第2章 2 第1课时 二次函数y=±x²的图象与性质-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

8.36.7 P,BG⊥DF于点G,CH⊥BG于点H,则四边形PCHG 9.解：如图，连接EF交PG于点H.由题意，可知∠FED= 是矩形.，∠CBH=60°，∠CHB=90°，.∠BCH=30°. ∠ADB=45°，∴.FD=EF=6米.在Rt△PEH中，，EH .∠BCD=165°，∴.∠DCP=45°，.CH=BC·sin60°= =6-1=5米)，∴ta9-7-品，BF=PH=点 EH 5 10√3cm,DP=CD·sin45°=10√2cm,∴.DF=DP+PG 3 +GF=DP+CH+AB=(10√2+10√3+5)cm, 3 .DE-DF=20√5+5-10√2-10W5-5=10√3-10√2 5√5（米），.PG=BD=BF+FD=(5√+6)米.在 ≈3.2(cm),此时连杆端点D离桌面l的高度减少，减少了 R△P0G中，4-%aG=(65+6)×9-(5+ 3 约3.2cm. 23)米，∴.CD=CG+GD=5+2√3+1=(6+23)米. 答：塔CD的高度为(6十23)米. 田 ① ② 田 培优专题5：生活情境与解直角三角形 1.D[解析]如图，过点C作CO⊥DE于点O,,∠CDE= 培优专题4：生活物品与解直角三角形 B= 45,CD=1.2,.C0=CD·sin∠CDE=3y2 1.92.5cm MN+00+FG,∴FG=3-1.8-32_6_3 555 ,右侧 2.解：(1)如图①，过点C作CH⊥DE于点H.CD=80, ∠c0E-.o0-思--gcH-08 车门开至最大的宽度G的长为（号3号）米放选D 40×1.732=69.28.过点A作AM⊥DE交ED的延长线 于点M,过点C作CN⊥AM于点N,则四边形CNMH为 矩形，.MN=CH,∠NCD=∠CDE=60°.，∠DCB= 80°，.∠ACN=180°-80°-60°=40°.，sin∠ACN= AC,AC=AB-BC=80,…AW=80sin40°≈80X0.643= A A 51.44,.AM=AN+NM=51.44十69.28≈120.7.答：点 2.7[解析]如图，过点C作CH⊥MN于点H在Rt△BCH中， A到直线DE的距离约为120.7mm.(2),AB绕点C 逆时针旋转了10°，∴∠DCB=90°.当点B落在DE上时， :∠CBH=60,BH-号CH,在R△ACH中， 图@.：DC=80,CB=40,∴tan∠CDB=CD-80 '∠CAH=25,AH=CH am25≈2CL.AB=AH 0.5,∠CDB≈26.6°，60°-26.6°=33.4°，.CD旋转的 角度约为33.4°」 BH=2CH-有cH=10,∴CH≈7，点C距公路N 的距离约是7km. 250 60°2 H MD H B E B N ① ③ C 3.解：(1)如图①，作BO⊥DE于点O.·∠OEA=∠BOE= 3.5.5[解析]，四边形MNPQ和四边形ABCD是矩形， ∠BAE=90°，.四边形ABOE是矩形，∠OBA=90°， ∴.∠M=∠N=∠BAD=90°.在Rt△AMD中，AD=2.5, ∴.∠DB0=150°-90°=60°，.OD=BD·sin60°= 203(cm),∴.DE=OD+OE=OD+AB=20W3+5≈ ∠ADM=35,sn∠ADM=AM=AD· 39.6(cm).故连杆端点D离桌面l的高度DE约为 sin∠ADM≈2.5×0.574=1.435.，∠ADM+∠DAM= 39.6cm.(2)如图②，作DF⊥l于点F,CP⊥DF于点 ∠BAN+∠DAM=90°，∴.∠BAN=∠ADM=35°.在 ·14·同行学案学练测 R△ABN中，AB=5,∠BAN=35,iO∠BAN-A8, 4.(1)520(2)4-41 5.26.A .AN=AB·cos∠BAN≈5×0.819=4.095，.MN= 7.y=4x2+260x+4000 AM+AN=1.435+4.095≈5.5，∴.停车场的宽度MN约 8.y=x(63-4x) 为5.5m 4.解：(1)如图，分别过点A,B作地面的垂线，垂足分别为点 -之nn≥3且为整数105 D,E.在Rt△ADC中，AC=20m,∠ACD=60°，∴.AD= 10.A11.B12.A 20Xsin60°=10√3≈17.32m.在Rt△BEC中，BC=24m, 13.y=2t2-40t+200 ∠BCE=45°，.BE=24×sin45°=12√2≈16.97m. 14.解：△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变 17.32>16.97,.风筝A比风筝B离地面更高.(2)在 1 化.由题意，得BP=12-2,BQ=4t,S△P=2(12- Rt△ADC中，AC=20m,∠ACD=60°，∴.DC=20X cos60°=10m.在Rt△BEC中，BE≈16.97m,∠BCE= 2t)X4t=-4t2+24t(0<t<6). 45°，∴.EC=BE≈16.97m,.ED=EC-DC≈6.97m,即 15.(1)证明：，矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，.ME 风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m =BE.,四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AD= 2S矩形MrN,.AM-2ME,AE=3BE.(2)解：·篱笆 总长为100m,.2AB+GH+3BC=100,即2AB+ 号AB+3C=10,AB=40-号3C.BC的长度为 45 !60° xm,矩形区域ABCD的面积为ym,y=BC·AB= AC mmmimmm E D (40-号x)=-号2+40z.:AB=AE+BE=4BE, 章末复习 BE=10- 1224等边56， 品>0，解得x<9“y=- 4 6.B7.C8.6.9 9.解：过点A作AF⊥MN,垂足为F,设BF=xcm.,BC= +40(0x<19) 9cm,∴.CF=BF+BC=(x+9)cm.在Rt△ABF中， 2 二次函数的图象与性质 ∠ABF=∠DBN=35°，∴.AF=BF·tan35°≈0.7xcm. 第1课时二次函数y=士x2的图象与性质 在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22°，∴.AF=CF· 1.A2.D3.C4.y1<y2<ya5.06.B7.18.C tan22°≈0.4(x十9)cm,.0.7x=0.4(x+9),解得x=12, 9.解：由题意，得y=一2，即-x2=一2，解得x=土√2.√2 ∴.AF≈8.4cm,∴.新生组织处到皮肤的距离约为8.4cm. +|一√21=2√2，.水面的宽为2√2米. 10.解：如图，过点C作CE⊥BD于点E,过点A作AF⊥CE 于点F,则四边形ABEF是矩形，AB=EF,AF=BE. 10.D11.212.(1)-1,-4(2)4,0 ∠BAC=150°，∠BAF=90°，∴.∠CAF=60°.设AF= 13.2514.22 15.解：(1)函数y=一x2的图象如图所示. x,则AC=2x,CF=√3x.在Rt△ABD中，AB=EF= 2,∠ADB=9°，.BD= AB 2 tan∠ADB-tan9,则DE-BD -3-2 一BE= tange-,CE=EF+CF2+3x. 2 Rt△CDE中，'tan∠CDE=CE, DE,tanl5.6°= 2+3x,解 2 tango 得x≈0.75,2x≈1.5，即保温板AC的长约是1.5米. 抛物线y=-x2与直线y=3x十m都经过点(2，n), .n=-22,n=3X2+m,即n=-4,m=-10.(2)存 「5.67- 在.联立方程组=一x y=3x-10解得 2或2 x=-5 y=-4 则另一个交点的坐标为(-5，-25). 第二章 二次函数 16.解：(1)点O到AB的距离为4m,A,B两点的纵坐 1二次函数 标都是一4，∴.一4=一x2,解得x=士2，.A点的坐标为 1.C2.D3.D (-2,一4)，B点的坐标为(2，一4)，.AB=4m,即城门最 宽处AB的长为4m.(2)如图，设小货车行驶到城门正13.A14.D15.C16.D17.A18.C19.18 中间，用矩形CDEF表示小货车的横截面，则由题意，得20.解：一次函数y=kx-2的图象过点A(-1,一1)， ED,FC均垂直于AB,点E,F到AB的距离均为2.6m,F .一1=一k一2，解得=一1，.一次函数的表达式为 点的横坐标为1.1.设CF所在直线交抛物线于G点，则 y=-x-2,.令x=0,得y=-2,.G(0,-2).y= G点的横坐标为1.1，.G点的纵坐标为一1.21，.G点 ax2过点A(-1,-1),.-1=a×1,解得a=-1,∴.二 到AB的距离为4-1.21=2.79(m).2.79>2.6,∴.小 次函数的表达式为y=一x2.一次函数与二次函数联立可 货车能完全通过此城门. 得=-x-2 y=-x,解得 S60g+5am=号×2X1+号×2X2=1+2=3, 1 第4课时二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 D B 1.D2.B3.D4.(3,0)x=3 第2课时二次函数y=a.x2的图象与性质 5.(1)②⑤①③④⑥(2)①②③④⑤⑥ 1.B2.A3.(1)A(2)A4.±25.-5 6.B7.B8.<-309.a≤210.D11.左1 6.B7.B8.C9.A 12解：抛物线②的函数表达式为y=一号(+2，物 10.y<y3<y2 1.B12.y=-2x213.C14.A15.会16.23 线@的函数表达式为y=宁ú-3， 13.D14.y=2(x+1)2 17.解：(1)把点A(1,b)代入y=2x-3,得b=2×1-3= 15.解：由题意，得P(6,0).令x=0,得y=18.∴.OP=6,OA -1,.A(1,-1).把点A(1,-1)代入y=ax2,得a= 1 -1.(2),a=-1,.二次函数y=ax2为y=-x2,它 =18,S△0m=2X6X18=54 的图象开口向下，对称轴为y轴，∴当x<0时，y的值随 16.解：·所得新抛物线的顶点的横坐标为2，∴.可设新抛物 x值的增大而增大.(3)解方程组 |y=2.x-3 线的表达式为y=a(x-2)2.将(4,8)代入，得8= a(4-2)2,∴.a=2. =-1',=-g心抛物线y=ax2与直线y=2z-3 x1=1x2=-3 17.解：(1)函数y=一子x2的图象开口向下，对称轴为y轴， 的另一个交点B的坐标是（一3，一9）. 1 18.解：把点A(2,0)和点B(0,2)分别代人y=x+b,得 顶点坐标为(0,0)；函数y=一4(x十2)2的图像开口向 (2k十b=0 k=-1 下，对称轴为直线x=一2，顶点坐标为（一2,0）；函数y= ,解得 b=2 6=2,心一次函数的表达式为y= 1 一x十2.设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2, (x一2)2的图象开口向下，对称轴为直线x=2,顶点 y2),则y1=ax,y2=ax.y1·y2=1:4,y2=4y1, 坐标为2,0).(2)函数y=一子（红十2》是由函数y am:ar号=1：4，号-士2又：点Q在第二象限，点 1 x2 产向左平移2个单位长度得到的：函数y=一号红 P在第-象限，=-号，2=21点Q的坐 1 -2)是由函数y=-}x2向右平移2个单位长度得到 标为（一2x1,4y1).把P,Q两点的坐标分别代入y=一x +2,得9=-1+2 =2+2解得1】 得=心点P的坐标为1， 的.(3)y=- 4x2,当x<0时，y随着x的增大而增 1),把点P(1,1)的坐标代入y=ax2,得a=1,∴.二次函 大，当x>0时，y随着x的增大而减小，y=一子（红十 数的表达式为y=x2. 2)2,当x<-2时，y随着x的增大而增大，当x>-2 第3课时二次函数y=a.x2十k的图象与性质 1.B2.(1)A(2)C3.C4.D5.C6.D7.A 时，y随着x的增大而减小y=一（红一23，当x<2 8.0大-1 时，y随着x的增大而增大，当x>2时，y随着x的增大 9.解：1y=3r2-1.2y=-2-1 而减小. 18.解：由二次函数表达式y=一(x一h)2知，其对称轴为直 (3)y=-x2-1. 线x=h.当h<2时，在2≤x≤5上，y的值随x值的增 10.B11.y=x2+212.y=3x2+7 大而减小，所以当x=2时，取得最大值y=一1，即一(2 h)2=-1,所以h1=1,h2=3(舍去).当2≤h≤5时，函数 是直线x=-=一1，：当x≥2时，y随c的增大而增 值y=一(x一h)2的最大值为0，与已知矛盾，不符合题 2a 意.当h>5时，在2≤x≤5上，y的值随x值的增大而增 大，a>0.-2≤x≤1时，y的最大值为9， 大，所以当x=5时，取得最大值y=一1，即-(5-h)2= ∴.当x=1时，y=a十2a十3a2+3=9,即3a2+3a-6= 一1，所以h1=4(舍去)，h2=6.综上所述，h的值为1 0,解得a=1或a=-2(不合题意，舍去)，∴a=1. 或6. 3确定二次函数的表达式 第5课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象与性质 第1课时由两点确定二次函数的表达式 1.A2.B3.C4.D5.D6.A7.C 1.A2.D 81>>9日 3.解：(1)设二次函数的表达式为y=a(x十1)2+2，把点(1，-3) 10.D11.(1)A(2)A12.C13.B14.C15.(1,0) 代入，得a=一号.∴抛物线的表达式为y=号十1)+2 16.解：(1)0一1补充函数图象如下图. (2)抛物线的开口向下，对称轴为直线x=一1. y↑ 4.解：(1)，抛物线1与抛物线y=-3x2+2x一5的形状和 开口方向均相同，∴.可设抛物线1的表达式为y=一3x2十 bx+c.抛物线l过点A(1,2),B(4,5), -3-24T34x 1-3+b+c=2 b=16 {-3X4+6十c=5解得。=-1 (2)y=-3x2+ A 16x-11=- (-5+g号)-1=-3(-g》 (2)示例：①图象关于y轴对称；②函数有最大值是0： ③当x>1时，y随x的增大而减小. 十：∴范物钱1的对称轴为直线工=号，顶点坐标为 (3)-1<a<0 () 17.解：(1)a=3,b=6,二次函数y=2(x一m)2-2(m是常 数)的图象经过点P(a,b),∴.把点P(3,6)代入，得2(3一 5.D6.y=- -10+号 m)2-2=6,解得m=5或1，∴.m的值为5或1. (2):二次函数y=2(x-m)2一2的图象的对称轴为直 7y= 线x=m,点P到对称轴的距离为1，∴.a=m十1或m一 8.解：(1)因为抛物线y=a(x一1)2十h经过点(0，一3)和(3， 1.当a=m+1时，b=2(m+1-m)2-2=0,当a=m-1 时，b=2(m-1-m)2-2=0,∴.b的值为0. 0),所以{-3=a(0-1)+ l0=a(3-1)2+h 解得01 6=二4：所以a,五的值 第6课时二次函数y=a.x2十bx十c的图像与性质 分别为1，一4.(2)新的抛物线对应的函数表达式为y= 1.A2.C3.A4.D5.C6.C7.D (x-2)2-2=x2-4x十2. 8解：10=-2x2+2x+1=-2(x2-4z+4-40+1= 9.(1)B[解析]：y=x2+2x十3=(x十1)2十2，∴.原抛物 线的顶点坐标为（一1,2）.当x=0时，y=3,∴.抛物线与 x2-4红+40+3=-7c-2)+8 1 (2)抛物线的 y轴的交点坐标为(0,3).，抛物线绕着与y轴的交点旋转 180°，.旋转后抛物线的顶点与原抛物线顶点关于(0,3)对 开口向下，顶点M的坐标为(2,3)，对称轴是直线x=2,函 称，且开口向下，.所得抛物线的顶点坐标为(1,4)，所 数的最大值为3，无最小值.(3)当x=0时，y=1,抛物 线与y轴的交点坐标为(0,1).(4)当x<2时，y随x的 得抛物线的表达式为y=一(x一1)2+4.故选B. (2)A 增大而增大；当x≥2时，y随x的增大而减小. 9.D10.D11.-412.C13.D14.D15.C 10.y=2(x-4) 16.(1)解：，抛物线开口向下，∴.a<0.对称轴是直线x= 11.獬：(1)，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3), -多=-1,6<0.“抛物线与y轴的交点在x轴的上 2a 方，c>0.(2)证明：，抛物线的顶点在x轴上方，对 a-10心合】3外.部降-号二次通数的 称轴为直线x=-1,∴.当x=一1时，y=a一b十c>0. 表达式为y=-x2+2x十3.(2)：y=-x2+2x十3= (3)解：根据图象可知，当-3<x<1时，y>0;当x<-3 -(x-1)2+4,.D(1,4),.DE=4,OE=1. 或x>1时，y<0. B(-1,0),∴.BO=1,.BE=2,.BD=√BE2+DE 17.解：由题意，知二次函数y=a.x2+2a.x十3a2+3的对称轴 =2w5. 同行学案学练测·15·√同行学案学练测九年级数学下BS 2二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=士x2的图象与性质 (教材P32~34练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点三：二次函数y=士x2的实际应用 知识点一：二次函数y=士x2的图象与性质 8.已知正方形的边长为xcm,面积为ycm,图 1.二次函数y=x2的图象是( 中的图象能够表示y与x之间的函数关系的 是( ,长 平上 2.两条抛物线y=x2与y=一x2在同一直角坐 标系内，下列说法中不正确的是() 9.如图，一座抛物线形拱桥，其形状可以用 A.顶点相同 B.对称轴相同 y=一x2来描述.当水面到拱桥顶部的距离 C.开口方向相反 D.都有最小值 为2米时，水面的宽为多少米？ 3.关于二次函数y=x2的图象，下列说法错误 的是() A.它是一条抛物线 B.它的开口向上，且关于y轴对称 C.它的顶点是抛物线的最高点 D.它与y=一x2的图象关于x轴对称 4.已知点（一1，y1),(2,y2),(一3，y3)都在函数 y=x2的图象上，则y1,y2,y3的大小关系为 (用“<”连接) 5.已知二次函数y=(m-1)xm-2m+2的图象开 口向下，则m= 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 知识点二：直线与抛物线的交点 10.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位 6.直线y=2x一1与抛物线y=x2的交点坐标 同学分别正确指出了这个函数的一个性质. 是() 甲：函数图象是轴对称图形； A.(0,0),(1,1) B.(1,1) 乙：函数图象经过第二象限； C.(0,1),(1,0) D.(0,-1),(-1,0) 丙：在第二象限内，y值随x值的增大而 7.[运算能力]如图，直线1经过A(一2,0)和 减小。 B(0,2)两，点，它与抛物线y=x2在第二象限内 根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表 相交于点P,则△AOP的面积是 达式可能是( A.y-3x B.y=3 C.y=-1 D.y=x2 34 做神龙题得好成绩 第二章二次函数☑ 11.[创新意识]如图所示，边长为2的正方形 (2)两者是否存在另一个交点？若存在，请 ABCD的中心为直角坐标系的原点O, 求出这个点的坐标；若不存在，请说明理由. AD∥x轴，以O为顶点且过A,D两点的抛 物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线 将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的 面积是 第11题图 第13题图 12.[一题多辨·几何直观](1)若1≤x≤2，则二 即培优创新 >>》>>>>>>难度等级综合题 次函数y=一x2的最大值与最小值分别 16.[应用意识]如图所示，有一城门是抛物线形 为 状的，拱高为4m(最高点到地面的距离)，把 (2)若一1≤x≤2，则一次函数y=x2的最大 它放在直角坐标系中，其表达式为y=一x2. 值与最小值分别为 (1)求城门最宽处AB的长， 13.如图，梯形ABCD的顶点都在抛物线y=一x2 (2)现在有一高2.6m、宽2.2m的小货车， 上，且AB∥CD∥x轴，A点的坐标为(a, 它能否完全通过此城门？请说明理由 一4)，C点的坐标为(3，b),则梯形ABCD的 面积为 14.二次函数y=x2的函数图 象如图所示，点A。位于坐 标原点，点A1,A2,A3, A4,…都在y轴的正半轴 上，点B1,B2,B3,B4,… B 都在二次函数y=x2位于 B 0(40 第一象限的图象上，且 △AB1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,△A3B4A4,… 都是直角顶，点在抛物线上的等腰直角三角 形，则△A1oB1A11的斜边长为 15.已知抛物线y=一x2与直线y=3x十m都 经过点(2，n). (1)画出函数y=一x2的图象，并求出m,n 的值. 做神龙题得好成绩35