精品解析：山东省日照市东港区新营中学2024-2025学年九年级下学期中考三模考试数学试卷

2024－2025学年度下学期阶段检测九年级数学试题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 2. 剪纸文化作为中国传统文化中一颗熠熠生辉的璀璨明珠，承载着千年的历史底蕴与民族智慧．它以纸张为画布，以剪刀或刻刀为妙笔，通过艺人灵动的双手，在纸上精心剪刻出形态各异、栩栩如生的花纹图案．下列剪纸可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意； C、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则和完全平方公式是解题关键．根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 5. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率， 先列出表格，可得所有可能出现的结果，即可得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可. 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 火药 印刷术 造纸术 指南针 火药 （印刷术，火药） （造纸术，火药） （指南针，火药） 印刷术 （火药，印刷术） （造纸术，印刷术） （指南针，印刷术） 造纸术 （火药，造纸术） （印刷术，造纸术） （指南针，造纸术） 指南针 （火药，指南针） （印刷术，指南针） （造纸术，指南针） 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有6种，所以这两张卡片中有“指南针”的概率是. 故选：A. 6. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得． 【详解】如下图，连接， ∵切于点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键． 7. 如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E，点C、D、E恰好在一条直线上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… , ， ， ， 故选: C． 9. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，当时．对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 先将代入函数得出的值，从而得出，再利用待定系数法得出的值，当时，由题意得，从而得出，结合题意即可得出答案． 【详解】解：由题意，点在函数的图象上， ∴， ∴ ， 将代入，得， ∴， ∴一次函数的解析式为， 当时，由题意得：， 解得：， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴， ∴的取值范围是， 故选：C． 10. 连接正五边形的对角线，形成如图的图形，中心为点O．与交于点，连接与交于点，连接，，，． 观察后得出如下结论： ①； ②连接OF，则有； ③； ④连接BC，则有． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正五边形性质、圆周角定理、全等三角形判定与性质、三角形内角和及外角性质；解题关键是熟练运用上述知识，结合正五边形的对称性，通过角度和线段关系的推导来判断结论正误． 对于①：利用正五边形内角和公式求出内角，再依据圆周角定理计算度数判断对错．对于②：截取，根据正五边形轴对称性找全等条件证，推导线段关系判断．对于③：用三角形外角性质和圆周角定理计算与关系判断．对于④：由圆周角定理求角，结合三角形内角和求，依等角对等边判断． 【详解】如图：在上截取， 正五边形内角和为， ∴． 因为是正五边形， 所以，， 正五边形中心角，，故①错误． 因为五边形是正五边形，平分，平分，，． ，在中，根据三角形内角和定理，． ，即 ． 在和中： ∴， ∴，． 由正五边形性质可知，，，，． ∵，，， ∴． 已证， ∵， ∴． ∴． 又，． 在和中： ． ∴， ∴． ∵， ∴；故②正确． ∵是的外角，． 由圆周角定理，，，且， ∴，故③错误． ∵，， 在中，，， ∴． 则， ∴，故④正确． 综上，②④正确， 故选：B． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则的取值范围是_________． 【答案】x>2##2＜x 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不为0即可求出结论． 【详解】解：由题意可得x-2>0， 解得：x>2， 故答案为：x>2． 【点睛】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0解题的关键． 12. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，将化为，分别求出、，再代入求值即可． 【详解】解：∵α、β是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5． 13. 训练模型时，记录温度（）与运行时间（分钟）的关系如下表： 时间（x） 0 5 10 15 20 温度（y） 25 40 55 70 85 则y关于x的函数关系式为__________________（）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式的知识，属于基础题，解题的关键是分析表格得出温度y关于运行时间x的关系式．根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：． 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 15. 黑板上有按规律排列的20个整数：．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同；然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，由这数的和的个位数为，得添写的数与之和的个位数为，求出添加的数即可． 【详解】解： ， ∴这数的和的个位数为， ∵其它数都擦掉了，只剩和添写的数， ∴添写的数与之和的个位数为，故添写的数或， 故答案为: 或． 三．解答题（共8小题） 16. 计算、化简求值： （1）； （2）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算；分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，进行计算即可求解； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 解不等式组得， ∴不等式组的整数解为，， ∵且， 则且， ∴， 当时，原式． 17. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：作的角平分线，交边于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段的长度． 【答案】（1） 的角平分线如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作角的平分线（尺规作图），勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点，再以点为圆心，大于的长为半径画弧，交于一点，连接该点与点C，此时与的交点即为点D，即可作答． （2）过点作，垂足为．先运用勾股定理得，设，则，结合角平分线的定义证明，把数值代入进行计算，则，即可作答． 【小问1详解】 解：的角平分线如图所示： 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ∵在中，，， ∴． 设，则， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 18. 电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破150亿，进入全球票房榜前五，为了解大家对电影的评价情况，某社团从观影后的观众中随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于7.5分． 数据共分成五组（电影评分用表示）： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： 组的数据： 9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5． ：不完整的观众评分频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的观众总人数； （2）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为 度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的观众对电影评价的中位数是 分； （5）清明假期期间某电影院有1500人参加了此次评分调查，请估计此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数． 【答案】（1）50 （2）72 （3） 补全条形统计图如下： （4）9.3 （5）930 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图中的相关知识，中位数的定义以及样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据A组的人数以及占比即可得出抽取的观众总人数． （2）用360度乘以C组人数的占比计算即可． （3）先求出B组的人数，即可补全条形统计图． （4）根据中位数的定义求解即可． （5）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（人） 则随机抽取的观众总人数为50人． 【小问2详解】 解：， 扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为72度． 【小问3详解】 解：B组的人数有：（人） 【小问4详解】 解：∵一共有50名观众， ∴中位数位为第25，26名评分的中位数，且位于D组， 则中位数位为： 【小问5详解】 解：（人） 则清明假期期间某电影院1500认为电影特别优秀的观众人数为930人． 19. 如图，以矩形的对称中心O为原点建立平面直角坐标系，各边与x轴、y轴交于点E，N，F，M，，反比例函数的图像与矩形的边分别交于点P，Q，且，直线经过P，Q两点． （1）请分别求出直线l和反比例函数的表达式； （2）连接． ①求证：； ②线段与反比例函数图像是否有公共点，如有，请求出公共点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】（1）直线l的解析式为；反比例函数解析式为 （2）①证明：如图所示，连接， 由（1）可得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②线段与反比例函数图像有公共点，且公共点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一次函数与反比例函数综合，解直角三角形等等，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再求出得到，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线l解析式即可； （2）①只需要证明即可证明；②求出直线解析式，联立直线解析式和反比例函数解析式，求出交点坐标，看交点是否在线段是即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵原点O是矩形的对称中心， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入到中得：， ∴， ∴直线l的解析式为； 【小问2详解】 解：①略 ②设直线解析式为， 由（1）可得 ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∵， ∴线段与反比例函数图像有公共点，且公共点的坐标为． 20. 项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，． 任务1 求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 求的长．（结果精确到） 参考数据 【答案】任务1：6.6米；任务2：3.8米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务1：过点作于点，过点作于点，过点作于，在中，求得，在中，求得，最后求得的长即可； 任务2：在中，求得的长，在中，求得的长，最后求得的长． 【详解】任务1：过点作于点，过点作于点，过点作于， 四边形，四边形都是矩形， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 答：机械臂端点到工作台的距离的长约为6.6米. 任务2：在中，由勾股定理可知： ， 在中， ， ， ． 答：的长约为3.8米. 21. 如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：为的切线； （2）已知，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得出，结合角平分线的定义得出，由垂径定理得出，即可得证； （2）连接、，由（1）可得：，求得，，，解直角三角形得出，，再由计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接、， 由（1）可得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积计算、垂径定理、解直角三角形、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，正确地作出辅助线是解此题的关键． 22. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论，如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，过点O作的平行线，交于点E． 猜想证明： （1）“笃学”小组发现，请你证明这一结论； （2）如图2，“勤思”小组在图1中的菱形下方作菱形，其中，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； （3）将图2中的菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），若，对角线，当，所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出点到的距离． 【答案】（1） 证明：在菱形中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 四边形为矩形，理由如下： 在菱形和菱形中， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （3）或 【解析】 【分析】（1）在菱形中，，由，得到，等量代换，则； （2）在菱形和菱形中，得到，，故可得四边形是平行四边形，再证明出，则四边形为矩形； （3）当，所在直线与所在直线互相垂直时，垂足记为M，①点M在上时，连接，连接，交于点O，可知旋转后，得到旋转角，求出，在菱形中，继而判断出点落在上，显然，则在中由勾股定理得：，而，故，在中，；②点M在延长线上时，同上可得：，则，那么，仍然可得点落在延长线上，此时，在中，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，，菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），当，所在直线与所在直线互相垂直时，垂足记为M， ①点M在上时，连接，连接，交于点O，如图3， ∵四边形，是菱形， ∴， 则旋转后， ∵， ∴， ∴旋转角， ∵， ∴ ∵四边形是菱形，， ∴， ∴点落在上， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； ②点M在延长线上时， 同上可得：， ∴， ∴， ∴点落在延长线上， 此时， ∴在中，， 综上所述：点M在延长线上时，当，所在直线与所在直线互相垂直时，点到的距离为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合性强，对图形的旋转变化的画图能力要求比较高，难点在于最后一问容易漏解． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）如图，当二次函数的图象与轴另一交点为（点在点右侧），交轴于点，直线交抛物线、轴于、两点，设点坐标为． ①用含的代数式表示_____，_____． ②当时，求二次函数解析式． （2）二次函数图象的对称轴为直线，取值范围为时，求该二次函数最大值取值范围． 【答案】（1）①②或 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的增减性，是解题的关键： （1）①待定系数法进行求解即可；②分别求出的坐标，根据，列出方程，求出的值即可得出结果； （2）把和对称轴为直线，代入函数解析式，求出顶点坐标，转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：①把，代入，得： ，解得：； 故答案为：； ②由①知：， 当时，，当时，， ∴，，， ∴； ∵，， ∴， 解得：或， ∴或； 综上：或； 【小问2详解】 把，代入，得：， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当时，函数有最大值为：， 对于， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最小值为：，当时，函数有最大值为：； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度下学期阶段检测九年级数学试题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸文化作为中国传统文化中一颗熠熠生辉的璀璨明珠，承载着千年的历史底蕴与民族智慧．它以纸张为画布，以剪刀或刻刀为妙笔，通过艺人灵动的双手，在纸上精心剪刻出形态各异、栩栩如生的花纹图案．下列剪纸可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E，点C、D、E恰好在一条直线上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（ ） A. B. C. D. 0 9. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，当时．对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 连接正五边形的对角线，形成如图的图形，中心为点O．与交于点，连接与交于点，连接，，，． 观察后得出如下结论： ①； ②连接OF，则有； ③； ④连接BC，则有． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①④ 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则的取值范围是_________． 12. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 13. 训练模型时，记录温度（）与运行时间（分钟）的关系如下表： 时间（x） 0 5 10 15 20 温度（y） 25 40 55 70 85 则y关于x的函数关系式为__________________（）． 14. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 15. 黑板上有按规律排列的20个整数：．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同；然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是_____． 三．解答题（共8小题） 16. 计算、化简求值： （1）； （2）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 17. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：作的角平分线，交边于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段的长度． 18. 电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破150亿，进入全球票房榜前五，为了解大家对电影的评价情况，某社团从观影后的观众中随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于7.5分． 数据共分成五组（电影评分用表示）： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： 组的数据： 9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5． ：不完整的观众评分频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的观众总人数； （2）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为 度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的观众对电影评价的中位数是 分； （5）清明假期期间某电影院有1500人参加了此次评分调查，请估计此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数． 19. 如图，以矩形的对称中心O为原点建立平面直角坐标系，各边与x轴、y轴交于点E，N，F，M，，反比例函数的图像与矩形的边分别交于点P，Q，且，直线经过P，Q两点． （1）请分别求出直线l和反比例函数的表达式； （2）连接． ①求证：； ②线段与反比例函数图像是否有公共点，如有，请求出公共点的坐标；若没有，请说明理由． 20. 项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，． 任务1 求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 求的长．（结果精确到） 参考数据 21. 如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：为的切线； （2）已知，求阴影部分的面积． 22. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论，如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，过点O作的平行线，交于点E． 猜想证明： （1）“笃学”小组发现，请你证明这一结论； （2）如图2，“勤思”小组在图1中的菱形下方作菱形，其中，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； （3）将图2中的菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），若，对角线，当，所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出点到的距离． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）如图，当二次函数的图象与轴另一交点为（点在点右侧），交轴于点，直线交抛物线、轴于、两点，设点坐标为． ①用含的代数式表示_____，_____． ②当时，求二次函数解析式． （2）二次函数图象的对称轴为直线，取值范围为时，求该二次函数最大值取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $