精品解析：2025年广东省惠州市惠州一中集团中考一模数学试题

2025年广东省惠州市惠州一中集团中考一模数学试题 （全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，比小的数是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解答本题的关键，要特别注意两个负数的大小比较方法． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数，两个负数绝对值大的反而小逐项比较即可． 【详解】解：A.∵，∴ ，故符合题意； B.， 故不符合题意； C.，故不符合题意； D.，故不符合题意； 故选A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3. 据交通部研判，今年国庆假期全社会跨区域人员流动量将达到1940000000人次，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂除法，完全平方公式，合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为（ ） A. 38° B. 42° C. 48° D. 52° 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，先根据同弧所对的圆周角相等求出，再由直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确作出辅助线是解题的关键． 6. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到△＝−4ac＝16＋4k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝−4ac＝16＋4k＞0， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝−4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7. 红星学校在日本战败投降周年纪念日这天举行了“铭记历史，警钟长鸣”主题教育活动，学校需要从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学作为“勿忘历史”和“奋进新征程”两个栏目的宣传大使，则恰好选中乙为“勿忘历史”栏目宣传大使、丙为“奋进新征程”栏目宣传大使的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，列出所有可能的结果是解题的关键． 利用列表法展示所有可能的结果，再找出抽到乙、丙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表格为： 勿忘历史 奋进新征程 甲 乙 丙 丁， 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 注意：（乙，丙）和（丙，乙）不一样．（乙，丙）表示乙是“勿忘历史”栏目宣传大使，丙是“奋进新征程”栏目宣传大使．（丙，乙）表示丙是“勿忘历史”栏目宣传大使，乙是“奋进新征程”栏目宣传大使． 故符合条件的只有（乙，丙），概率为， 故选A． 8. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函的图象与性质．由二次函数的解析式可得，开口向下，对称轴为，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：二次函数， 则，开口向下，对称轴为， 则函数图像上的点，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离分别为：1、0、， ∵ ∴， 故选：C 9. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． 先去分母，然后转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：为原分式方程的根， 故选：B． 10. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 数据3，3，3，4，4，5，6的众数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，根据出现次数最多的数为数据的众数，即可作答． 【详解】解：依题意，这组数据的3出现的次数最多， ∴这组数据的众数是3， 故答案为：3． 12. 一元二次方程的解是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题应对方程进行变形，提取公因式，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【详解】解：原方程可变形为：，解得，， 故答案为：或． 13. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】因式分解时有公因式先提公因式，然后再考虑用公式法.继续分解. 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键. 14. 关于x的不等式组的解集如图所示，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据数轴写出解集，再解不等式组，即可得出结果 【详解】解： 解得： 由题意可知：x≤1 ∴m-1=1 m=2 故答案为：2 【点睛】本题考查由不等式组的解集求参数、正确识别在数轴表示的不等式组的解集是关键 15. 如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是______． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理．证明，推出，判断出是菱形，利用勾股定理求得，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：120． 三、解答题（一）本大题共3小题﹐每小题7分﹐共21分） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出算术平方根、去绝对值、计算零次幂和负整数次幂，再进行加减运算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、去绝对值、零次幂、负整数次幂等知识点，属于基础题，解题的关键是熟记各项运算法则并正确计算． 17. 如图，在中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点，过点作于点．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作一个角的平分线的方法进行作图即可； （2）根据角平分线的性质得出，证明，推出，根据三角形面积求出，根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的的平分线； ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， 又∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角是平分线，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线． 18. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是和． （1）求的度数； （2）求该电线杆的高度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了仰角的定义、解直角三角形，运用三角函数求出和是解决问题的关键． （1）延长交直线于点，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设米，在和中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在直角中利用三角函数求得的长，则的长度即可求解． 【小问1详解】 解：延长交直线于点，如图所示， 即，，， ∴， 【小问2详解】 解：设米． 在中， ， 则米； ∵， ∴， 在中， 米， ∵米， 则 ，解得： 则 米． 在中，米． (米) 答：电线杆的高度为米． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为了贯彻《积极推进中小学素质教育的若干意见》的文件和党的“二十大”精神，积极实施素质教育，某校举办了艺术节活动（活动包括多个项目的比赛）．在艺术节活动中，全校共有20名学生报名参加了主持人大赛，大赛内容共有三项：自由朗读、创意写作、即兴演讲，每个项目的比赛均由5位评委打分（满分100分），5位评委的平均分作为该项目比赛的实际成绩，三项比赛完成后，将自由朗读、创意写作、即兴演讲三项比赛的实际成绩按的比例计算每个主持人比赛的总评成绩．小明、小丽的三项实际成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下． 选手 实际成绩/分 总评成绩/分 自由朗读 创意写作 即兴演讲 小明 81 70 79 __________ 小丽 86 __________ 75 __________ （1）在创意写作比赛中，5位评委给小丽打出的分数为：83，78，79，85，80．请你计算小丽的总评成绩； （2）如果总评成绩排在前12名的同学将进入决赛，试分析小明、小丽能否进入决赛，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不能判断小明是否入选，但能判断小丽可以入选，理由如下： 小明的总评成绩为分， ∵一共有20人参数，其中成绩不高于80分的人有10人， ∴小丽一定排名前10名，即小丽一定能入选，但是小明的总评为78分，根据现有条件无法推断小明的排名， ∴不能判断小明是否入选，但能判断小丽可以入选． 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平均数和加权平均数，用加权平均数做决策： （1）先求出小丽创意写作的实际成绩，进而根据加权平均数的定义求出小丽的总评成绩即可； （2）先求出小明的总评成绩，再根据取前12名进入决赛结合得分在80分以上有10人进行求解即可． 【小问1详解】 解：小丽创意写作的实际成绩为分， ∴小丽的总评成绩为分； 【小问2详解】 略 20. 春节期间，某水产品超市以30元/千克的价格购进一批鲜虾，调查发现：如果按40元/千克的价格出售，一周可以售出600千克，售价每千克每上涨1元，每周就会少售出50千克．设售价为元/千克，一周获得的利润为元． （1）写出与之间的函数解析式． （2）当售价定为多少时，每周获得的利润最大？为多少？ 【答案】（1） （2）当售价定为41元/千克时，每周获得的利润最大，为6050元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得出关于的函数解析式即可； （2）利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． ∵， ∴当时，有最大值，为6050． 答：当售价定为41元/千克时，每周获得的利润最大，为6050元． 21. 【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽， （1）现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； （2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 ，， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； 【小问2详解】 如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； （3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）S=，运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；（3）t=或t=． 【解析】 【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值； （2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案． 【详解】（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1， ∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3）， 分别代入（a≠0），得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：； （2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t． 由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC==5． 如图1，过点N作NH⊥AB于点H， ∴NH∥CO， ∴△BHN∽△BOC， ∴，即， ∴HN=t， ∴S△MBN=MB•HN=（6﹣3t）•t， 即S=， 当△PBQ存在时，0＜t＜2， ∴当t=1时，S△PBQ最大=． 答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是； （3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B=． 设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t． ①当∠MNB=90°时，cos∠B=，即，化简，得17t=24，解得t=； ②当∠BMN=90°时，cos∠B=，化简，得19t=30，解得t=． 综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形． 考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题． 23. 已知矩形，，，将矩形绕A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E． （1）如图①，当时，连接，则的长= ； （2）如图②，当边经过点B时，连接，求的长； （3）如图③，连接，点P是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用勾股定理得，结合旋转得和，即可求得答案； （2）连接，由旋转性质得，，，即可判定，得，由题意可知，进一步得，利用勾股定理得，即可求得；． （3）连接，交于点O，连接和，由矩形性质得，根据题意得是的中位线，可知点P是在以为圆心，以为半径的圆上运动， 当为直径时，即点P于点B重合时，最大； 【小问1详解】 解：连接，，如图： ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵ ∴， ∴． 【小问2详解】 连接，如图， 由旋转性质得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，则， 那么，解得． 【小问3详解】 连接，交于点O，连接和，如图， ∵是矩形， ∴， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P是在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知， 当为直径时，即点P于点B重合时，最大，最大为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，以及动点问题，圆的基础知识，解题的关键是利用旋转找到对应关系和添加辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省惠州市惠州一中集团中考一模数学试题 （全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，比小的数是 A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据交通部研判，今年国庆假期全社会跨区域人员流动量将达到1940000000人次，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为（ ） A. 38° B. 42° C. 48° D. 52° 6. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 红星学校在日本战败投降周年纪念日这天举行了“铭记历史，警钟长鸣”主题教育活动，学校需要从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学作为“勿忘历史”和“奋进新征程”两个栏目的宣传大使，则恰好选中乙为“勿忘历史”栏目宣传大使、丙为“奋进新征程”栏目宣传大使的概率（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 数据3，3，3，4，4，5，6的众数是______． 12. 一元二次方程的解是______． 13. 分解因式：__________． 14. 关于x的不等式组的解集如图所示，则m的值为________． 15. 如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是______． 三、解答题（一）本大题共3小题﹐每小题7分﹐共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点，过点作于点．若，，求的长． 18. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是和． （1）求的度数； （2）求该电线杆的高度．（结果保留根号） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为了贯彻《积极推进中小学素质教育的若干意见》的文件和党的“二十大”精神，积极实施素质教育，某校举办了艺术节活动（活动包括多个项目的比赛）．在艺术节活动中，全校共有20名学生报名参加了主持人大赛，大赛内容共有三项：自由朗读、创意写作、即兴演讲，每个项目的比赛均由5位评委打分（满分100分），5位评委的平均分作为该项目比赛的实际成绩，三项比赛完成后，将自由朗读、创意写作、即兴演讲三项比赛的实际成绩按的比例计算每个主持人比赛的总评成绩．小明、小丽的三项实际成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下． 选手 实际成绩/分 总评成绩/分 自由朗读 创意写作 即兴演讲 小明 81 70 79 __________ 小丽 86 __________ 75 __________ （1）在创意写作比赛中，5位评委给小丽打出的分数为：83，78，79，85，80．请你计算小丽的总评成绩； （2）如果总评成绩排在前12名的同学将进入决赛，试分析小明、小丽能否进入决赛，并说明理由． 20. 春节期间，某水产品超市以30元/千克的价格购进一批鲜虾，调查发现：如果按40元/千克的价格出售，一周可以售出600千克，售价每千克每上涨1元，每周就会少售出50千克．设售价为元/千克，一周获得的利润为元． （1）写出与之间的函数解析式． （2）当售价定为多少时，每周获得的利润最大？为多少？ 21. 【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽， （1）现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； （2）为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； （3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 23. 已知矩形，，，将矩形绕A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E． （1）如图①，当时，连接，则的长= ； （2）如图②，当边经过点B时，连接，求的长； （3）如图③，连接，点P是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $