精品解析：黑龙江省大庆市让胡路区大庆市大庆中学2024-2025学年高二下学期6月期中数学试题

大庆中学2024-2025学年度下学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 16 B. 17 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知分别求出，进而可得，即可得. 【详解】由题设， 又，，则， 所以. 故选：B 2. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 108种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分组分配方法求解即可. 【详解】将4个人分成3个组有种方法， 再将3个组分配到3个服务点有种方法， 故选:A. 3. 由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ） A. 144 B. 168 C. 156 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】分个位上的数字为0和个位上的数字为2或4两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得结果. 【详解】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 若个位上的数字为2或4，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 故可以组成60＋96＝156个符合条件的数． 故选：C． 4. 随机变量的分布列如表，则方差（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出的值，可求出的值，再利用方差公式可求得的值. 【详解】由分布列的性质可得，解得，所以， 故. 故选：C. 5. 投掷一枚正方体骰子两次，则在第一次正面朝上的点数为奇数的条件下，第二次正面朝上的点数大于4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率得，由即可求解. 【详解】记事件“第一次正面朝上的点数为奇数”，事件“第二次正面朝上的点数大于4”． 投掷一枚正方体骰子两次，所有的样本点（x为第一次正面朝上的点数，y为第二次正面朝上的点数）共36个， 其中事件A包含的样本点有18个事件AB包含的样本点有6个，, 所以. 故选：C． 6. 某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可. 【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得， 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 7. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 所以，解得， ， 所以， 故选：A. 8. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 二、多选题 9. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有360种不同的排法 B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D. 男女生相间排法总数为36种 【答案】BC 【解析】 【分析】根据全排列即可求解A，根据甲的位置，即可结合分步乘法计数原理求解B，根据相邻问题捆绑法即可求解C，根据第一位是男生还是女生两种情况，即可结合排列求解D. 【详解】对于A，所有的排法共有种，故A错误， 对于B，甲可以排在头或者尾，有2种选择，剩下5个人全排列，故共有种，故B正确， 对于C，将甲乙看作一个整体，与剩下4个人全排列，故共有种，C正确， 对于D，女生第一位，有种方法，男生第一位，有种方法，故共有种方法，故D错误， 故选：BC 10. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共5项 B. 含项的系数为40 C. 无常数项 D. 所有项的系数之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解. 【详解】对A：因为的展开式中有6项，故A错误； 对C：因为， 由无整数解，故展开式无对常数项，故C正确； B：展开式中，的系数为：，故B正确； 对D：令，得所有项的系数之和为，故D正确. 故选：BCD 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将棱长为2的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正确的有（ ） A. 此半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式 B. 过A，B，C三点的平面截该正多面体，所得截面面积为 C. 若该半正多面体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 D. 若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出计算判断A；利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置判断BC；求出该半正多面体的外接球的外切正四面体有体积判断D. 【详解】对于A，在此半正多面体中，顶点数，面数，棱数，则，A正确； 对于B，过A，B，C三点的平面截该半正多面体所得截面为正六边形， 又，所以正六边形面积为，B正确； 对于C，由该半正多面体的对称性知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心， 即正六边形的中心，该球半径为，表面积，C错误； 对于D，该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动， 则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，正四面体的体积最小， 设此时正四面体的棱长为，高为， 于是，解得， 又正四面体底面正三角形半径为，则有，解得， 因此正四面体的体积，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有_________种． 【答案】 【解析】 【分析】易知选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女，即可求解. 【详解】由题意知，选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女， 共有种选法. 故答案为：9 13. 设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则__________. 【答案】3或 【解析】 【分析】由等比中项及等差数列前项和性质，列出等式求解即可. 【详解】由，可得， 即，即， 又成等比数列， 可得：，联立，消去， 可得：，可得：或， 当时，，易得， 当时，，可得， 所以3或， 故答案为：3或 14. 已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围. 【详解】设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为， 因此过该切点的切线方程为：； 设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为， 因此过该切点的切线方程为：， 则两曲线的公切线应该满足：， 构造函数, 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以函数有最大值为：， 当时，，当，，函数的图象大致如下图所示： 要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 即，解得， 又，所以 . 【小问2详解】 由余弦定理， 即， 故，当且仅当时取等号， 又，故，即周长的取值范围是. 16. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： （2）记，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明如下： 因为， 所以， 对上式两边同时取倒数有： 所以，又因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 因为数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2） 【解析】 【分析】(1)递推关系式左右两边同时减一，通分，取到数整理可得根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求出的通项公式进而求出数列的通项公式. (2)现根据的通项公式求出进而求出的通项公式，再用裂项相消法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以， 17. 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. （1）求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； （2）若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【答案】（1）； （2） 的分布列为 100 80 60 40 【解析】 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率； （2）由已知的取值为100，80，60，40，再求出对应的概率，即可得分布列. 【小问1详解】 选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. 【小问2详解】 的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 18. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若时，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）对进行求导，利用导数即可直接得到函数的单调区间； （2）对进行求导，分和两种情况进行讨论即可求得a范围. 【小问1详解】 当时，， ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意得， 当时，函数在单调递减，在单调递增， 即，解得,所以; 当时，函数在恒单调递增，即， 所以也满足题意； 综上：. 19. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点， ①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值； ②求的最大值. 【答案】（1） （2）①定值为1，证明如下： 由（1）知椭圆的方程为，设直线的方程：，则的方程是. 令， 由可得 则有 ， 同理得， . 即直线的斜率为定值，且定值为1. ②4. 【解析】 【分析】（1）根据三角形边长关系以及椭圆上的点坐标求出，从而得到椭圆方程； （2）①根据题意设直线与的方程，分别与椭圆方程联立求得点的坐标，再根据斜率公式计算即可得到定值；②利用两点间距离公式，结合基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题意，则是等腰直角三角形，即得，从而. 又椭圆过点则有解得. 椭圆的方程：. 【小问2详解】 ①略 ②由①知， 则 又，当且仅当即当时等号成立， 所以，即的最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2024-2025学年度下学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 16 B. 17 C. 20 D. 21 2. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 108种 3. 由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ） A. 144 B. 168 C. 156 D. 192 4. 随机变量的分布列如表，则方差（ ） A. B. C. D. 5. 投掷一枚正方体骰子两次，则在第一次正面朝上的点数为奇数的条件下，第二次正面朝上的点数大于4的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共计有360种不同的排法 B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D. 男女生相间排法总数为36种 10. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共5项 B. 含项的系数为40 C. 无常数项 D. 所有项的系数之和为 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将棱长为2的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正确的有（ ） A. 此半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式 B. 过A，B，C三点的平面截该正多面体，所得截面面积为 C. 若该半正多面体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 D. 若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有_________种． 13. 设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则__________. 14. 已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为_______. 四、解答题 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若，求周长的取值范围. 16. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： （2）记，求数列的前n项和. 17. 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. （1）求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； （2）若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 18. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若时，总有成立，求实数的取值范围. 19. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点， ①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值； ②求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $