精品解析：山东省枣庄市滕州市滕州育才中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题（第二次单元质量检测）

2024-2025学年度第二学期第二次单元检测 八年级数学试卷 （满分120分 考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C D. 2. 下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 4. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于方程的解为，则处可能为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x方程有增根，则m的值是（ ） A. 0 B. 5 C. 3 D. 3或5 9. 甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（ ） A. B. C. D. 10. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 12. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，则的值为_______． 13. 已知，则分式的值为___________． 14. 对于非零实数、，规定，若，则的值为________． 15. 已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 16. 对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为_______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 把下列各式因式分解： （1） （2）． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 下面是嘉琪同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第一步的依据是________（填运算律）进行变形的； ②第三步进行分式的约分，约分的依据是________； ③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． 20. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 21. 某超市准备购进野生木耳和人工培育木耳，已知购进一斤野生木耳比一斤人工培育木耳多15元，若用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，请解答下列问题： （1）求该超市购进的野生木耳和人工培育木耳单价各为多少元； （2）该超市预计购进野生木耳和人工培育木耳共100斤（野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数），总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，求有哪几种购进方案； （3）在（2）条件下，该超市野生木耳每斤售价70元，人工木耳每斤售价40元，若全部售出，则该超市获得的最大利润是多少元？ 22. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”． （1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①嘉嘉发现：两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数 ②洪淇发现：2024是“神秘数” 23. 对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 24. 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： （1）利用配方法分解因式：． （2）求二次三项式的最小值． （3）已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第二次单元检测 八年级数学试卷 （满分120分 考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意； B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 2. 下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 4. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是理解分式基本性质的适用条件，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】A、到，分子分母不是同时乘或除以同一个不为0的整式，不符合分式的基本性质，该变形错误． B、，根据分式基本性质，分子分母同时除以，结果应为，而不是，该变形错误． C、到，分子分母不是同时除以同一个不为0的整式，相当于分子除以，分母除以），不符合分式的基本性质，该变形错误． D、，因为（分母不为0），根据分式的基本性质，分子分母同时除以，得到，该变形正确． 故选：D． 5. 已知，，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．根据分式的加法运算法则化简分式，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，画出图形，根据图形因式分解即可，利用等积法进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：如图： ∴， 故选：C． 7. 已知关于的方程的解为，则处可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，把代入方程，求出的值，分别求出时，各选项的值，进行判断即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， ∴， 当时，，故A选项不符合题意； ，故B选项符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项不符合题意； 故选B． 8. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 0 B. 5 C. 3 D. 3或5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，再根据分式方程有增根得出，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于x的方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 10. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书得到每个B型包装箱可以装书（x+15）本，再利用数量=总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于x的分式方程． 【详解】∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，依题意得： 故选：C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的有意义的条件，根据分式有意义的条件即可求出答案，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件． 【详解】由题意可知：， ∴， 故答案为：． 12. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8，则的值为_______． 【答案】64 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键．根据长方形周长与面积公式求出与的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为8， ∴， 即， 则原式， 故答案为：64． 13. 已知，则分式的值为___________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，分式的加减，正确的计算是解题的关键．根据分式的加减将已知等式变形为，代入分式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 14. 对于非零实数、，规定，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 等式两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴， 故答案为：． 15. 已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，列不等式组是解题关键． 先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵方程的解为非负数，且，即， ， 且； 故答案为：且 16. 对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式． 这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”． 为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行因式分解． 则代数式因式分解的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可． 【详解】解： ． 故答案为： 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 把下列各式因式分解： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验． （1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可； （2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再检验即可． 【小问1详解】 解： ， 解得， 经检验是分式方程的解 【小问2详解】 解： ， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． ∴原方程无解 19. 下面是嘉琪同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第一步的依据是________（填运算律）进行变形的； ②第三步进行分式的约分，约分的依据是________； ③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． 【答案】任务一：①乘法分配律（或分配律）； ②分式的基本性质（或分式的分子或分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）； ③四；括号前面是“－”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； 任务二： 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，根据去括号、平方差公式化解、分式分子分母同乘除不为零的数分式不变等知识点运算即可，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质． 【详解】解：任务一： ①乘法分配律（或分配律） ②分式的基本性质（或分式的分子或分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变） ③四；括号前面是“－”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号． 任务二： 2x＋8． 20. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解不等式组，求解其整数解，得到的值，根据，舍去的情况，再化简分式后代入，即可求解． 【详解】解：解不等式，可得：； 解不等式，可得：， ∴不等式组的解集为， ∵是不等式组的整数解， ∴的值可以取； 原式： ． ∵的值可以取； ∴当时，，舍去； 当时，原式：． 综上可得，原式的值为：． 21. 某超市准备购进野生木耳和人工培育木耳，已知购进一斤野生木耳比一斤人工培育木耳多15元，若用1200元购进野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，请解答下列问题： （1）求该超市购进野生木耳和人工培育木耳单价各为多少元； （2）该超市预计购进野生木耳和人工培育木耳共100斤（野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数），总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，求有哪几种购进方案； （3）在（2）的条件下，该超市野生木耳每斤售价70元，人工木耳每斤售价40元，若全部售出，则该超市获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1）购进一斤野生木耳40元，一斤人工培育木耳25元 （2）有三种方案： ①野生木耳34斤，人工培育木耳66斤； ②野生木耳35斤，人工培育木耳65斤； ③野生木耳36斤，人工培育木耳64斤 （3）最大利润为2040元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设购进一斤野生木耳元，则购进一斤人工培育木耳元，根据用1200元购进的野生木耳的数量是用500元购进的人工培育木耳数量的倍，可得关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进野生木耳斤，则购进人工培育木耳斤，根据总资金不超过3040元，人工培育木耳的数量不超过野生木耳的数量的2倍，可得关于的不等式，解不等式可得的取值范围，再根据野生木耳和人工培育木耳的数量都是整数，即可得购进方案； （3）设总利润为 元，根据题意得，根据一次函数的性质结合（2）的结论可得答案． 【小问1详解】 解：设购进一斤野生木耳元，则购进一斤人工培育木耳元， 由题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的解， 人工培育木耳的单价为元， 答： 购进一斤野生木耳 40 元， 一斤人工培育木耳 25 元； 【小问2详解】 解：设购进野生木耳斤，则购进人工培育木耳斤， 由题意，得， ， ， ， 是正整数， ， ， 有三种方案： ①野生木耳 34 斤，人工培育木耳 66 斤； ②野生木耳 35 斤，人工培育木耳 65 斤； ③野生木耳 36 斤，人工培育木耳 64 斤． 【小问3详解】 解：设总利润为 元， ， 随的增大而增大， 当时，， 答：最大利润为2040元． 22. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”． （1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①嘉嘉发现：两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数 ②洪淇发现：2024是“神秘数” 【答案】（1）是，见解析 （2）①见解析，②见解析 【解析】 【分析】（1）判断28是否可以用两个连续偶数的平方差表示即可； （2）化简，判断化简后的式子是否为4的倍数即可；令，判断k是否是整数即可． 【小问1详解】 解：假设28是“神秘数”，则， 解得，， ， 因此假设成立， 28是“神秘数”； 【小问2详解】 解：①嘉嘉的发现是真的，理由如下： ， 两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数， ②洪淇的发现是假的，理由如下： 假设2024是“神秘数”，则， 解得， k不是整数， 假设不成立， 2024不是“神秘数”． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是读懂题意，理解“神秘数”的定义． 23. 对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【小问1详解】 解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” 【小问2详解】 解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 24. 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： （1）利用配方法分解因式：． （2）求二次三项式的最小值． （3）已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查配方法及整式的加减运算，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键， （1）利用配方法先对原式，然后再，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法求出二次三项式的最小值即可； （3）将两式作差，通过跟0进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 当时，二次三项式的最小值为； 【小问3详解】 ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$