精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区凉州区中坝中学、下双中学三模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级第三次模拟考试数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴．结合数轴的特点，运用数轴的平移变化规律即可计算求解． 【详解】解：将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度， 即． 故选：B． 2. 如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D作 于F，由角平分线的性质得到，再由三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作 于F， ∵平分，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数 的图象向左平移1个单位长度后，所得新一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，则 的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 利用平移的规律得到新一次函数的解析式，进一步求得A、B两点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：一次函数 的图象向左平移1个单位长度后，得到一次函数， 令则 ，解得， 令，则， ∴， ∴ 的面积为：， 故选：B． 4. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得 ． 故选：A． 5. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且 ，则；④ ．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键． 利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令即可判断②；利用时函数值最大，即可判断③；令即可判断④． 【详解】①由图象可知： ， ，故①正确； ②当时，，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故②正确； ③当时，y的值最大，此时，， 而当时，， ∴， ∴， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴，故③正确； ④当时， ，对称轴为直线 ∴当时， ， ∴ ， ∴，故④错误； 故选：C． 6. 如图，在中， ，，将绕点逆时针旋转 得到．当，，在同一条直线上时，（ ） A. 80 B. 70 C. 60 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，先求解，结合将绕点A顺时针旋转 得到的位置，可得，进一步即可得解． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵，，在同一条直线上时， ∴， ∵将绕点逆时针旋转 得到， ∴， ∴， ∴旋转角，即， 故选：A． 7. 如图，为的直径，，为上两点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 连接，可得，根据题意得，在 中，通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为的直径， ， 在 中，． 故选：B． 8. 一个不透明的口袋里有一个红球、两个黄球，小球除颜色外无其它差别，从中一次性摸出两个球，摸到的两个球的颜色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解． 【详解】解：由题意得： 一次性摸出两个球的可能性有：（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2）共3种可能，其中摸到两个球的颜色相同的只有1种可能，所以其概率为； 故选B． 9. 如图，是边长为的正方形的边上的一动点，是线段上的一动点，且满足，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，如图，连接，取的中点，连接，勾股定理求出的长，证明得到斜边上的中线得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接． ∵正方形，边长为2， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴当三点共线时， 的值最小为 ． 故选：A． 10. 如图，在正方形中，连接，点在上，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．若，点是的中点，则的长度为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作 于点Q，作于点H，证明四边形是正方形，再证明，，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过点E作 于点Q，作于点H， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，对等角相等，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解. 【详解】解：原式. 12. 把二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的规律解答即可． 【详解】解：二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为：， 即． 故答案为：． 13. 如图，在 中，， ．将 绕点O顺时针旋转 ，得到，与相交于点D，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：将 绕点顺时针旋转 ，得到， ， ∴，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，负值舍去． 故答案为：． 14. 如图，正方形内接于．点E为上一点，连接，，若 ，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形，再利用勾股定理来进行求解． 【详解】解：连接， 在正方形中， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 15. 如图，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是9，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及相关面积的计算，得到是解题的关键； 如图，作 轴于点E，轴于点D，根据反比例函数系数k的几何意义可得，然后根据面积间的关系可得，再代入数据构建方程求解即可. 【详解】解：如图，作 轴于点E，轴于点D， 则（）， ∵，的纵坐标分别是3和6， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得： ； 故答案为：12. 16. 如图，在平行四边形中，为对角线上一点，，将沿折叠，点的对应点刚好落在边上，则与平行四边形的面积之比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的面积，三角形的面积，同高不同底的三角形的面积之比，相似三角形的性质与判定． 先证明，可得，设的面积为，即可表示出各个三角形的面积，即可解答． 【详解】解：如图，在平行四边形中，有， ∴， 由折叠，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即 ∴，则． 设的面积为，则，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴ 故答案为 17. 如图，菱形的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图知垂直平分，故 ．因菱形中，，，可得，进而，是等腰直角三角形．由等腰直角三角形性质得；又因，，用勾股定理算得．在中，根据正弦定义，代入得． 【详解】如图，连接 ，由作法得垂直平分， ∴ ， ， ∵，四边形是菱形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形性质、线段垂直平分线性质，解直角三角形，勾股定理， 解题关键是熟练掌握线段垂直平分线性质，结合菱形性质构建直角三角形求解． 18. 如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度不大． 首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可． 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为圆锥，底面的直径为12，高为8， ∴母线长为， 故其表面积为：， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图是由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知和格点O(格点为网格线的交点)． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）将先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度．得到画出． 【答案】（1） 如图：即为所画： （2） 如图：即为所画： 【解析】 【分析】本题考查中心对称与图形的平移变换，解题的关键是掌握中心对称和图形平移的性质与作图方法． （1）根据中心对称性质找到、、三点关于点的对称点、、，再连接成三角形； （2）先根据平移性质将的三个顶点向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到对应点、、，最后连接成三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）8（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的混合运算， 对于（1），根据，再计算即可； 对于（2），先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 21. 某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 【答案】每天要想获得504元的利润，每件应降价3元 【解析】 【分析】设每天要想获得504元的利润，且更有利于减少库存，设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．本题考查一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． 【详解】解：设每件应降价x元． 根据题意列方程，， 解得，， ， ∵尽快减少库存， ∴舍去， 故， 答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元． 22. 如图，已知与相交于点，为的两条弦，连接并延长，交的延长线于点，交于点．连接，，，，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（）由平行线的性质可得，进而由等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和定理得，即可得， 即得，最后根据平行线的性质得到，即可求证； （）过点作 于点，由（）可知， 为等腰直角三角形，由勾股定理得，进而由等腰直角三角形的性质得到，由直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，最后根据线段的和差关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作 于点，则， 由（）可知， 为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，切线的判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 已知，，，，五个红色研学基地，某校为了解中学生对这五个研学基地的选择意愿，随机抽取部分中学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整． （2）在扇形统计图中，所在扇形的圆心角的度数为______；若该校共有2000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有______人 （3）甲、乙两所学校计划从，，，四个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用画树状图法或列表法求两校恰好选取同一个基地的概率． 【答案】（1） 补全的条形统计图如右图所示； （2） ，400 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及用树状图或列表法求概率． （1）先根据扇形统计图以及条形图中选择C基地的人数以及占比求出抽取学生的总人数，然后再求出选择B基地的人数即可补全条形统计图； （2）直接用乘以选择D基地人数得占比即可求出所在的扇形的圆心角的度数，用总体乘以选项基地的占比即可推知整体； （3）列出树状图或表格然后用概率公式即可求出两校恰好选取同一个基地的概率． 【小问1详解】 本次抽取的学生有： （人）， 其中选择的学生有： （人）； 【小问2详解】 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为： ， 该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去基地的大约有： （人）； 【小问3详解】 根据题意列表如下： 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选取同一基地（记为事件）的结果有4种． ． 24. 如图，一次函数，是反比例函数 图象上的两点，点 的坐标为，点 的坐标为，线段的延长线交轴于点 ． （1）求反比例函数的函数关系式； （2）求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合． （1）把代入，可求出反比例函数解析式； （2）把代入反比例函数解析式求得，运用代数系数法求出所在直线的解析式，并求出的坐标，可确定的长，由此即可求解． 【小问1详解】 解∶把代入 得 解得， ∴反比例函数的函数关系式为 【小问2详解】 把代入 得， 设直线的函数关系式为把，分别代入， ， 解得， ∴直线的函数关系式为 当时，，即点的坐标为 ， 25. 图，点C是半圆O的弧的中点，点D在的延长线上，过D作半圆O的切线交的延长线于点E，切点为F，连接交于点G． （1）证明： ； （2）若 ，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是半圆的切线， ，即 ； 是半圆弧的中点， 于， ，即 ， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用切线的性质、垂径定理、等角对等边进行证明即可； （2）由勾股定理求出半径，再证明 ，利用相似三角形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理：， ． 由（1）可得： ， ， ， ∴， ，， ． 26. 某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与支架所在直线相交于点，且；支架与水平线垂直． ，，，另一支架与水平线夹角，求的长度（结果精确到；，，） 【答案】的长度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设，得到，分别解，进行求解即可． 【详解】解：设，则． ， ． ． 在中， ， ． 解得：． 答：的长度约为． 27. 已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、 ，且点 在点的左侧，过、 作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形 为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）该矩形周长的最大值是； （3）存在，点坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）由函数图象顶点坐标设函数解析式为，再将点坐标代入即可求出函数解析式； （2）由该二次函数的对称轴是，设点的坐标为，点，结合矩形周长的计算公式表示出周长关于的函数解析式后，根据二次函数的最值即可得解； （3）由题意得，当矩形周长最大时，点与点重合，求出的面积及直线 解析式，设点坐标为，过作 垂直于轴，交于点，则，结合图象可得，再解方程即可得到点的横坐标，从而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：设解析式为， 抛物线经过，代入上式得： ， 二次函数表达式为：，或． 【小问2详解】 解：依题得：该二次函数的对称轴是， 设点的坐标为，则点， 则，， 矩形 的周长， ， ， ， 当时，周长有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：点坐标为：或或． 二次函数表达式为， ， 当矩形周长最大时，点与点重合， 又此时的面积是矩形 面积的， ， 将、坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 的表达式为：， 设点坐标为， 过作 垂直于轴，交于点，则， ， 则， 即：， 解得，，， 故点坐标为：或或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、解一元二次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级第三次模拟考试数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 如图，在中， 平分交于点D，于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 3. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数 的图象向左平移1个单位长度后，所得新一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，则 的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 9 4. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且 ，则；④ ．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在中， ，，将绕点逆时针旋转 得到．当，，在同一条直线上时，（ ） A. 80 B. 70 C. 60 D. 50 7. 如图，为的直径，，为上两点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的口袋里有一个红球、两个黄球，小球除颜色外无其它差别，从中一次性摸出两个球，摸到的两个球的颜色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是边长为的正方形 的边上的一动点，是线段 上的一动点，且满足，则的最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 10. 如图，在正方形 中，连接，点在上，连接 ，过点作 的垂线交 于点，交的延长线于点．若，点是的中点，则的长度为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 因式分解：_____． 12. 把二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为________． 13. 如图，在 中，， ．将 绕点O顺时针旋转 ，得到，与相交于点D，则的长为__________． 14. 如图，正方形 内接于．点E为上一点，连接 ，，若 ，，则的长为_______． 15. 如图，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是9，则______． 16. 如图，在平行四边形 中，为对角线上一点，，将沿 折叠，点的对应点刚好落在 边上，则与平行四边形 的面积之比为___________． 17. 如图，菱形 的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的值为______． 18. 如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_____． 三、解答题（共66分） 19. 如图是由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知和格点O(格点为网格线的交点)． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）将先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度．得到画出． 20. （1）计算：． （2）化简： 21. 某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？ 22. 如图，已知与相交于点，为的两条弦，连接并延长，交的延长线于点，交于点．连接，，，，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求 的长． 23. 已知，，，，五个红色研学基地，某校为了解中学生对这五个研学基地的选择意愿，随机抽取部分中学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整． （2）在扇形统计图中，所在扇形的圆心角的度数为______；若该校共有2000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有______人 （3）甲、乙两所学校计划从，，，四个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用画树状图法或列表法求两校恰好选取同一个基地的概率． 24. 如图，一次函数，是反比例函数 图象上的两点，点 的坐标为，点 的坐标为，线段的延长线交轴于点 ． （1）求反比例函数的函数关系式； （2）求 的面积． 25. 图，点C是半圆O的弧的中点，点D在的延长线上，过D作半圆O的切线交的延长线于点E，切点为F，连接交于点G． （1）证明： ； （2）若 ，求 的长． 26. 某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管与支架所在直线相交于点，且；支架与水平线 垂直． ，，，另一支架与水平线夹角，求的长度（结果精确到；，，） 27. 已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形 为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $