精品解析：2023年广东省惠州市博罗县平安中学中考一模数学试题

2023年广东省惠州市博罗县平安中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 同学们，我们是届学生，这个数字的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数）判断即可； 【详解】解：的相反数为， 故选：C 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟悉相反数的定义是解题关键． 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 3. 卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘处法法则以及积的乘方运算法则即可求出答案． 【详解】解：A．与不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意 B．原式=，故B不符合题意 C．原式=，故C不符合题意 D．原式=，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘处法法则以及积的乘方运算法则，本题属于基础题型． 5. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先提取公因式，即可根据因式分解法解方程． 【详解】， 提公因式，得， 则或， ∴，． 故选：B． 6. 已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：∠5=30°， ∵， ∴∠3=∠1=120°， ∴∠4=∠3=120°， ∵∠2=∠4+∠5， ∴∠2=120°+30°=150°． 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、点B(0，－5)、点C(－2，－2)，则平行四边形ABCD的第四个顶点D不可能在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】可用点平移的问题来解决，从A到B横坐标不变，纵坐标变化5，那么从C到点D，横坐标不变，纵坐标也变化5，为（−2，−7）或（−2，3）分别在第三象限或第二象限；从C到A横坐标加2，纵坐标加2，那么从B到D也应如此，应为（2，−3），在第四象限，即可得出结果． 【详解】解：根据平移的性质分两种情况： ①从A到B横坐标不变，纵坐标变化5，那么从C到点D，横坐标不变，纵坐标也变化5，则D点为（−2，−7）或（−2，3），即分别在第三象限或第二象限； ②从C到A横坐标加2，纵坐标加2，那么从B到D也应如此，应为（2，−3），即在第四象限； 综上分析可知，第四个顶点D不可能在第一象限，故A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质、平移等知识；熟练掌握点的平移是解题的关键． 8. 如图，在中，点A，B，C在圆上，，则的形状是（ ）． A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，根据半径相等可得，进而即可判断出的形状． 【详解】解：∵，， ∴， 是等腰直角三角形 故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理，理解圆周角定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9. 如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ） A. （）° B. （）° C. （）° D. （）° 【答案】D 【解析】 【分析】设∠ABC的度数为n，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可． 【详解】解：设∠ABC的度数大小由60变为n， 则AC=，由AC=AB， 解得n= 故选D． 【点睛】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l=是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点 A（3，0），与y轴的交点B在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1．下列结论： ①；②；③；④若，是方程的两个根，则有．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，判定abc的符号，根据9a+3b+c=0，，用含a的代数式表示b，c，代入化简并判断正负性；根据a、c之间的关系和转化a的不等式组，并解之；利用数形结合思想判断． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵＞0， ∴b＞0， ∴ab＜0， ∵c＞0， ∴， 故结论①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点 A（3，0），对称轴为直线x =1， ∴9a+3b+c=0，， ∴3a+c=0， 故结论②正确； ∵3a+c=0，且， ∴， 解得， 故结论③正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点 A.（3，0），对称轴为直线x =1， ∴， 解得， 故抛物线与x轴另一个交点为(-1，0) ∴方程的两个根是抛物线与y=m的交点的横坐标，画图如下，数形结合思想判断，得． 故结论④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，抛物线与各项系数的关系，不等式组的解集，抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：4x2-1=(2x+1)(2x-1)． 故答案为：(2x+1)(2x-1)． 【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 12. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的母线长为_______. 【答案】5 【解析】 【分析】这个圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•3•l=15π，然后解方程即可． 【详解】解：这个圆锥的母线长为l， 根据题意得•2π•3•l=15π，解得l=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 13. 已知，m、n分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么，2m﹣n的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】先估算的大小，进而可得的范围，即可求得整数部分与小数部分，代入代数式求值即可 解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∴2m﹣n＝＝． 答案：． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，实数的计算，正确的估算出的范围是解题的关键． 14. 一次函数的图象如图所示，当时，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数，可以求得时的值，然后根据函数图象和一次函数的性质，可以写出当时，的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，， 由图象可知，随的增大而增大， ∴当时，则的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象和性质．根据函数图象判断其增减性是解答本题的关键． 15. 在矩形中，为边中点，连接，为边上一点，为上一点，连接，若，，，，则的长为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过点作于点，由矩形性质得，，，设，则，，进而得，，，，从而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，过点作于点，如图所示： 在矩形中，，，， 设， ∵， ∴， ∵为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理，中点定义，解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解答： （1）． （2）解不等式组：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角锐角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的求法分别计算即可得出结果； （2）先求出每个不等式的解集，然后根据：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）； （2）， 由①得：，， 由②得：，， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键． 17. 如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，又分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D． 求证：（1）点D在AB的中垂线上． （2）当CD=2时，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明：根据作图可知AD是∠CAB平分线， ∵∠C=90°， ∠B=30°， ∴∠DAB=∠DAC=∠B=30°， ∴DA=DB， ∴点D在AB的中垂线上； （2）6 【解析】 【分析】（1）根据作图可知AD是∠CAB平分线，然后由等角对等边和线段垂直平分线的性质可得结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出AD和AC，进而求出BC的长即可解决问题. 【详解】解：（1）略 （2）∵∠DAC=30°，CD=2， ∴AD=2CD=4， ∴，BD=AD=4， ∴BC=CD+BD=6， ∴. 18. 由天府新区管委会主办，四川天府新区太平街道承办的“莓好世界．莓好相约”四川花卉（果类）生态旅游节暨天府新区第十八届冬草莓节在2023年12月9日举行．某校九年级三班助农兴趣小组针对本班级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： （1）九年级三班一共_________人，其中B类所对应的圆心角为________． （2）九年级一共有600名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的有多少人． （3）为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率． 【答案】（1）40， 36° （2）120人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，解题的关键是从统计图中获取正确的信息． （1）根据C类别的人数与占比求解调查的人数即可，根据B类的人数，进而可求得扇形统计图中B类别所对的圆心角． （2）根据题意求得D类所占的百分比，即可解答． （3）用列表法列出所有情况，选择符合条件的即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，此次随机调查的人数为：人， 其中B类所对应的圆心角为． 【小问2详解】 ，， D类所占的百分比为： 九年级学生选择D类的有120人． 【小问3详解】 学生 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，，甲） （丁，乙） （丁，丙） ∴一共有12种等可能性情况，其中符合条件的为（甲，乙），（乙，甲）两种所以抽到甲乙． 19. 水果商贩小李上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元． （1）问草莓、苹果各购买了多少箱？ （2）小李有甲、乙两家店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓、苹果两种水果合计20箱，并且每售出一箱草莓，甲店获利14元，乙店获利10元；每售出一箱苹果，甲店获利20元，乙店获利15元． ①若小李将购进的40箱水果分配给两家店铺各20箱，设分配给甲店草莓a箱，请填写表： 草莓数量（箱） 苹果数量（箱） 合计（箱） 甲店 a ________ 20 乙店 ________ _________ 20 小李希望在乙店获利不少于215元的前提下，使自己获取的总利润W最大，问应该如何分配水果？最大的总利润是多少？ ②若小李希望获得总利润为600元，他分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，已知，则a=________． 【答案】（1）小李购买草莓25箱，购买苹果15箱； （2）①填表见解析，甲店草莓8箱，乙店草莓17箱，甲店苹果12箱，乙店苹果3箱，最大的总利润是567元；②10． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买草莓箱，购买苹果箱，由题意：草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）①由（1）可知小李购买草莓25箱，购买苹果15箱，设分给甲店草莓a箱，则分给乙店草莓箱，甲店分得苹果箱，乙店分得苹果：（箱），求出获取的总利润，，然后由一次函数的性质即可得出结论； ②分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，则甲店苹果为箱，乙店草莓箱，乙店苹果箱，则获取的总利润，由题意：小李希望获得总利润为600元，得，整理得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设购买草莓x箱，购买苹果y箱， 由题意得：， 解得：， 答：小李购买草莓25箱，购买苹果15箱； 【小问2详解】 ①由（1）可知小李购买草莓25箱，购买苹果15箱， 设分给甲店草莓a箱，则分给乙店草莓箱，甲店分得苹果箱，乙店分得苹果：（箱）， 填表如下： 草莓数量（箱） 苹果数量（箱） 合计（箱） 甲店 a 20 乙店 20 则，获取的总利润， ∵乙店获利不少于215元， ∴， 解得：， ∵，W随a的增大而减少， ∴当时，W最大，W最大值为567， ∴甲店草莓8箱，乙店草莓17箱，甲店苹果12箱，乙店苹果3箱，最大的总利润是567元； ②分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，则甲店苹果为箱，乙店草莓箱，乙店苹果箱， 获取的总利润， ∵小李希望获得总利润为600元， ∴， 整理得：， ∵a、b为整数，且， ∴， 故答案为：10． 20. 如图1，已知反比例函数的图象经过斜边的中点C，且与直角边相交于点D，另一直角边在x轴上． （1）已知的面积为8，请求出k的值； （2）如图2，直线经过C，D两点，在（1）的条件下，当时，请求出直线的表达式； （3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）4 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式、三角形的面积、一次函数的图象是解题的关键； （1）过点C作轴，设点C的横坐标为a，则点C的纵坐标为，进而得到B、D两点坐标，再利用的面积，即可求出k的值 （2）根据，的面积得出点D的横坐标，根据反比例函数得出点D的坐标，然后根据点C为中点得出坐标，代入一次函数即可； （3）观察图象，找到直线在双曲线下方即可得到答案； 【小问1详解】 过点C作轴于点E， 点C、D在反比例函数上， 设点C的横坐标为a， 点C的纵坐标为， 斜边的中点C， ， 的面积为8， ， ． 【小问2详解】 由（1）反比例函数的解析式为，，， ，的面积为8， 为等腰直角三角形， ， 点C的横坐标为2，点D的横坐标为4， 点C、D在反比例函数上， ， 将，代入中得 ，， 直线的表达式为； 【小问3详解】 由图象可知，关于x的不等式的解集是反比例函数图象总在一次函数图象的上方对应的自变量的取值范围，即∶或． 21. 如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，E为延长线上一点，且，与交于点H，与交于点F. （1）求证：是的切线； （2）若，，求①直径的长；②的长. 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先利用垂径定理的推论得到，则，再利用圆周角定理证明，进而得到，然后根据切线的判定定理可的结论； （2）①先根据圆周角定理得到，，则，在和中，解直角三角形求得，，利用勾股定理求解即可；②由求解即可． 【小问1详解】 证明：∵D是的中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，又为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵D是的中点， ∴，则， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理的推论，解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想寻找边角关系是解题的关键． 22. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点P为BC边的中点，直线a经过点A，过B作BE⊥a，垂足为E，过C作CF⊥a，垂足为F，连接PE、PF． （1）当点B、P在直线a的异侧时，延长EP交CF于点G，猜想线段PF和EG的数量关系为_____； （2）如图2，直线a绕点A旋转，当点BP在直线a的同侧时，若（1）中其它条件不变，（1）中的结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）直线a绕点A旋转一周的过程中，当线段PF的长度最大时，请判断四边形BEFC的形状，并求出它的面积． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）矩形；4 【解析】 【分析】（1）证，得，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论； （2）延长交的延长线于，同（1）得，得，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论； （3）连接，由等腰三角形的性质得，设线段的中点为，得点、都在以线段为直径的圆上，当时，取得最大值，此时四边形是正方形，则四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1），理由如下： ，， ， ，， 点为边的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论还成立，证明如下： 延长交的延长线于，如图2所示： 同（1）得：， ， ， ， ； （3）连接，如图3所示： ，点为边的中点， ，， ， 设线段的中点为， ， ， 点、都在以线段为直径的圆上， 当时，取得最大值，此时四边形是正方形， 则四边形是矩形，， 四边形的面积正方形的面积． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 23. 如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与直线交于点E． （1）请直接写出点B的坐标，并求抛物线的解析式； （2）若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使得面积最大，若存在，求出点F的坐标和△BCF面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）平行于的一条动直线l与直线相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标． 【答案】（1）点B的坐标为，抛物线的解析式为； （2）F点坐标是，最大值是4； （3）P点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据平行四边形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得m，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为，抛物线的对称轴， ∴点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵B，C， ∴，解得， 直线的解析式为， 过F点作轴交于Q，如图， 设点Q的坐标是，则点F的坐标是． ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值是4， 时，，即F点坐标是； 【小问3详解】 解：由， ∴顶点D， 又点E在直线上，则点E， 于是． 若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为，只需， 设点P的坐标是，则点Q的坐标是． ①当时，， 解得：或3． 当时，线段与DE重合，舍去， ∴，则； ②当或时，， 由， 解得， 此时． 综上所述，满足题意的点P有三个，分别是，． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积公式得出二次函数，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用平行四边形的性质的出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年广东省惠州市博罗县平安中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 同学们，我们是届学生，这个数字的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 7. 在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、点B(0，－5)、点C(－2，－2)，则平行四边形ABCD的第四个顶点D不可能在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在中，点A，B，C在圆上，，则的形状是（ ）． A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ） A. （）° B. （）° C. （）° D. （）° 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点 A（3，0），与y轴的交点B在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1．下列结论： ①；②；③；④若，是方程的两个根，则有．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 12. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的母线长为_______. 13. 已知，m、n分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么，2m﹣n的值是________． 14. 一次函数的图象如图所示，当时，则的取值范围是_______． 15. 在矩形中，为边中点，连接，为边上一点，为上一点，连接，若，，，，则的长为____________________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解答： （1）． （2）解不等式组：． 17. 如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，又分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D． 求证：（1）点D在AB的中垂线上． （2）当CD=2时，求△ABC的面积． 18. 由天府新区管委会主办，四川天府新区太平街道承办的“莓好世界．莓好相约”四川花卉（果类）生态旅游节暨天府新区第十八届冬草莓节在2023年12月9日举行．某校九年级三班助农兴趣小组针对本班级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： （1）九年级三班一共_________人，其中B类所对应的圆心角为________． （2）九年级一共有600名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的有多少人． （3）为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率． 19. 水果商贩小李上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元． （1）问草莓、苹果各购买了多少箱？ （2）小李有甲、乙两家店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓、苹果两种水果合计20箱，并且每售出一箱草莓，甲店获利14元，乙店获利10元；每售出一箱苹果，甲店获利20元，乙店获利15元． ①若小李将购进的40箱水果分配给两家店铺各20箱，设分配给甲店草莓a箱，请填写表： 草莓数量（箱） 苹果数量（箱） 合计（箱） 甲店 a ________ 20 乙店 ________ _________ 20 小李希望在乙店获利不少于215元的前提下，使自己获取的总利润W最大，问应该如何分配水果？最大的总利润是多少？ ②若小李希望获得总利润为600元，他分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，已知，则a=________． 20. 如图1，已知反比例函数的图象经过斜边的中点C，且与直角边相交于点D，另一直角边在x轴上． （1）已知的面积为8，请求出k的值； （2）如图2，直线经过C，D两点，在（1）的条件下，当时，请求出直线的表达式； （3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 21. 如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，E为延长线上一点，且，与交于点H，与交于点F. （1）求证：是的切线； （2）若，，求①直径的长；②的长. 22. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点P为BC边的中点，直线a经过点A，过B作BE⊥a，垂足为E，过C作CF⊥a，垂足为F，连接PE、PF． （1）当点B、P在直线a的异侧时，延长EP交CF于点G，猜想线段PF和EG的数量关系为_____； （2）如图2，直线a绕点A旋转，当点BP在直线a的同侧时，若（1）中其它条件不变，（1）中的结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）直线a绕点A旋转一周的过程中，当线段PF的长度最大时，请判断四边形BEFC的形状，并求出它的面积． 23. 如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与直线交于点E． （1）请直接写出点B的坐标，并求抛物线的解析式； （2）若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使得面积最大，若存在，求出点F的坐标和△BCF面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）平行于的一条动直线l与直线相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $