概率为 A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.分解因式： 12.某校规定学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时，老师统计班上某位学生5天在校体育锻炼时间(单位：小时)为：1.2，1.1，1.3，1.5，1.3，则该学生5天在校体育锻炼时间的众数是 13.已知圆心角为120°的扇形所对的弧长为2π，则该扇形的半径为 . 14.如图，在Rt三角形ABC中，∠BAC=90°，AD为中线，若AB=6，AC=8.则AD=___________ 15. 如图,在平面直角坐标系中,A(m,4),B(n,1)是反比例函数 图象上的两点，过点A作AC∥y轴,过点 B作BC∥x轴交AC于点 C,则S△ABC= . 16.“约瑟夫环”是一个经典的数学问题，生活中常利用“约瑟夫环”的基本原理做游戏，游戏过程如下：n个人围成一圈，从第1个人开始报数，数到m的人出列，然后从出列的下-个人重新开始报数，数到m的人再出列，如此循环，直到所有人都出列为止，问题是确定最后出列的那个人在最初的圆圈中的位置.若现在有7个小朋友做这个游戏，并从1~进行编号后开始报数，规定数到4的小朋友就退出游戏，那么最后一个退出游戏的是纟号为 的小朋友. 定心卷·数学 第2页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 万唯中考《定心卷》考前7天 最后一卷 三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21 题每小题8分,第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算: 18.先化简，再求值： 其中 19.2025年4月20日，战马2025 湘江半程马拉松赛暨第四届长株潭融城半程马拉松赛正式开跑.如图，无人机在组委会指挥车A 正上方的B处测得停在正前方的保障车C的俯角为60°，无人机沿水平方向飞行200米至保障车C正上方D处，测得水平路面上正前方引导车E处的俯角为30°(无人机及车辆均看作一点，且所有点均在同一平面内). (1)求无人机的飞行高度AB(结果保留根号)； (2)求指挥车A与引导车E之间的距离AE. 20.为了培养学生的数学素养，某校开设了“图说数学史”“玩转几何”“数学实践”“数学建模”四门趣味课程，为了调查学生对四门趣味课程的喜爱情况，进行了调查问卷(每人选出一门自己最喜欢的课程)，并将收集到的信息绘制成如下不完整的统计图表. 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共抽取了 名学生进行问卷调查； (2)请补全条形统计图； (3)请计算扇形统计图中“图说数学史”部分所对应扇形的圆心角度数是 ； (4)若该校共有学生4000人，请估计全校最喜欢“玩转几何”兴趣课程的学生人数. 21.如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别与AC，BC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于 DE长为半径画弧，两弧在△ABC内部交于点P，作射线CP，与AB 交于点F，以点C为圆心，AC长为半径画弧，与BC交于点 G，连接GF.. (1)求证:△ACF≌△GCF; (2)若AB=5,BC=8,AC=7,求△BFG的周长. 定心卷·数学 第3页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 22.大围山梨和天岩寨柑桔作为长沙特产，是全国农产品地理标志.某水果店计划购进两种水果进行销售，已知每千克大围山梨的进价比天岩寨柑桔贵4元，购进10千克大围山梨的费用和购进15千克天岩寨柑桔的费用相同. (1)求大围山梨和天岩寨柑桔每千克的进价分别为多少元? (2)该水果店计划投入不超过1100元的采购经费；且两种水果合计购进100千克以满足市场需求，根据采购经费与数量要求，计算最多可采购大围山梨多少千克? 23. 如图,△ABD与△CBD关于BD对称,且满足AD∥BC. (1)求证:四边形ABCD 是菱形; (2)过点A作AE⊥BC于点E,交BD 于点F,若AF=5,EF=3,求CE的长及四边形ABCD的面积. 24. 在平面直角坐标系中,对于点 P(x₁,y₁),当点 Q(x₂,y₂)满足 时，称点( y₂)是点 P(x₁,y₁)的“差反点”. (1)判断点 Q₁(1,2),Q₂(4,3),Q₃(-3,-2)(中,哪个是点 P₁(2,1)的“差反点”? (2)若抛物线 上存在两个点是点 P₂(a，0)的“差反点”，求a的取值范围； (3)对于点 P₃(1,0),若抛物线 上存在唯一的“差反点”，且当-1≤m≤3时,n的最大值为3-t,求t的值. 25. 如图,AB是⊙O 的直径,C是⊙O 上一动点(不与点A,B重合),连接AC,BC,OC,D是OC延长线上一点,且满足∠BOD=2∠CBD.设⊙O的半径为r. (1)求证:BD是⊙O 的切线; (2)过点B作BE⊥OD于点E，在点C的运动过程中，请判断 的值是否发生变化，并说明理由； (3)设 tan A=x, tan D=y. ①求y与x之间的函数关系式； ②记△ACO, △ABC, △BCD,△BOD的面积分别为S₁,S₂,S₃,S₄,当 时，求y与x的大小关系. 定心卷·数学 第4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 中考定心卷(长沙)数学 参考答案及评分标准 数 学 参考答案及评分标准 对究答案后，请翻至详解详析，更好地掌握解题思路哦！ 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C D A A B C B 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. (x+1)(x-1) 12. 1.3 13. 3 14. 5 15. 16. 2 三、解答题(本大题共9个小题，共72分) 17. 解:原式 …………………………… (4分 =1-2+5-3 ……………………………………………… (5分 =1. ……………………………… (6分 18. 解:原式: …………………………………… (4分 当 时， 原式 …………………… (6分 19. 解:(1)如解图,连接CD. ∵点D在点 C的正上方， 根据题意,得四边形ABDC 是矩形,BD=200米,∠CBD=60°,∠EDF=30°, ∴AC=200米. 在Rt△ABC中,∠ABC=∠ABD-∠CBD=90°-60°=30°, (米).… (2分 答：无人机的飞行高度AB为200 米;………………………………………………(3分 (2)由(1)得,四边形ABDC是矩形, 米， ∴CD=AB=200 米. 在Rt△CDE中, 答案详解及评分标准参考答案及评分标准 数学 (米), ∴AE=AC+CE=200+600=800(米), ………………………………………………………………… (5分) 答：指挥车A与引导车E之间的距离AE为800米.…………………………………………………(6分) 20. 解:(1)250; …………………………………………………………………………………………… (2分) (2)补全条形统计图如解图；……………………………………………………………………………(4分) (3)108°; ……………………………………………………………………………………………… (6分) (人). … (7分) 答：全校最喜欢“玩转几何”兴趣课程的学生人数约为1 600人.…………………………………(8分) 21. (1)证明:根据尺规作图可知CF是∠ACB的平分线,AC=GC,∴∠ACF=∠GCF. …………………………………………………………………………………… (2分) 在△ACF和△GCF中, ∴△ACF≌△CCF(SAS); …………………………………………………………………………… (4分) (2)解:由(1)得,△ACF≌△GCF, ∴AF=GF. …………………………………………………………………………………………… (6分) ∵AC=GC=7,BC=8, ∴BG=BC-GC=8-7=1, ∴△BFC的周长为BF+GF+BC=BF+AF+BG=AB+BG=5+1=6. …………………………………… (8分) 22.解：(1)设大围山梨每千克的进价为x元，天岩寨柑桔每千克的进价为y元， 根据题意，得 ………………… (2分) 解得 答：大围山梨每千克的进价为12元，天岩寨柑桔每千克的进价为8元；………………………………(4分) (2)设采购大围山梨m千克，则采购天岩寨柑桔(100-m)千克， 根据题意,得12m+8(100-m)≤1100,………………………………………………………………… (7分) 即4m≤300, 解得m≤75. 答：最多可采购大围山梨75千克.………………………………………………………………………(9分) 23. (1)证明:∵△ABD与△CBD关于BD 对称, ∴△ABD≌△CBD, ∴∠ABD=∠CBD,AB=CB,AD=CD.………………………………………………………………… (2分) ∵AD∥BC, 中考定心卷(长沙)参考答案及评分标准 数学 ∴∠ADB=∠CBD. ∴∠ABD=∠ADB. ∴AB=AD、 ∴AB=CB=AD=CD、 ∴四边形ABCD是菱形;………………………………………………………………………………… (4分 (2)解:如解图,连接CF, ∵△ABD与△CBD关于BD对称,点F在BD上, ∴AF=CF=5,AB=CB. ∵AE⊥BC, ∴∠CEF=90°. 在 Rt△CEF中, … (6分 ∴AB=CB=BE+CE=BE+4. 在Rt△ABE中, 由勾股定理，得. 又∵AE=AF+EF=5+3=8, 解得BE=6, ∴BC=BE+4=6+4=10. 由(1)得,四边形ABCD 是菱形, ∴S菱BABCO=BC·AE=10×8=80. ………………………………………… (9分: 24. 解:(1)∵1+2=2+1,4+2≠3+1,-3+2=-2+1, 结合“差反点”的定义,得Q₁(1,2),Q₃(-3,-2);是点 P₁(2,1)的“差反点”; ……………… (2 分: (2)设抛物线 上满足题意的“差反点”为( ∵抛物线上存在两个满足题意的“差反点”， 解得 ………… (5 分) (3)设抛物线 上满足题意的唯一的“差反点”为 ∵ 抛物线上存在唯一的“差反点”， 学科网（北京）股份有限公司 答案详解及评分标准 整理，得 ∴n关于m的函数图象开口向下，其对称轴为直线m=t.…………………………………………(7分) 分类讨论如下： ①如解图①,当t≥3时, ∵-1≤m≤3, ∴函数在m=3时，取得最大值， 最大值为 解得 (舍去); ②如解图②，当t≤-1时，函数在m=-1时，取得最大值， 化简得 无解；数学 ③如解图③,当-1<t<3时,函数在 n=t时，取得最大值，参考答案及评分标准 ∴t-2=3-l, 解得 综上所述，t的值为 或 ………………………… (10分) 25. (1)证明:∵AB是⊙O的直径, 定心卷(长沙)数学 参考答案及评分标准 .∠A=∠CBD. ∵∠CBD+∠ABC=90°. 即∠DBO=90°. ∵OB是⊙O的半径, ∴那是⊙O的切线: ……………………………………………………………………………… (3分 (2)解: 的值不发生变化，始终等于 .…(4分 理由如下： 由(1)得,∠DBO=90°, ∴在RI△OBD中, 又∵ 将②式代入①式中， 得 即 等式两边同时除以 OB²·BD², 得 即 的值不发生变化，始终等于 ………………………………………… (6分 (3)解:①如解图,延长CO交⊙O于点F,连接BF, 易得∠CBF=90°, 在Rt△BCF中, ∴∠A=∠F. 由(1)得,∠A=∠CBD, ∴∠F=∠CBD. ∵∠D=∠D, 答案详解及评分标准 ∴△CBD∽△BFD, ∴CD=xBD. …………………………………………… (7分) ∵在Rt△OBD中, ∵在Rt△OBD中,( 化简整理，得 ∴y与x之间的函数关系式为 ……………………………… (8分) ②∵O为AB的中点, 数学 参考答案及评分标准 又： 又·. 即 ∴OC=CD, ∴BC为 Rt△BOD斜边上的中线, ∴BC=0C. 又∵OB=OC, ∴△BCO为等边三角形， ∴∠BOC=∠CBO=60°, … (10分) 学科网（北京）股份有限公司 $$