2.2二次函数的图象与性质 第4课时 课件 -2025-2026学年北师大版九年级数学下册

第二章　二次函数 2　二次函数的图象与性质 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 1 　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与画法 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴是直线① ，顶点坐 标是② ⁠. 简易画法：五点定形法. 其步骤如下： （1）先根据函数表达式求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴； ①x＝－ ② （2）求抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点 时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称 轴的对称点D，将A，B，C，D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑的 曲线连接起来. 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点 C及其关于对称轴的对称点D，由C，M，D三点可粗略地画出二次函数图 象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A，B，然 后顺次用平滑的曲线连接五点，画出二次函数的图象， 【例1】（2024·南山区校级模拟）已知二次函数y＝－x2＋2x＋4，则下列说 法正确的是（　C　）. A. 该函数的图象开口向上 B. 该函数图象与y轴的交点坐标为（0，5） C. 当x＝1时，y有最大值为5 D. 当x＞1时，y随x的增大而增大 C x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 －8 0 －3 －15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　D　）. A. 图象的开口向上 B. 当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线x＝1 D 已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应 值如下表： 【例2】求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1）y＝x2－4x－1； 解：（1）开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，－5）； （2）y＝－2x2＋4x－3. 解：（2）开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－1）. 求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1）y＝ x2＋2x＋1； 解：（1）开口向上，对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为（－3，－2）. （2）y＝－3x2－4x＋2. 解：（2）开口向下，对称轴为直线x＝－ ，顶点坐标为 . 　二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性和最值 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） a的正负 a＞0 a＜0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x＝－ 直线x＝－ 顶点坐标 (－ , ) (－ , ) 增减性 在对称轴的左侧，即当x＜ － 时，y随x的增大而减 小；在对称轴的右侧，即当x＞－ 时，y随x的增大而增大.简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当x＜－ 时，y随x的增大而增大；在对 称轴的右侧，即当x＞－ 时， y随x的增大而减小.简记：左增 右减 最大 （小）值 抛物线有最低点， 当x＝－时， y有最小值，y最小值＝ 抛物线有最高点，当x＝－ 时，y有最大值， y最大值＝－ 【例3】已知二次函数y＝x2＋（m－1）x＋1，当x＞1时， y随x的增大而 增大， 则m的取值范围是（　D　）. A. m＝－1 B. m＝3 C. m≤－1 D. m≥－1 （2024·南山区二模）已知（－3，y1），（－2，y2），（1，y3） 是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则（　B　）. A. y3＜y2＜y1 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y3＜y2 D B 　二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的平移 上加下减常数项，左加右减自变量 【例4】 要将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2＋2x＋3，下列平移方法 正确的是（　A　）. A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 A 将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点 坐标为（　D　）. A. （－4，－1） B. （－4，2） C. （2，1） D. （2，－2） D 1. 关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是（　D　）. A. 图象与y轴的交点坐标为（0，1） B. 图象的对称轴在y轴的右侧 C. 当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D. y的最小值为－3 D 2. （2024·深圳模拟）若点A（－2，y1），B（4，y2），C（6，y3）均在 二次函数y＝x2－2x－3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　D　）. A. y3＞y2＞y1 B. y1＝y2＞y3 C. y1＞y2＞y3 D. y3＞y1＝y2 D 3. 二次函数y＝－x2－2x＋3在－3≤x≤2的范围内有最小值 ⁠. 4. 用配方法将二次函数y＝ x2－2x＋1的表达式化成y＝a（x－h）2＋k 的形式为 ⁠. －5 y＝ （x－3）2－2 5. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1， 则下列说法正确的是（　C　）. A. b＜0 B. c＝－1 C. 2a＋b＝0 D. 4a＋2b＋c＜0 C 6. （2024·坪山区校级一模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a为常数，且a ＞0）的图象上有四点A（－1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（－ 2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　B　）. A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y1＜y2 7. 将二次函数y＝（x－2）2＋1的图象绕点（2，1）旋转180°得到的图象 满足的表达式为（　C　）. A. y＝（x－2）2＋1 B. y＝（x＋2）2＋1 C. y＝－（x－2）2＋1 D. y＝－（x＋2）2－1 B C 8. 点P是第一象限的抛物线y＝－x2＋5x＋3上一点，过点P向x轴作垂线， 垂足为点Q，设Q（t，0）. （1）用含t的式子表示OQ＋PQ的值； 解：（1）∵Q（t，0），PQ⊥x轴， ∴P（t，－t2＋5t＋3）， ∴OQ＋PQ＝t＋（－t2＋5t＋3）＝－t2＋6t＋3. （2）当OQ＋PQ的值最大时，求点P的坐标. 解：（2）由（1）得OQ＋PQ＝－（t－3） 2＋12， ∴当t＝3时，OQ＋PQ的值最大，此时点P的坐标为（3，9）. 参考答案 【新课导学】 ①x＝－　② 【例1】　C　对点训练1　D 【例2】　解：（1）开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，－5）； （2）开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－1）. 对点训练2　 解：（1）开口向上，对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为 （－3，－2）. （2）开口向下，对称轴为直线x＝－ ，顶点坐标为 . 【例3】 D 对点训练3 B 【例4】 A 对点训练4 D 【课堂通关】 1. D　2.D　3.－5　4.y＝ （x－3）2－2　5.C　6.B　7.C 8. 解：（1）∵Q（t，0），PQ⊥x轴， ∴P（t，－t2＋5t＋3）， ∴OQ＋PQ＝t＋（－t2＋5t＋3）＝－t2＋6t＋3. （2）由（1）得OQ＋PQ＝－（t－3） 2＋12， ∴当t＝3时，OQ＋PQ的值最大，此时点P的坐标为（3，9）. $$