精品解析：2025年安徽省亳州市三模三模数学试题

2025年中考模拟考试九年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下面四个实数中，最小的是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据安徽省统计局发布，2024年安徽省全年生产总值（）为50625亿元，其中50625亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能为（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 6. 若函数中，当自变量时，因变量随着的增大而减小，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 体育老师将一个足球、一个篮球和一个排球随机放入两个收纳筐中（三个球可放入同一个筐中），那么篮球和足球放在同一个筐中的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 9. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD中，，E为AD的中点，P为BC边上一动点，连接DP，过P点作，且，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集为______． 12. 已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为，B为y轴上任意一点，若的面积为6，则k的值为______． 13. 如图，将一块含30°角的直角三角板的一个锐角的顶点与上A点重合，该角的两边分别与相交于B，C两点，连接．若，则劣弧的长度为______． 14. 已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． （1）b的值为______； （2）点，分别在抛物线和上，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两条垂线交于点．若，则的值为______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点A，B，C的坐标分别为． （1）作关于直线对称的； （2）以点O为中心，将顺时针旋转得到，画出； （3）在所给的网格图中确定一个格点H，使得，写出点H的坐标． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： （1）请用上述方法验证266能否被7整除． （2）兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217 945 ______ ______ … … … （3）表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 18. “洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． （1）写出图2中a和b之间的数量关系； （2）求出图3中x和y的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某景区的缆车索道与平台的夹角为，某安全部门对该索道上缆车的运行速度进行测量．已知安全员站在墙体处，眼睛恰好处于平台的点处，他发现索道处有一辆缆车，该缆车底部在平台上，且底部的最右侧恰好与平台边缘处重合，测得处的仰角为，该缆车运行秒后，到达索道处，此时测得该缆车底部最右侧处的仰角为．已知平台，其高米．若相关部门规定缆车的运行速度不得超过米／秒，请通过计算说明该缆车的运行速度是否符合规定．（参考数据：， 20. 如图，是的直径，C，D为上两点，平分，交于点E．过点C作的切线交的延长线于点P． （1）求证：． （2）若，求的长． 六、解答题（本题满分12分） 21. 随着人工智能技术的不断发展，助手正逐渐走入人们的生活，“多轮对话能力”是助手的核心功能之一．某互联网企业推出了，两款助手．为测试这两款助手的“多轮对话能力”，研发人员邀请一批客户进行聊天体验（一位客户只体验一款助手），收集客户对助手的满意度评分（满分分），并针对两款助手各随机抽取位客户的评分数据进行整理、描述和分析（数据分成组：；；；；；）．下面给出了部分信息． 款助手的评分数据频数分布直方图如下： 款助手在这一组的评分数据如下：，，，，，，，，，，，，； 款助手在这一组的评分数据如下：，，，； ，两款助手评分数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 款 款 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出，的值． （2）抽取的数据中，当两款助手的评分都是分时，______（填“”或“”）款助手的评分排名（从高到低）更靠前，理由是____________． （3）已知受邀参与款助手聊天体验的客户有人，参与款助手聊天体验的客户有人，请估计这批客户中评分在这一组的总人数． 七、解答题（本题满分12分） 22. 二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的段为抛物线的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段为直线的一部分． （1）求b的值． （2）已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为，下降阶段在竖直方向上的平均速度为，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？ （3）现要在线段上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范围． 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图，在中，，点在边上，连接，为上一点，连接并延长交于点，已知． （1）求证：； （2）连接，若． （）如图，当为的中点时，求的值； （）请就图的情形求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟考试九年级数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下面四个实数中，最小的是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个实数中，最小的是， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，解题的关键是掌握相关知识点并灵活运用． 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，依次判断各个选项即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 3. 据安徽省统计局发布，2024年安徽省全年生产总值（）为50625亿元，其中50625亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：50625亿， 故选C． 4. 某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，由三视图还原几何体．在水平面内得到的由上向下观察物体的视图叫做俯视图，进行判断即可． 【详解】解：是的俯视图， 故选：D． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角， 矩形的对角线互相平分、相等， ∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质和矩形的性质．掌握特殊四边形的性质是解题关键． 6. 若函数中，当自变量时，因变量随着的增大而减小，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数等的图象与性质，分别观察图象，根据图象性质逐一排除即可，掌握函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、自变量时，因变量随着的增大而增大，不符合题意； 、自变量时，因变量随着的增大而减小，符合题意； 、自变量时，因变量随着的增大而增大，不符合题意； 、自变量时，因变量随着的增大而减小或增大，不符合题意； 故选：． 7. 体育老师将一个足球、一个篮球和一个排球随机放入两个收纳筐中（三个球可放入同一个筐中），那么篮球和足球放在同一个筐中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出篮球和足球放在同一个筐中情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：树状图如下： 总共有种等可能的结果． 其中篮球和足球在同一筐的情况：当足球在筐，篮球也在筐1时，排球可在筐1或筐2（2种）；当足球在筐2，篮球也在筐2时，排球可在筐1或筐2（2种），共4种． ， 所以篮球和足球放在同一个筐中的概率为． 故选：A． 8. 如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C 9. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解二元一次方程组，由题意得，，，，则，，联立，，解得，，然后构造一元二次方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，， 联立解得：，， ∴，， ∴以两实数根分别为，的方程是， 故选：． 10. 如图，正方形ABCD中，，E为AD的中点，P为BC边上一动点，连接DP，过P点作，且，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，取的中点M，连接，，连接并延长交于点，设交于点，证明，，得出，进而可得，即可得出的值，进而可得点在上运动，证明四边形是平行四边形，得出，则当在上时，取得最小值，此时重合，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，，连接并延长交于点，设交于点 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在上运动， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∴当在上时，取得最小值，此时重合， ∵，则， 在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，即的最小值为 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的方法． 按照去分母、移项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】解： 去分母，， 移项，， 系数化为，， 即不等式的解集为． 故答案为：． 12. 已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为，B为y轴上任意一点，若的面积为6，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质、关于x轴对称点的坐标特征及三角形面积公式，解题的关键是利用对称点得出线段长度，结合三角形面积公式建立与已知面积的关系． 【详解】设， 因为在上， 所以 ． ∵关于轴的对称点， ∴的长度为． ∵为轴上任意一点，以为底，（或）到轴的距离为高，， ∴ ． 化简得， 又， 所以． 故答案为：6． 13. 如图，将一块含30°角的直角三角板的一个锐角的顶点与上A点重合，该角的两边分别与相交于B，C两点，连接．若，则劣弧的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧长公式等知识点，利用查圆周角定理求出，再根据的长求出半径，最后利用弧长公示计算即可． 【详解】解：连接，，过点O作于点D， 则． 依题意得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长度为：， 故答案为：． 14. 已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． （1）b的值为______； （2）点，分别在抛物线和上，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两条垂线交于点．若，则的值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，掌握这些知识是解题的关键． （1）由得顶点为，它向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点为，即抛物线．则可求得b的值； （2）由（1）得c的值；由题意知，抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，因而当点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则，故，即． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点为， ∴它向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点为， 即抛物线． 即， ∴； 故答案为：4； （2）由（1）知，， 即； 也即抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线， ∴点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则， ∴； ∵， ∴ 即． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先算负整数指数幂，特殊三角函数值，化简二次根式，再计算即可． 【详解】解：． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点A，B，C的坐标分别为． （1）作关于直线对称的； （2）以点O为中心，将顺时针旋转得到，画出； （3）在所给的网格图中确定一个格点H，使得，写出点H的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求： （2） 解：如图，即为所求： （3） 解：如图，点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了画对称轴图形，旋转图形，相似三角形的判定与性质，垂直的定义等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）作出点关于直线对称的对称点，再连接即可； （2）分别作出点绕点顺时针旋转的点，再顺次连接即可； （3）可得，则，由，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： （1）请用上述方法验证266能否被7整除． （2）兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217 945 ______ ______ … … … （3）表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 【答案】（1） 解：由题意可得：， ， ∴能被整除； （2），； （3） 解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 当能被7整除时，也是的倍数，即是的倍数， ∴也是的倍数，能被整除， ∴当能被7整除时，也能被7整除． 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，数字规律类探索，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意给出的方法即可解答； （2）根据题意给出的规律即可解答； （3）由题意得，得到，由，则，当能被7整除时，也是的倍数，即是的倍数，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； 【小问3详解】 略 18. “洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． （1）写出图2中a和b之间的数量关系； （2）求出图3中x和y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【小问1详解】 解：由题意可知，， 即； 【小问2详解】 解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某景区的缆车索道与平台的夹角为，某安全部门对该索道上缆车的运行速度进行测量．已知安全员站在墙体处，眼睛恰好处于平台的点处，他发现索道处有一辆缆车，该缆车底部在平台上，且底部的最右侧恰好与平台边缘处重合，测得处的仰角为，该缆车运行秒后，到达索道处，此时测得该缆车底部最右侧处的仰角为．已知平台，其高米．若相关部门规定缆车的运行速度不得超过米／秒，请通过计算说明该缆车的运行速度是否符合规定．（参考数据：， 【答案】 解：方法一：如图1，连接，延长至点，过点作于点． 在中，， ． ． ，， ， ， ． ， 在中，， ， 该缆车的运行速度为， 即该缆车的运行速度符合规定． 方法二：在中，， ． 如图2，连接，过点作于点，延长交于点，则， 则． 设，则． 在中，． ， ． ， 解得， ， 该缆车的运行速度为， 即该缆车的运行速度符合规定 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键； 方法一：求出，的长，再求得，在中，求得的长，求出缆车的运行速度，作出判断，即可求解． 方法二：在中，得 ，连接，过点作于点，延长交于点，则，设，则．含的代数式表示出的长，根据建立方程，解方程， 进而可得，然后求出缆车的运行速度，作出判断，即可求解． 【详解】略 20. 如图，是的直径，C，D为上两点，平分，交于点E．过点C作的切线交的延长线于点P． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，弧与圆心角之间的关系，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）连接，先证明得到，则可证明，由切线的性质得到，再证明，得到，则可证明； （2）证明∴，得到，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 六、解答题（本题满分12分） 21. 随着人工智能技术的不断发展，助手正逐渐走入人们的生活，“多轮对话能力”是助手的核心功能之一．某互联网企业推出了，两款助手．为测试这两款助手的“多轮对话能力”，研发人员邀请一批客户进行聊天体验（一位客户只体验一款助手），收集客户对助手的满意度评分（满分分），并针对两款助手各随机抽取位客户的评分数据进行整理、描述和分析（数据分成组：；；；；；）．下面给出了部分信息． 款助手的评分数据频数分布直方图如下： 款助手在这一组的评分数据如下：，，，，，，，，，，，，； 款助手在这一组的评分数据如下：，，，； ，两款助手评分数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 款 款 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出，的值． （2）抽取的数据中，当两款助手的评分都是分时，______（填“”或“”）款助手的评分排名（从高到低）更靠前，理由是____________． （3）已知受邀参与款助手聊天体验的客户有人，参与款助手聊天体验的客户有人，请估计这批客户中评分在这一组的总人数． 【答案】（1），； （2）；款助手的评分是分时，从高到低的评分排名为第名；款助手的评分是分时，从高到低的评分排名在前名； （3）估计这批客户中评分在这一组的总人数为人． 【解析】 【分析】（1）结合款助手的评分数据频数分布直方图求，结合中位数定义及数据分布情况求； （2）比较两款助手的评分与各评分数据的中位数即可得解； （3）根据样本估计总体即可得解． 【小问1详解】 解：共抽取位客户的评分数据， 由款助手的评分数据频数分布直方图可得； ，， 款助手的评分数据从小到大排第、个数据在内，且为，， 款助手的评分数据的中位数为． 【小问2详解】 解：由题意得，款助手的评分是分时，从高到低的评分排名为第名； 款助手的评分数据的中位数为， 款助手的评分是分时，从高到低的评分排名在前名， 款助手的评分排名（从高到低）更靠前． 故答案为：；款助手的评分是分时，从高到低的评分排名为第名；款助手的评分是分时，从高到低的评分排名在前名． 【小问3详解】 解：由题意得，参与款助手聊天体验的客户评分在这一组的人数估计为人， 参与款助手聊天体验的客户评分在这一组的人数估计为人， 估计这批客户中评分在这一组的总人数为人． 【点睛】本题考查的知识点是频数分布直方图、求中位数、运用中位数做决策、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是熟练掌握统计相关知识． 七、解答题（本题满分12分） 22. 二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的段为抛物线的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段为直线的一部分． （1）求b的值． （2）已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为，下降阶段在竖直方向上的平均速度为，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？ （3）现要在线段上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范围． 【答案】（1） （2）一共用时秒 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用 ； （1）先由直线解析式求出，再代入计算即可； （2）先求出顶点，即可求出上升、下降、冲击三个阶段竖直方向上的路程，然后就出对应的时间，最后求和即可； （3）设，则，解析式为，求出进过时， ，然后结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，点纵坐标为， ∴当时，解得， ∴， 把代入得，解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线， ∴， ∴小球P从点O发射开始，上升阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为，下降阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为，冲击目标阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为， ∴小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时秒 【小问3详解】 解：∵线段上的点M处，点M的横坐标m， ∴，， ∵小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与平行， ∴设解析式为，在直线下方， 当过时，，解得， 当过时，，解得， ∵要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截， ∴． 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图，在中，，点在边上，连接，为上一点，连接并延长交于点，已知． （1）求证：； （2）连接，若． （）如图，当为的中点时，求的值； （）请就图的情形求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）（i）； （ii）证明：在上取点，使，连接，过点作的平行线交延长线于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明即可； （2）（i）过点作交延长线于点，则，，得到，，设，则，，则，由（1）可得：，，再由勾股定理逆定理求解即可； （ii）在上取点，使，连接，过点作的平行线交延长线于点，先证明，由得到，导角证明，由相似得到，设，则，则，再由等边对等角结合三角形的外角即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （）解：∵点为的中点， ∴， 过点作交延长线于点， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴ 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $