精品解析：江苏省苏州市吴江区震泽中学育英学校2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024-2025学年下学期高一数学学科5月质量反馈 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z=2+i，则 A. B. C. 3 D. 5 2. （ ） A. 0 B. C. D. 1 3. 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 中，，那么（ ） A. B. C. D. 或 6. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为36cm，28cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ） A. B. C. D. 7. 嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. () m B. () m C. () m D. () m 8. 如图，梯形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共小题，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设的内角所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 10. 已知l，m是平面α外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（　　） A. 若l∥α，m∥α，则l∥m B. 若l⊥α，m∥α，则l⊥m C. 若l⊥α，l⊥m，则m∥α D. 若l⊥m，m∥α，则l⊥α 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 线段上存在点，使平面 C. 线段上存在点，使平面平面 D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则实数的值为______. 13. 中，内角、、所对的边分别是、、，已知，且，，则的面积为_____. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 16. 已知向量，，， （1）若，求的值； （2）若，求的值 17. 如图，△ABC是等边三角形，EA⊥平面ABC，，，F为BE的中点. （1）证明：平面ABC； （2）证明：AF⊥平面BDE. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求c的值； （ⅱ）求的值． 19. 如图，在直角梯形中，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期高一数学学科5月质量反馈 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z=2+i，则 A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】∵ 故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题.. 2. （ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据和角正弦公式化简求值即可. 【详解】由和角正弦公式知. 故选：D 3. 若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆锥的母线，底面半径，利用圆锥侧面积公式求解出答案 【详解】因为圆锥的轴截面是直角边长为的等腰直角三角形， 所以圆锥的母线长为， 底面直径长为，半径为， 则此圆锥的侧面积为， 故选：B． 4. 若向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将平方，利用数量积的运算律即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 5. 中，，那么（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 则，即， 因为，所以，则. 故选：A. 6. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为36cm，28cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用台体的体积公式直接计算. 【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为9cm，7cm． 故该香料收纳罐的容积为 故选：B 7. 嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. () m B. () m C. () m D. () m 【答案】B 【解析】 【分析】设，在中，根据正切用表示，中，正弦定理建立与的等量关系，可求解，从而确定选项. 【详解】设，则. 在中，， ∴＝，即＝， 解得. 故选：B. 8. 如图，梯形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，则根据题设条件可求的值，从而可求的表达式，根据二次函数的性质可求最小值. 【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 因为， 所以，解得，即， 设，，，则，， 所以， 所以的最小值为． 故选：D. 二、多选题：本题共小题，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设的内角所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由余弦定理与数量积的定义计算；B选项，由大角对大边和正弦定理判断；C选项，由正弦定理解三角形；D选项，由正弦定理与二倍角公式化简后判断． 【详解】对于A，，而，故A选项错误， 对于B，中，若，则，由正弦定理得：（为的外接圆半径），故，B选项正确， 对于C，由正弦定理，得，由，则或，C选项错误 对于D，若，则，即， 得或，故或，为等腰三角形或直角三角形，D选项正确. 故选：BD 10. 已知l，m是平面α外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（　　） A. 若l∥α，m∥α，则l∥m B. 若l⊥α，m∥α，则l⊥m C. 若l⊥α，l⊥m，则m∥α D. 若l⊥m，m∥α，则l⊥α 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面平行得判定及性质，线面垂直的性质逐项判断即可 【详解】若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故A错误； 若l⊥α，则l垂直平行于α的所有直线，而m∥α，利用线面平行的性质定理，必存在,则l⊥m，故B正确； 若l⊥α，l⊥m，且mα，则m∥α，故C正确； 若l⊥m，m∥α，且已知lα，则l∥α或l与α相交，故D错误． 故选：BC． 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 线段上存在点，使平面 C. 线段上存在点，使平面平面 D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确． 对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，， 所以 ，，， 设（），则 所以， 平面即 解之得 当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确 对于C，设平面的法向量 则，取 得 设平面 的法向量 , 则 取 , 得 , 平面平面 设 , 即 , 解得 ，，不合题意 线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误． 对于D，平面的法向量为 则 因为 所以 所以的最大值为．故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据向量平行得到方程，求出实数的值. 【详解】，， ，. 故答案为： 13. 中，内角、、所对的边分别是、、，已知，且，，则的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积. 【详解】，由边角互化思想得， 即，， 由余弦定理得，， 所以，，因此，，故答案为. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用，解题时要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得到的距离，再利用勾股定理知要使取得最小值，则需取得最小值，此时利用点到直线的距离可得解. 【详解】由已知得四面体体积 所以设到的距离为，则 解得所以在底面内（不包括边界）与平行且距离为的线段 上， 要使的最小，则此时是过作的垂线的垂足. 点到的距离为所以 此时 故答案为. 【点睛】本题考查立体几何的动点最值问题，将空间立体问题转化为平面问题是解题的关键，属于难度题. 四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【小问1详解】 由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 16. 已知向量，，， （1）若，求的值； （2）若，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得； （2）根据向量的数量积的坐标表示求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】解：（1），，且 所以 所以 （2），，且 【点睛】本题考查平面向量的数量积、同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式的应用，属于中档题. 17. 如图，△ABC是等边三角形，EA⊥平面ABC，，，F为BE的中点. （1）证明：平面ABC； （2）证明：AF⊥平面BDE. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作的中点，连接，，由中位线的性质得到，，结合题目信息，可证四边形是平行四边形，即可证明平面. （2）连接，易得，利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，结合线面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 作的中点，连接，； 为的中点，，， 又，，，， 则四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 连接AD，由题意设，（），可得，由（1）知， 是为的中点，， 又有平面，平面，所以，即是等腰直角三角形， 则， 又因为，所以平面，平面，则，由勾股定理得，， 所以，即， 又，平面，平面， 故平面. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求c的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可. （2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，, 可得， 因为，故，则， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （ⅰ）则， 即，解得（舍），. 故. （ⅱ）由， 得， 解得，则， 则， ， 则 . 19. 如图，在直角梯形中，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． （1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：连接BG，由为中点，，得，又，则， ，由余弦定理得， 即，则，又平面，且， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）证明，再利用线面垂直的判定推理得证.. （2）分别计算的长和梯形的面积，即可得出棱锥的体积. （3）过点作交于点，过点作交于点，连接，利用面面平行的判定、性质推理证明，进而计算的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角三角形中，，则，， 所以四棱锥的体积为. 【小问3详解】 过点作交于点，则， 过点作交于点，连接，则， 又平面，平面，于是平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 而平面，则平面， 所以在上存在点，使得平面，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $