2.1 简谐运动及其图像-2024-2025学年高二物理教科版2019选择性必修第一册

选必一 2.1 简谐运动及其图像 观察思考 如图 2-1-1 所示，让悬挂的小球、气垫导轨上的滑块动起来，它们和树梢及钟摆的运动情况有什么共同之处？ 不难看出，小球、滑块和树梢、钟摆一样， 都在某个位置附近往复运动。 物体（或物体的某一部分）在某一位置两侧所做的往复运动，叫作机械振动，通常简称为振动 ，这个位置称为平衡位置。 振动现象在自然界中普遍存在。钟摆的摆动，水中浮 标的上下浮动，挑着物体行走时扁担的颤动，树梢在微风中的摇摆，都是振动。一切发声的物体都在振动。 机械振动 振动具有什么特征呢？如何进行研究？ 图 2-1-2 所示，将弹簧上端固定，下端连接一个小球，小球可在竖直方向上运动。弹簧的质量比小球的质量小得多，可以忽略不计，若不计空气阻力，这样的系统称为弹簧振子，其中小球称为振子。 小球沿弹簧轴线方向拉离平衡位置一小段距离，然后由静止释放，观察小球的运动情况。我们如何记录并分析它的运动呢？ 观察思考 我们用手机对小球的运动过程进行录像，然后等时 间间隔 0.02s 截屏，利用软件拟合在一张照片上，得到图2-1-3。 我们用手机对小球的运动过程进行录像，然后等时间间隔 0.02s 截屏，利用软件拟合在一张照片上，得到图2-1-3。 图片上每个小球代表什么意义？ 图片上每个小球代表每隔0.02s小球的位置. 了进一步研究的需要，我们在图 2-1-3 中建立坐标系，如图 2-1-4 所示，横轴代表时间 t ，纵轴代表小球相对（偏离）平衡位置的位移 x，因此它就是小球在平衡位置附近往复运动时的位移 - 时间图像，即 x-t 图像，称为弹簧振子的振动图像。 从图中可以看出，它的振动图像大致是一条正弦或余弦曲线。 图像表示振子的位移随时间变化的规律。 用沙摆演示简谐运动的图像 如图2-1-10所示的装置是一个悬挂在固定支架上盛沙的漏斗。用细线悬挂的漏斗可看作单摆，漏斗相当于摆球。让它在一个固定的平面内做小角度摆动，这个摆动是简谐运动。在漏斗的下方水平放置一块画有直线OO'的薄板，静止时漏斗位于OO'正上方。 图2-1-11所示，使漏斗在一个固定的竖直平面内摆动，沿垂直于该平面的OO'方向匀速拉动薄板，观察从摆动的漏斗中漏出的细沙在板上形成的曲线，并思考以下问题。 （1）不拉动木板时，让沙摆摆动起来，细沙的分布特点是直线还是曲线？两边的沙子多还是中间的沙子多？说明了什么？ （2）匀速拉动木板时，落在薄板上细沙的位置和各时刻摆球（漏斗）的位置有什么关系？ （3）细沙在薄板上形成什么形状的曲线？有什么意义？ （4）为什么要匀速拉动木板？ 每一时刻都有细沙从漏斗中漏出，所以落在薄板上的细沙就记录下各个时刻摆球（漏斗）的位置。匀速拉动薄板，则以 OO' 表示的时间轴是均匀的，这样横轴上相同的长度就代表相等的时间间隔；垂直于 OO' 的坐标 x 表示的就是摆球在不同的时刻相对于平衡位置的位移，薄板上细沙形成的曲线就是沙摆做简谐运动时位移 x 随时间 t 变化的图像，称为简谐运动的图像（或称振动图像）。严格的理论和实验证明，所有简谐运动的图像都是正弦（或余弦）曲线。 如果质点的位移与时间的关系严格遵从正弦函数的规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的运动叫作简谐运动（simple harmonic motion）。 简谐运动 描述简谐运动的物理量 在图 2-1-6 中，振子在光滑杆上的 B 点和 B′ 点之间往复运动，OB=OB′，OB（OB′）是振子离开平衡位置（O 点）的最大距离，叫作振动的振幅（A）。振幅是表示振动强弱的物理量。 振幅A 在图 2-1-6 中，振子在光滑杆上的 B 点和 B′ 点之间往复运动，振子在任意时刻的位移是指振子相对（偏离）平衡位置的位移 。 位移x 某时刻与某段时间的位移 的位移 的位移 某时刻的位移是指偏离平衡位置的位移，即都是以平衡位置为初位置。 的位移 段时间内的位移 平衡位置自由停止的位置 水平向右为正方向 时刻为 初位置 时刻为末位置 OA=O 描述简谐运动的物理量 周期T 振子每完成一次全振动所用的时间是相同的，这个时间叫作振动的周期。 频率f 完成的全振动的次数与所用时间的比值，叫作振动的频率.单位：赫兹(Hz). f= 振子完成一次全振动发生的位移是多少？经过的路程是多少？ 如果振子由 B 点经 O 点运动到 B′ 点，又由 B′ 点经O 点回到 B 点，我们就说振子完成了一次全振动。 全 振动 全振动 C 一次往复运动的全过程叫全振动。 从A点启程 AO O 从点启程 连续两次经过A（）叫一次全振动 从C点启程 O O 连续三次经过C点叫一次全振动 振子完成一次全振动发生的位移是多少？经过的路程是多少？ 振子完成一次全振动发生的位移为0， 经过的路程一定是4A. 振幅、位移和路程的关系   振幅 某时刻的位移 路程 定义 振子离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度 矢、标性 标量 矢量 标量 变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间做周期性变化 随时间增加 联系 ①振幅等于最大位移的大小 ②振子在一个周期内的位移等于零，在一个周期内的路程等于4倍振幅，在半个周期内的路程等于2倍振幅。 简谐运动的周期性和对称等时性 振子每完成一次全振动所用的时间是相等的，振子由 B 点到O 点、O 点到 B′ 点、 B′ 点到 O 点和 O 点到 B 点的时间都相等，均为.振子在任意两点之间（或关于O点对称区间）往来时间相等。 1.振子完成一次全振动发生的位移为0，,经过的路程一定是4A. 2.振子经过半个周期发生的位移为不确定，经过的路程一定是2A. 3.振子经过四分之一个周期发生的位移为不确定，经过的路程为不确定. 简谐运动的图像 x/m o T π/2 π 3π/2 2π t/s A -A 横轴t 纵轴x 图像意义 时间 偏离平衡位置的位移 振子偏离平衡位置的位移随时间变化的规律。 图像（曲线）不是质点运动的轨迹. 直接求解物理量 T,f，，A 任意时刻的位移x 间接求解物理量 任意时刻的速度、加速度等 图像的斜率表示振子的速度。斜率为正，表示速度与正方向相同；斜率为负，表示速度与正方向相反。 对称性：振子偏离平衡位置的位移大小相等时，振子的速率相等。 t=0时刻，我正在负向最大位移处，速度为零。 t=0时刻，我正在平衡位置向上（正方向）运动，速度最大。 t=0时刻，我正在正向最大位移处，速度为零。 请问t=0时刻我在哪里？ t=0时刻，我正通过平衡位置向下（负方向）运动，速度最大 + 简谐运动的位移公式 请问可以表达我在任意位置开始计时（t=0）的位移随时间变化的函数关系式吗？ x=As 振幅 初相 相位 相位 角速度（圆频率2f） ==2f 振动方程 x=As ω= = 2πf x=As x=As 简谐运动的位移公式 振 动 方 程 x=As ω= = 2πf x=As x=As 简谐运动的位移公式 振 动 方 程 1. 2-1-7 （a）所示的振动图像表示了物体（如振子或摆球）从平衡位置开始向正方向振动，其离开平衡位置的位移 x 和时间 t 的函数关系为： 快来写振动方程 x=As 2. 2-1-7 （a）所示的振动图像表示了物体（如振子或摆球）从正向最大位移处开始振动，其离开平衡位置的位移 x 和时间 t 的函数关系为： x=As (a)从平衡位置开始正负方向的简谐运动 (b)从正向最大位移开始的简谐运动 初相位为 初相位为 3. 2-1-7 （c）所示的振动图像表示了物体（如振子或摆球）从平衡位置开始向负方向振动，其离开平衡位置的位移 x 和时间 t 的函数关系为： 快来写振动方程 x=As 4. 2-1-7 （d）所示的振动图像表示了物体（如振子或摆球）从正向最大位移处开始振动，其离开平衡位置的位移 x 和时间 t 的函数关系为： x=As (c)从平衡位置开始向负方向的简谐运动 (d)从负向最大位移开始的简谐运动 初相位为 初相位为或 x=As (c)从平衡位置开始向负方向的简谐运动 x=As (a)从平衡位置开始正负方向的简谐运动 相位差 π (c)图相当于从(a)图开始计时后时刻开始计时，即或(a)图比(c)图提前。 (a)图相当于从(c)图开始计时后时刻开始计时，即或(c)图比(a)图提前。 把两个相同的弹簧振子，向相反方向拉开相同的距离，然后同时放开，将看到它们在各时刻的位移总是相反，同时到达相反一侧的最大位移处，也同时从相反方向经过平衡位置。这样在二者的 x-t 的表达式中，相位一定相差 π，我们说它们的振动反相；或者说两个振子振动的步调相反。 x=As (b)从正向最大位移开始的简谐运动 x=As (d)从负向最大位移开始的简谐运动 相位差 π 把两个相同的弹簧振子，周期相同，把它们朝同一方向拉开相同的距离，然后同时放开，将看到它们同时到达同的最大位移处，也同时经过平衡位置，它们总是“步调 一致”地运动，两个振子在任一时刻都处于相同的状态。这样，在二者的 x 的表达式中，相位一定相同，我们说它们的振动同相。或者说两个振子振动的步调相同。 x=As (a)从平衡位置开始正负方向的简谐运动 x=As (d)从负向最大位移开始的简谐运动 相位差 (d)图相当于从(a)图开始计时后时刻开始计时， 通常说(a)图比(d)图提前或(d)图比(a)图。 A、B两个做简谐运动的物体的位移—时间图像如图所示。 请根据图像写出： (1)A的振幅是____ cm，周期是____ s；B的振幅 是____ cm，周期是____ s。 0.5 0.4 0.2 0.8 (2)两个简谐运动的位移随时间变化的关系式分别为 xA＝________________，xB＝__________________。 0.5sin (5πt＋π) cm (3)若物体A的周期也是0.8 s，则物体A做简谐运动的位移随时间变化的关 系式为__________________ cm，物体A的相位始终超前物体B的相位___。 xA＝0.5sin(2.5πt＋π) 例1 跟我走 大显身手 x/cm o 1 2 3 4 t/s 4 -4 跟我走 大显身手 例2 如图所示为质点做简谐运动的振动图像的一部分，根据图像求： (1)请写出质点的位移—时间函数关系式。 （4)从 t=1.5s到t=12.5s时间内，质点的位移和路程？ (3)t=1.5s和t=2.5s时刻，质点的位移？ (2)请画出t=3s到t=5s时刻的振动图像。 （5)哪些时刻质点的位移为2cm? 振子在AA’之间振动 5 C.t＝0.75 s时，质点到达距平衡位置最远处 D.质点前2 s内的位移为－4.5 cm √ 闯关1.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x=3s cm，则 A.质点的振幅为3 m B.质点的振动周期为 s 闯关2.(多选)如图所示，A、B为两简谐运动的图像，下列说法正确的是 √ √ 闯关3.如图所示是某弹簧振子的振动图像。 (1)求振子振动的振幅、周期、频率和初相； 答案　2 cm　0.8 s　1.25 Hz　0 (2)当t＝1.4 s时，振子相对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中所通过的路程是多少？ 答案　－2 cm　8 cm (3)如果从点O开始计时，写出振子做简谐运动的位移与时间关系的表达式。如果从点C开始计时，表达式又是怎样的？ 从O点开始计时 x＝0.02sin 2.5πt m 从C点开始计时 x＝0.02sin(2.5πt－ ) m （多选）质点做简谐运动的图像如图 2-1-8 所示，则下列说法中正确的是 A．4 s 时速度为 0 B．10 s 时振子的位移为 -5 m C．前 10 s 内振子通过的路程为 50 cm D．5 s 时振子的速度方向为 -x 方向 跟我走 大显身手 例3 1.某一时刻质点的位移大小和方向 如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 由简谐运动的图像获取的信息 2.某一时刻质点速度的大小和方向 (1)根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则位移越来越大，速度越来越小；若靠近平衡位置，则位移越来越小，速度越来越大。 如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点 对应时刻质点向正方向远离平衡位置方向运动，速度 减小。 (2)根据斜率判断速度的大小和方向。斜率绝对值越大，则速度越大，斜率绝对值越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 + 拓展1 （多选）质点做简谐运动的图像如图 2-1-8 所示，则下列说法中正确的是： A．前4 s 内质点的平均速度为 0 B．t=2 s 到t=12 s振子的位移为 10 cm C．前 8 s 内振子的平均速率为 5m/s D．t=2 .5s 时振子正在向上做加速运动 + 拓展2 （多选）质点做简谐运动的图像如图 2-1-8 所示，则下列说法中正确的是： A．前2 s 内质点的平均速度为 -5cm/s B．t=2 s 到t=6.5 s振子的路程小于22.5 cm C．t=3 .5s 时振子的位移为2.5cm D．t=2 .5s 时振子正在向下做加速运动 一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次经过 A、B 两点，历时2 s。质点通过 B 点后再经过 1 s 又第二次经过 B 点。在这两秒内，质点通过的总路程为 12 cm，则质点的振动周期和振幅分别为多少？ A B 例4 跟我走 大显身手 变异1 一质点做简谐运动，先后以相同的速率依次经过 A、B 两点，历时2 s。质点通过 B 点后再经过 1 s 又第二次经过 B 点。在这两秒内，质点通过的总路程为 12 cm，则质点的振动周期和振幅分别为多少？ A B 变异2 如图所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度依次通过a、b两点，经历时间tab＝1 s，过b点后再经t′＝1 s质点第一次反向通过b点．O点为平衡位置，若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求： （1）该质点的振动周期和振幅 （2）从a点开始计时，以水平向右为正方向，请 写出该质点的的位移随时间变化的关系式。 4 s　4 cm （3）从a点开始计时，以水平向左为正方向，请 写出该质点的的位移随时间变化的关系式。 X=4sin() cm X=4sin() cm X=4sin() cm （1）该质点的振动周期和振幅 1.(多选)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定在天花板上，它们组成一个振动的系统。开始时钢球静止，现用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是 A.钢球的最低处为平衡位置 B.钢球原来静止时的位置为平衡位置 C.钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm D.钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm √ √ 味道江湖 1 2.一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，振幅为A，下列说法正确的是 A.在T时间内，振子发生的位移一定为零，路程一定是4A √ 味道江湖 2 6.(多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是 A.物体的振动周期是2×10－2 s B.第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm C.物体的振动频率为25 Hz D.物体的振幅是10 cm √ √ √ 味道江湖 3 10.(多选)如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图像可知下列说法正确的是 A.小球偏离平衡位置的最大距离为10 cm B.1 s末到5 s末小球的路程为40 cm C.2.5 s末和4.5 s末小球的位移相等，运动 方向也相同 D.小球2 s完成一次往复运动 √ √ 味道江湖 4 12.(2023·成都市高二期中)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为 √ 味道江湖 5 华 山 论 剑 之 太明论理 味道江湖 0.2sin (2.5πt＋) cm A.A、B之间的相位差是 B.A、B之间的相位差是π C.B比A超前 D.A比B超前 B.在时间内，振子发生的位移一定是零，路程可以大于A C.在时间内，振子发生的位移一定是2A，路程一定是2A D.在时间内，振子发生的位移一定是A，路程也是A A.x＝Rsin(ωt－) B.x＝Rsin(ωt＋) C.x＝2Rsin(ωt－) D.x＝2Rsin(ωt＋) $$