精品解析：2025年广西桂林市七星区桂林市第十八中学中考二模数学试题

数 学 （考试时间： 120 分钟 满分： 120 分） 注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第 I 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. （深度求索）是由中国某公司开发的通用人工智能系统截至年月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 调查神舟十九号飞船各零件是否合格 B. 调查某款新能源汽车的抗撞击能力 C. 调查全市中学生每天体育锻炼时间 D. 调查全市中学生视力情况 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个不等式组解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知米，，则中柱（D为底边中点）的长是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0两个根，则x1•x2等于（　　） A. 4 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣4 10. 如图，四边形是菱形，，，以为圆心，的长为半径画弧，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 11. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 12. 如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则点G到的距离为（ ） A B. C. D. 第 II 卷 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 14. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 15. 如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为______． 16. 第十四届国际数学教育大会（）会徽主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则十进制数2025换算成八进制数是________．（注：） 三、解答题（本大题共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）先化简，再代入求值：， 其中． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 19. 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 （1）求组同学得分的中位数和众数； （2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 20. 如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对于当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）求证； （2）若米，米，求车轮的半径． 21. 根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 22. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形纸片中，为的中点．将该菱形纸片沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在的延长线上，试猜想与的位置关系，并加以证明． （1）数学思考：请解答老师提出的问题； （2）拓展再探：如图2，“兴趣小组”受到老师所提问题的启发，将菱形纸片沿直线折叠，点的对应点，连接并延长与交于点，他们认为四边形是平行四边形．“兴趣小组”得出的结论是否正确，请说明理由． （3）问题解决：如图3，“智慧小组”突发奇想，将菱形纸片沿直线折叠，使点的对应点与点重合，得到的折痕为．他们提出了一个新问题：若菱形纸片的边长为10，，求的长度．请你思考该问题，并直接写出结果． 23. 对于二次函数． （1）若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． （2）若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 （考试时间： 120 分钟 满分： 120 分） 注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第 I 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据零上为正，零下为负，即可求解． 【详解】解：冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作， 故选：B． 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 3. （深度求索）是由中国某公司开发的通用人工智能系统截至年月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 调查神舟十九号飞船各零件是否合格 B. 调查某款新能源汽车的抗撞击能力 C. 调查全市中学生每天体育锻炼时间 D. 调查全市中学生视力情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了普查和抽样调查．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A、调查神舟十九号飞船各零件是否合格，适合采用全面调查（普查）的方式，本选项符合题意； B、调查某款新能源汽车的抗撞击能力，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意； C、调查全市中学生每天体育锻炼时间，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意； D、调查全市中学生视力情况，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 【详解】解：、与不能合并同类项，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆圈的区别．根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组的解集为， 故选：D． 7. 如图是厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知米，，则中柱（D为底边中点）的长是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键．先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：米，点是的中点， ， 在中，， （米）， 故选：A． 8. 光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，关键是由平行线的性质推出． 由光的反射定律得，，由平角定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：由光的反射定律得：，， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　　） A. 4 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可． 【详解】解：∵方程x2-4x-1=0的两个根是x1，x2， ∴x1∙x2=-1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-，两根之积是． 10. 如图，四边形是菱形，，，以为圆心，的长为半径画弧，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则也考查了菱形的性质和解直角三角形．连接，如图，先根据菱形的性质得到，，则和都为等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分面积进行计算． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， 四边形是菱形， ， ， ， 和都为等边三角形， ∴ 阴影部分面积 故选：C． 11. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 12. 如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则点G到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于M，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过D作于M， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过G作于H， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第 II 卷 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活频率 0875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 15. 如图，矩形对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作，垂足为H，利用勾股定理求出的长，利用角的余弦值求出的长，再利用勾股定理求出，从而得出，利用三角形面积求出即可． 【详解】解：如图，过点F作，垂足为H， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，即， 解得：， ，即， 解得：， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 16. 第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则十进制数2025换算成八进制数是________．（注：） 【答案】3751 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意找到进制转化的方法是解题的关键． 根据八进制数转换十进制的方法逆向计算即可． 【详解】解：∵， ∴十进制数2025换算成八进制数是3751． 故答案为：3751． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）先化简，再代入求值：， 其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切． 【小问1详解】 解：如图1，即为所作； 【小问2详解】 证明：如图2，作于， ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 19. 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 （1）求组同学得分的中位数和众数； （2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 【答案】（1）组同学得分的中位数为分，众数为分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名，画树状图法求出概率即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，每组学生人数为10人， 中位数为第5、6名同学得分的平均数， 组同学得分的中位数为分， 分出现了两次，次数最多， 众数为分； 【小问2详解】 解：由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名， 令组的2名同学为、，组的2名同学为、， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种， 这2名同学恰好来自同一组的概率． 20. 如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对于当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）求证； （2）若米，米，求车轮的半径． 【答案】（1）见解析 （2）米（或0.5米） 【解析】 【分析】（1）根据相切可得，再根据是的直径，可得，结合即可证明； （2）根据题意证明即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线， ， ， 是的直径， ， ， 又， ， ． 【小问2详解】 由（1）得，， ， ， ，即， ， ， ． 车轮的半径为米（或0.5米）． 【点睛】本题是圆与三角形的综合题，主要考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等，灵活运用所学知识是解题的关键． 21. 根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】任务：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：每张元纸币的质量是克； 任务：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． 任务：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； 任务：设每张元纸币克，根据素材中使天平平衡的放置方法，列一元一次方程求解即可； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】任务：解：设枚元硬币克，枚角硬币克， 由素材可得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：设每张元纸币克， 由素材可得：， 解得：， 答：每张元纸币的质量是克； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：， 整理得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 22. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形纸片中，为的中点．将该菱形纸片沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在的延长线上，试猜想与的位置关系，并加以证明． （1）数学思考：请解答老师提出的问题； （2）拓展再探：如图2，“兴趣小组”受到老师所提问题的启发，将菱形纸片沿直线折叠，点的对应点，连接并延长与交于点，他们认为四边形是平行四边形．“兴趣小组”得出的结论是否正确，请说明理由． （3）问题解决：如图3，“智慧小组”突发奇想，将菱形纸片沿直线折叠，使点的对应点与点重合，得到的折痕为．他们提出了一个新问题：若菱形纸片的边长为10，，求的长度．请你思考该问题，并直接写出结果． 【答案】（1），见解析 （2）兴趣小组结论正确，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠推出，等边对等角得到，，利用三角形的内角和定理，推出，即可得出结论； （2）连接，延长交于点，同法（1）得到，对称得到，推出，再根据，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，利用菱形的性质，得到，求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解： 证明：由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 “兴趣小组”得到的结论是正确的． 理由如下： 连接，延长交于点， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是菱形，， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：过点作，交的延长线于点， ∵菱形纸片的边长为10， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， 则：， ∴， ∴， 设，则：， ∵折叠， ∴， 在中，， 即：，解得：； ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定，解直角三角形．熟练掌握菱形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 23. 对于二次函数． （1）若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． （2）若二次函数图象经过点，，求当时，n的取值范围． 【答案】（1）①，见解析；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值． （1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是； （2）由，得到，因为，所以，解得． 【小问1详解】 解：①当时，，不合题意，舍去； 当时，， ∴，符合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，， ∴，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点， ∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为， ∵当时，该函数的最小值是， ∴； 【小问2详解】 解：当时代入：， 当时代入：， ∴， ∴， ∵， ∴即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $