精品解析：河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期三模测试(A)数学试题

河南省信阳高级中学 2024-2025学年高三下期三模测试（A） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答. 【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是，而全集，，， 所以. 故选：D 2. 已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出直线的斜率，由直线与垂直可得进而求得的斜率，就可得到的倾斜角. 【详解】∵直线，直线与垂直， ，解得， 的倾斜角为. 故选：B. 3. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方关系求出，即可求出、，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则. 故选：A 4. 已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 5. 由祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可. 【分析】根据祖暅原理可知，当时，一定有成立， 反之，当成立时，不一定有成立， 比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，以为邻边作平行四边形，根据向量加减法的几何意义，结合投影向量的概念，即可求出结果. 【详解】令， 以为邻边作平行四边形， 则，即为，对角线相等， 所以平行四边形为矩形， 则在方向上的投影向量，即为在方向上的投影向量. 故选：. 7. 已知正六棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，则该六棱锥体积的最大值为（ ） A. B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由球与正六棱锥的性质建立六棱锥体积与球心与底面中心距离的函数关系计算即可求得最值. 【详解】 如图所示，设球半径为，球心到六棱锥底面中心的距离为，由题意易知正六棱锥顶点与共线， 由球的体积为，可得， 则，， 即 当且仅当，即时，正六棱锥的体积取得最大值. 故选：B 8. 设实数，满足，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】先假设，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解. 【详解】假设，则，， 由得， 因函数在上单调递减，又，则，所以； 由得， 因函数在上单调递减，又，则，所以； 即有与假设矛盾，所以， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，且，则 C. 一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19 D. 若，，，则事件与事件相互独立 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，根据二项分布的方差公式求解即可；对B，根据正态分布的对称性求解即可；对C，根据百分位数的定义判断即可；对D，根据对立事件的概率公式，结合事件与事件相互独立事件满足判断即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，若随机变量，且，则，故B错误； 对C，数据组共10个数据，故第80百分位数为从小到大第8，9个数据的平均数，即，故C正确； 对D，，故，故事件与事件相互独立，故D正确； 故选：CD 10. 在中，内角，，所对的边分别，，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 外接圆的半径为 C. 取得最小值时， D. 时，取得最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，由正弦定理化简可得，再根据三角形面积公式判断即可；对B，根据结合正弦定理判断即可；对C，根据正弦定理与余弦定理化简可得，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D，根据三角函数值域求解即可. 【详解】对A，由正弦定理即，又，故，故三角形面积为，故A错误； 对B，，则，设外接圆的半径为，则，故，故B正确； 对C，由及正弦定理可得，由余弦定理，即，化简可得，由基本不等式，，当且仅当时取等号，此时，故当，时，取得最小值，故C错误； 对D，由C，，当时，取得最大值，故D正确； 故选：BD 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在处的切线方程为 B. 当时，函数在上单调递减 C. 若函数在上恰有一个极值，则 D. 当时，，满足 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据导数的几何意义判断即可；对B，求导分析导函数的正负判断即可；对C，令可得，再构造函数，求导分析单调性与最值，根据极值的定义判断即可；对D，根据不等式，推导即可. 【详解】对A，当时，，，，故切线为，故A错误； 对B，当时，. 当时，，则；当时，， 则.故当时，，单调递减.故B正确； 对C，令，则，令， 则， 令，解得或，令，解得， 故在，上单调递增，在上单调递减. 当等于的极大值或极小值时，，但在导数值为0的左右两边同号，不满足极值点定义； 当时，有唯一零点，且此时满足题意，故C正确； 对D，当时，，构造，则， 易得当时，单调递减；当时，单调递增. 故，故，，当且仅当时取等号. 故，当且仅当时取等号. 又，故，则，当且仅当时取等号， 故，故不存在，满足，故D错误； 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______. 【答案】280 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合两个二项式相乘的特点，求出k，即可求得答案. 【详解】的展开式中通项为, 所以要使展开式中出现常数项，需或， 当时，；当时，（舍去）， 所以常数项为， 故答案为：280. 13. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______. 【答案】 【解析】 【分析】得到为方程的另外一个根，利用根与系数的关系求出的值，进而求出答案. 【详解】设实系数一元二次方程 ∵是关于的实系数一元二次方程的一个根， ∴为方程的另外一个根， ∴，， ∴，， ∴该方程可以是 故答案为： 14. 甲，乙两人进行一场七局四胜制的游戏，任何一人累计获胜四局即为胜方，同时游戏结束，另一人为负方．若在每局中，双方各有的概率获胜，则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数学期望为______． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题可设游戏结束时胜方比负方多获胜的局数为,则可能取值为1,2,3,4, 比七局,前六场两人三胜三负,胜方比负方多获胜一场,; 比六局,前五场胜方三胜两负,胜方比负方多获胜两场,; 比五局,前四场胜方三胜一负,胜方比负方多获胜三场,, 比四局,胜方连胜四局,, 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 正项等比数列的前项和为，满足，． （1）求的通项公式； （2）若为的前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值． 【答案】（1） （2）或，的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据求出公比，根据求出首项即可； （2）讨论、、即可求出. 【小问1详解】 设数列公比为，则，解得或， 因等比数列为正项数列，则， 则，解得， 则 【小问2详解】 当时，；当时，；当时，， 所以当或时，最大，最大值为 . 16. 设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1），； （2）的单调递增区间为,；单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求得，根据二次函数对称性，以及，即可求得； （2）根据（1）中所求解析式，判断的正负，即可判断原函数单调性，从而求得单调区间. 【小问1详解】 因，故． 因为的图象关于直线对称，即，解得． 又由于，即，解得； 故. 【小问2详解】 由知，． 令，即，解得． 当时，，故在上为增函数； 当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数． 综上所述，的单调递增区间为,；单调递减区间为. 17. 某公司有员工140人，为调查员工对薪酬待遇的满意度，现随机抽取了15人，通过问卷调查，有3人对薪酬不满意. （1）试估计公司中对薪酬不满意的人数； （2）从15名调查对象中抽取2人，用表示其中对薪酬不满意的人数，试求的数学期望； （3）实际上，由于问题比较敏感，被调查者为了保护自己的隐私往往会做出相反的回答，导致调查数据失真.为此对调查方法进行优化，现向15名调查对象提供两个问题： 问题A：你对公司薪酬是否不满意？ 问题B：现场抛一枚硬币，是否正面朝上？ 在一个密闭房间里有一个箱子，箱子中放入大小相同的10个小球，其中黑色小球7个，白色小球3个，每位调查对象进入房间后，从箱子中摸出一个小球后放回，若是黑球，则回答问题A，若是白球，则抛硬币完成问题B.若有6人回答“是”，试用全概率公式估计公司中对薪酬不满意的人数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以样本中对薪酬不满意的人数频率为公司中对薪酬不满意的人数频率求解即可； （2）根据满足二项分布，结合二项分布的数学期望求解即可； （3）设公司中对薪酬不满意的频率为，再根据全概率公式列式求解可得，进而估计公司中对薪酬不满意的人数即可. 【小问1详解】 估计公司中对薪酬不满意的人数为人. 【小问2详解】 由（1）可得易得满足二项分布，公司中对薪酬不满意的概率为，故. 【小问3详解】 由题意，回答问题的概率，回答问题的概率. 设公司中对薪酬不满意的频率为，满意的频率为，则问题回答是的概率为，否的概率为；问题回答是的概率为，否的概率为； 故，解得. 故估计公司中对薪酬不满意的人数约为人. 18. 如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均. （1）设平面与平面的交线为，求证：； （2）若，的中点为， （i）求正四棱锥的高h； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）首先作辅助线，利用线面垂直的性质证明，然后利用线面平行的性质证明，从而可证明. （2）（i）首先建立空间直角坐标系，然后将点的坐标求出来，然后根据线段之间的关系求出正四棱锥的高；（ii）利用坐标法将平面和平面的法向量求出来，进而利用向量的数量积可求出平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为，所以， 又平面， 所以平面， 又因平面，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因平面与平面的交线为，平面， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 （i）连接交于点，连接， 则平面， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，则， 设，则， 则， 由，得， 由，得，解得， （ii）由题意及（1），（2）（i）得 ， 因为，的中点为，所以平面与平面重合， ， 设平面法向量为， 则有，令，则，所以， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是的右准线. （1）求的方程以及的离心率； （2）设与轴的交点为，过点的直线与的右支相交于A，B两点， （i）以，A，B为其中的三个顶点作平行四边形，求平行四边形面积的取值范围； （ii）设直线与直线的交点为P，点P在y轴上的射影为Q，直线，与x轴的交点分别为G，H，则是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 【答案】（1），离心率为 （2）（i）（ii）是，1 【解析】 【分析】（1）根据，根据准线方程得到，得到双曲线方程，并得到离心率； （2）（i）设方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，因为A，B在C的右支上，故，解得，设平行四边形的面积为S，换元后，得到，由函数单调性得到面积的取值范围； （ii）求出，，由A，G，Q三点共线得到方程，求出解得，同理得，结合韦达定理得到，即的中点为，从而得到故为定值1. 【小问1详解】 设的半焦距为，易知， 因为：为的右准线，所以， 解得，所以， 所以的方程为，离心率； 【小问2详解】 （i）由已知可得直线不与轴垂直，设其方程为， 联立，整理得，， 设，， 则，， 因为A，B在C的右支上， 所以，解得. 设平行四边形的面积为S，易知， 则， 设， 则. 因为在区间内单调递减， 所以，则， 故平行四边形面积的取值范围为； （ii）联立，得，. 设，， 由A，G，Q三点共线，得， 解得，同理得， 所以 ， 即的中点为， 故为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学 2024-2025学年高三下期三模测试（A） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 5. 由祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正六棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，则该六棱锥体积的最大值为（ ） A. B. 16 C. D. 8. 设实数，满足，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A 若随机变量，则 B. 若随机变量，且，则 C. 一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19 D. 若，，，则事件与事件相互独立 10. 在中，内角，，所对的边分别，，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 外接圆的半径为 C. 取得最小值时， D. 时，取得最大值为 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在处的切线方程为 B. 当时，函数在上单调递减 C. 若函数在上恰有一个极值，则 D. 当时，，满足 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______. 13. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______. 14. 甲，乙两人进行一场七局四胜制的游戏，任何一人累计获胜四局即为胜方，同时游戏结束，另一人为负方．若在每局中，双方各有的概率获胜，则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数学期望为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 正项等比数列的前项和为，满足，． （1）求的通项公式； （2）若为前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值． 16. 设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间． 17. 某公司有员工140人，为调查员工对薪酬待遇的满意度，现随机抽取了15人，通过问卷调查，有3人对薪酬不满意. （1）试估计公司中对薪酬不满意的人数； （2）从15名调查对象中抽取2人，用表示其中对薪酬不满意的人数，试求的数学期望； （3）实际上，由于问题比较敏感，被调查者为了保护自己隐私往往会做出相反的回答，导致调查数据失真.为此对调查方法进行优化，现向15名调查对象提供两个问题： 问题A：你对公司薪酬是否不满意？ 问题B：现场抛一枚硬币，否正面朝上？ 在一个密闭房间里有一个箱子，箱子中放入大小相同的10个小球，其中黑色小球7个，白色小球3个，每位调查对象进入房间后，从箱子中摸出一个小球后放回，若是黑球，则回答问题A，若是白球，则抛硬币完成问题B.若有6人回答“是”，试用全概率公式估计公司中对薪酬不满意的人数. 18. 如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均为. （1）设平面与平面的交线为，求证：； （2）若，的中点为， （i）求正四棱锥的高h； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是的右准线. （1）求的方程以及的离心率； （2）设与轴的交点为，过点的直线与的右支相交于A，B两点， （i）以，A，B为其中的三个顶点作平行四边形，求平行四边形面积的取值范围； （ii）设直线与直线交点为P，点P在y轴上的射影为Q，直线，与x轴的交点分别为G，H，则是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$