2025年 九年级数学中考复习 操作探究类综合压轴题 考前冲刺专题提升训练

2025年春九年级数学中考复习《操作探究类综合压轴题》考前冲刺专题提升训练（附答案） 1．综合与探究：如图，已知射线于点B，点D在射线上，，过点D作射线于点 C． (1)【操作判断】根据题意在如图①中补全图形（保留作图痕迹），则四边形的形状为 ； (2)【拓广探索】点P为射线上一动点，连接，将沿折叠得到．延长交射线于点 E． ①如图②，当点在的垂直平分线上时，求的值； ②探究线段之间的数量关系，并说明理由． 2．综合与探究：在正方形中，为射线上一动点，为射线上一动点，连接，过点作交直线于点． (1)【操作判断】如图①，连接交于点，当点与点重合，点在线段上时，根据题意在图①中画出，并探究，，三条线段之间的数量关系； (2)【问题探究】如图②，当点在的延长线上，且，点，分别在的延长线和的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】当点在线段上时，为的中点，若正方形的边长为6，连接，，，，求的长． 3．综合与探究：如图，在中，，，点D是边上一动点．将点D以点B为旋转中心逆时针旋转，旋转后的对应点为E；再将点D以点C为旋转中心顺时针旋转，旋转后的对应点为F．连接，，分别交，于点G，H，连接． (1)【操作判断】请根据题意在图1中补全图形，判断与的位置关系______． (2)【问题探究】当点D的位置发生变化时，点A与存在不同的位置关系．当点A在内部时，判断的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，试说明理由． (3)【拓展延伸】直接写出点D运动过程中、、之间的数量关系． 4．综合与实践：在菱形中，，作，，分别交，于点，． (1)【动手操作】如图①，若是边的中点，根据题意在图①中画出，则________度； (2)【问题探究】如图②，当为边上任意一点时，求证：； (3)【拓展延伸】如图③，在菱形中，，点，分别在边，上，在菱形内部作，连接，若，求线段的长． 5．【实践操作】 如图①，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，把图①中形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③； （1）请写出从图①到图③验证的乘法公式为：____________________________________，并说明理由． 【应用探究】 （2）利用（1）中验证的公式简便计算：； （3）计算：． 【知识迁移】 （4）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为的正方体中去掉一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：_______________________________________________．（结果不需要化简） 6．综合探究 如图1，老师指导同学们对正方形进行探究，在正方形中，过点C作射线，点P在射线上． 【动手操作】 （1）如图2，若点P是线段的中点，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，根据题意在图中画出图形，并判断线段与的数量关系：　　　　　． 【问题探究】 （2）若点P在线段的中点，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，则（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点P在射线上移动，将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，如果，，求的长． 7．综合与探究： 问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且∠CDE＝60°．保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△CD'E'，D、E的对应点分别为D'、E'． (1)初步思考：求证：DE＝AC； (2)操作探究：如图2，当点落在DE边上时，连接AD'，判断此时四边形ACE'D'的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题． A．在△CDE旋转过程中，当D'E'//BC时，请直接写出此时旋转角a的度数及B、E'两点间的距离． B．在△CDE旋转过程中，当D'E'//AB时，延长AC交D'E'于点F，请直接写出此时旋转角α的度数及线段CF的长． 8．综合与实践探索图形平移中的数学问题 问题情境：如图，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形． 操作探究：将从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，． （1）如图，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离； （2）如图，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立请你证明这一结论； 拓展延伸：（3）请从，两题中任选一题作答，我选择______ 题 A.在平移的过程中，直接写出以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离． B．在平移的过程中，直接写出以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离． 9．综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点． （1）【操作判断】 如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，四边形是那种特殊四边形？并证明你的结论； （2）【问题探究】 如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：； （3）【拓展延伸】 点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，请直接写出的值． 10．综合与实践 问题情境 数学课上，老师出示这样一道题：如图，正方形的边长为12，点在上，，连接，以为边作正方形. 操作发现 （1）如图1，连接，直接写出线段的长； 操作探究 （2）如图2、在边上截取，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； 拓展探究 （3）如图3，把正方形绕点顺时针旋转，点落在正方形内部，连接，，作的边的中线，发现，，请证明.    11．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中，，，点，在的同侧，点，在线段上，连接并延长交于点，已知．将从图1中的位置开始，绕点顺时针旋转（保持不动），旋转角为． 数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中，请证明这个结论； 操作探究：（2）如图2，当时，“笃行小组”的同学连接线段，． 请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．①猜想，满足的数量关系，并说明理由； ②若，请直接写出时，，两点间的距离； B．①猜想，满足的位置关系，并说明理由； ②若，请直接写出点落在延长线时，，两点间的距离． 12．综合与实践 【问题情境】 类比是人类认知世界的重要思维方式，它不仅能帮助我们更好地理解复杂概念，更能激发创新思维，为人类认知开辟新的疆域．如示意图，在矩形中，于点，点是上一动点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：． 【类比探究】 （2）点运动到时，连接． ①如图2，当，，三点共线时，是否还成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出的值． ②如图3，当，时，求的长． 13．教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容． 做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗?此时，符合条件的角形有多少种？ (1)【操作发现】 如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形__________全等．（填“一定”或“不一定”）    (2)【探究证明】 已知：如图2，在和中，，，．    求证：． 证明：在上取一点，使．请补全完整证明过程： (3)【拓展应用】 在中，，点在射线上，点在的延长线上，且，连接，与边所在的直线交于点．过点作交直线于点，若，，则_________．（直接写出答案） 14．综合与实践 在学了《四边形》一章后，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】某活动小组准备了一张矩形纸片，进行如下操作：将矩形纸片对折，点A与点D重合，点B与点C重合，折痕为，点P是DC边上的任意一点，沿和剪掉两个角，展开后得到四边形，如图1． （1）通过观察，发现四边形是一类特殊的四边形，请你写出这类特殊四边形的边角特征（用几何语言表述，至少写出两个）； 【深入探究】小组成员通过查阅资料，了解到我们通常把具有以上特征的四边形叫做“筝形”，同时还了解到筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线． （2）如图2，在四边形中，若，，则，且平分，请证明这个结论； 【拓展应用】 （3）如图3，在筝形中，，交于点E，若，求的长． 15．综合与实践 问题情境： 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，将直角三角形的直角顶点放在点处，使直角边经过点，另一条直角边与交于点 问题解决： (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，交于点，当时，连接．求证：四边形是菱形； (3)如图3，当与的延长线交于点时，若正方形边长4，，请直接写出的长 16．【问题背景】教材阅读材料告诉我们，全等三角形的三个基本事实是进行演绎推理的重要依据．它们是从静态的角度探索发现的判定方法，其本质与动态的全等三角形定义是一致的，即在这些条件下，两个三角形一定可以通过图形的基本变换（轴对称、平移与旋转）而相互重合．    利用动态的全等三角形定义，上图中的两个三角形可以看作通过轴对称变换得到的全等的是______，可以看作通过平移变换得到的全等的是______，可以看作通过旋转变换得到的全等的是______．（填序号即可） 【问题呈现】在中，为边上一点（不与重合），连接，过点作于点，延长交于点，过点作延长线于点，点为中点，连接．    （1）求证：； （2）若将（1）中两个全等三角形看作动态变化的两个三角形，那么其中一个三角形可以看作是由另一个三角形通过图形的______基本变换而相互重合（填：“轴对称”、“平移”或“旋转”），简述变换的主要过程______（包含变换的基本要素）； （3）直接写出和之间的数量关系． 17．轴对称变换是现实世界运动变化的三种常见形式之一，在数学活动课上，同学们研究利用轴对称变化探究图形中线段的数量关系． 【初步感知】 （1）如图1，四边形中，，平分，求证：． ①如图2，小明同学想到了翻折，给出如下解题思路：在上截取，连接； ②如图3，小丽同学想到了翻折，给出了如下解题思路：延长线段到点，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【深入探究】 （2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，若平分，，请求出线段的长度． 18．数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 19．综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 20．【阅读教材】 苏科版八年级上册第《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢? 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． 【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢?小军同学提供了一种方法：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明． 【方法运用】 在中，，点是边上一点，连接． （1）如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； （2）如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【拓展提升】 在中，，，，点是边上一点，连接，将沿所在的直线翻折，点的对应点是点． （1）如图4（1），若，则________； （2）如图4（2），若平分，则________． 参考答案 1．（1）解：补全图形如图： ∵，， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 故答案为：正方形； （2）①连接， ∵在的中垂线上， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵正方形， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴； ②或； 当点在线段上时，将绕点旋转90度，得到， 则：，，， ∴， ∴三点共线， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图：将绕点旋转90度，得到， 则：，，，， ∵， ∴三点共线； ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 2．（1）解：补图如解图， 在正方形中， 和分别为正方形的两条对角线， ，，， ， ， ， ， ， ， 在等腰中， ，即， 又， ； （2）解：． 理由：如解图，过点作交的延长线于点，则， ， 在正方形中， 为对角线， 则， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， ， 在等腰中， ，即， 又， ，， ；    （3）解：分两种情况讨论： ①如解图③，连接，则过点，当点在线段上，时， 过点作交于点， 正方形的边长为6，，， ， ， 为等腰直角三角形， ，，， 由（2）可得，， ； ②如解图④，连接，则过点，当点在的延长线上，时， 过点作交于点， 正方形的边长为6，，， ， ， 为等腰直角三角形， ，，， 由（2）可得，， ． 综上所述，的长为2或6． 3．（1）解：如图所示： 连接， 由题意可知：，， 是等边三角形， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）解：延长，交于P， 是等边三角形， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ； （3）解：由（2）可知：当点D的位置发生变化时，点A与存在不同的位置关系． ①当点A在内部或边上时， ， ． ②当点A在外部时， 在中，， ， ， ， 同理可得，中，， ， 中，， 即 ， ， 综上所述，点D运动过程中、、之间的数量关系为或． 4．（1）解：作如解图， ∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，连接，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是中点， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）证明：如解图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：根据题意作图如解图，过点作于点，连接， 四边形是菱形，且，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ，同理可得， 当点在点的左侧（的位置）时，； 当点在点的右侧（的位置）时，； 或3； 由（2）知， ， ， 线段的长为1或3． 5．解：（1）图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积： ∴；理由如下： 一方面：         另一方面：          ∴ ；      （2）原式              （3）原式      ；             （4）将立体图形分割成三部分，分别为：，其和为． 6．解：（1）如图所示 ； 理由如下：正方形， ，，， ， ，， 取的中点，连接， 点是线段中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）还成立， 理由如下，过点作交于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即，， 同理， ； （3）若点在线段上时，过点作交于点， 由（2）可知，，，， ， ， ， ， ，， ． 若点在线段的延长线上时，过点作交于点， ，， ， 是等腰直角三角形，， ，，， 同理， ； ， ， ，， ， ． 综上所述，的长为或． 7．解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠DCE=90°， ∴∠E=90°−∠CDE=30°， ∴DE=2CD， ∵D是AC的中点， ∴AC=2CD， ∴DE=AC； （2）四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， 由（1）知，DE=AC， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）选择A：如图3，由旋转的性质得：， ∵D'E'//BC， ∴， ∴， 即， 连接， ∵AC=BC，AC=DE，， ∴ ∵D'E'//BC， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵D是AC的中点， ∴， ∴； 选择B：如图4，过点C作于G， ∵AB=AC，∠ACB=90°， ∴∠A=45°， ∵D'E'//AB， ∴∠CFG=∠A= 45°， ∵， ∴， 即旋转角α的度数为105°； ∵，，∠CFG = 45°， ∴，， ∴，CG=FG， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． 8．（1）解：连接，如图： 是等边三角形，，点是边的中点， ，， 将从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，， ∴ ， ，， ， 平移的距离为； （2）证明：如图： 是等边三角形，， ，， 将从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，， ，， 是等边三角形，，点是边的中点， ，， ，， ， ≌， ； （3）解：选择或题： 选A： 当时，如图： ， ， ， ， ； 平移的距离是； 当时，如图： 同理可得， ； 平移的距离是； 综上所述，以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是或； 选B： 当与重合时，如图： 是等边三角形， ， ， ， ，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形， 此时， 平移的距离是； 当时，如图： ， ， ， ， ， 由知 ， ， ， 平移的距离是； 综上所述，以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是或． 9．解：（1）过点作于点，如图，连接， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∵点在的平分线上， ∴平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形； （2）过点作于点，如图， 由（1）知：四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）①当点在线段上时，如图：延长交于点， 由（2）知：四边形为正方形， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图：过点作，延长交于点， 同法可得：四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 10．解：（1）过点作垂直于的延长线交于点，则，    ∵四边形是正方形， ∴，，， 则， 又∵四边形是正方形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，则， 又∵四边形是正方形， ∴，，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）连接并延长，使得，连接，则，    ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴。 则 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．解：（1）证明： ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， 又∵AO⊥BC， ∴OB=OC=OA， 同理可证明OE=OF=0D， ∴OE-OB=OF-OC， ∴BE=CF， （2）A①：AD=BE，理由如下： ∵∠AOB=∠EOD=90°， ∴∠BOE=∠AOD， 在△OBE和△OAD中， ∴△OBE≌△OAD（SAS）， ∴AD=BE， A②：过点E作EH⊥CO，交CO的延长线于H， 当旋转角α=45°时，∠BOE=45°，∠COE=135°， ∵AB=AC=2 由勾股定理得：BC＝， ∴OC=， 如图所示，在Rt△EHO中，OE=2， ∴HE=HO=， 在Rt△EHC中，由勾股定理得： CE=； B①：AD⊥BE， 如图2，延长DA交BE于点P，交EF于点Q， ∵∠AOB=∠EOD=90°， ∴∠BOE=∠AOD， 在△OBE和△OAD中， ∴△OBE≌△OAD（SAS）， ∴∠BEO=∠ADO， ∵∠EQP=∠AQO， ∴∠EPQ=∠QOD， ∴AD⊥BE， B②：过O点作OQ⊥AF于点Q， 则△OCQ为等腰直角三角形，QO=QC=1， 在Rt△OQF中，由勾股定理得：FQ=， ∴． 12．（1）证明：在矩形中，当时，矩形为正方形，为等腰直角三角形， ∵，， ，，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①不成立，理由如下， 根据题意可知，此时点为矩形对角线的交点， ， ∴为等边三角形， 根据等边三角形的性质可得，， ∴， ， ， 设，则，根据勾股定理可得， ， ； ②∵，则在中，， 又∵，，即， 由（1）条件可得， ， ， ， ， 如图，连接，在中，由勾股定理得， ， 是等腰三角形，为底边，为底边上的高， 为的垂直平分线， ， ， 在中，，，， ， 则， 根据勾股定理得 ， 在中，， ， 则， ， 过作，则，， ， 在中，，，设，则 ， ， 解得或(舍) ， ，， ， 在中，，， ， 即的长度为． 13．解：（1）通过作图我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)的两个三角形不一定全等， 故答案是：不一定； （2）证明：在上取一点，使． ， ． 又， 而， ． ，       又 ． ． （3）当点在线段上时，过点作，   ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 过点作交的延长线于点，   ，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ； 当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，同理可得；    同理：，， ，， ， ； 故答案是：或． 14．解：（1）由折叠的性质可得：，； （2）∵，，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，且平分； （3）作于点G，    由（2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：如图，过点P作于点G，设交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 16．解：【问题背景】图中的两个三角形可以看作通过轴对称变换得到的全等的是③，可以看作通过平移变换得到的全等的是②，可以看作通过旋转变换得到的全等的是①； 故答案为: ③，②，①； 【问题呈现】（1）证明: 于点，交直线于点， ， ， 在和中, ， ； （2）其中一个三角形可以看作是由另一个三角形通过图形的平移和旋转基本变换而相互重合， 变换的主要过程为将沿着方向平移到点与点重合，再绕着点将逆时针旋转 得到； 故答案为：平移和旋转，将沿着方向平移到点与点重合，再绕着点将逆时针旋转得到； ， 证明: 如图，连接，      ， ， ∵点为中点， ， ∵， ∴， ∴， 在和中, ， ∴, ∴，，， ∴， ， ， ． 17．（1）证明： 小丽方法： 如图，延长线段到点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 小明方法： 如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：线段的长度是， 理由：延长交于，过作于． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，，， 在中，，， ∴， 根据（2）中的结论可得： ． ∴线段的长度是． 18．解：（1）①小芳同学的解法 证明：如图1， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②小芮同学的解法： 证明：如图2，延长与的延长线相较于点 G ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形 ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下： 证明: 如图，连接 ， ， 由(1) 得， ∴在中, ∵四边形是平行四边形        ； （3）如图，过点作，取的中点，连接， ， ， ，， ， ，， 的面积为12，， , ， 是的中点， ，， ， 根据勾股定理可得， ， 设， 根据勾股定理可得， ， 即 解得， 19．解：（1）∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中 ∴， ∴． （2）仍然成立，理由如下∶ 由(1)得∶，， 又， ∴ 即 在和中 ∴ ∴； （3）①如图，过点E作于点H，则． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． ∴菱形的边长． ②如图，在菱形中， ，，连接 过点B作于点M，则 ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由①知菱形的边长为， ∴． 当A，B，F三点在同一条直线上时，易得A，G，C三点也在同一条直线上． 分两种情况∶ 当点G在线段上时， 当点G在射线上时，． 综上，的长为6或． 20．解：[类比探究]证明：由翻折的性质可知，， ∵， ∴，即； [方法运用]（1）解：如图（1），将沿翻折， ∵平分， ∴在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图（2），在上取，使，连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； [拓展提升]（1）解：如图（3），由翻折的性质可知，，    由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图（4），延长交于，则， ∵平分， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∴， 解得，，， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$