精品解析：山东省枣庄市滕州市育才中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市育才中学八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A、∵m＞n，∴，故本选项不合题意； B、∵m＞n，∴，故本选项不合题意； C、∵m＞n，∴，故本选项不合题意； D、∵m＞n，∴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 2. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的性质解一元一次不等式，并在数轴上表示即可． 【详解】解：， ∴， 把解集在数轴上表示如图： 故选：D． 3. 如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（　　） A. 68° B. 32° C. 22° D. 16° 【答案】B 【解析】 【详解】因为CD=CE，所以∠D=∠DEC=74°，所以∠C=32°，因为AB∥CD，所以∠B=∠C=32°． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理；平行线的性质． 4. 定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k. 【详解】解：当腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 5. 如图是乌兰察布市某公园一段索道的示意图，已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到B点过程中，上升的高度（的长）为( ) A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 30米 【答案】B 【解析】 【分析】本题含的直角三角形，根据含的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半进行求解是解决问题的关键． 【详解】解：中，，米， ∴米， 故选B． 6. 如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接．若，则的周长为（　　） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，是线段的垂直平分线，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 7. 如图所示，在中，，平分，交于点D，，，DE⊥AB，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的和差即可求得DC，再根据角平分线的性质即可得出DE=DC． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，平分，DE⊥AB， ∴DE=DC=6cm． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质．角平分线上的点到角两边距离相等． 8. 下列说法，正确的是（ ） A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于 【答案】C 【解析】 【分析】逐一进行判断即可． 【详解】A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故该选项错误； B. “若，则”的逆命题为“若，则”为是假命题，故该选项错误； C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，故该选项正确； D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故该选项错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查真假命题，掌握垂直平分线的性质，逆命题，角平分线的判定和反证法是关键． 9. 学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．学校要求完成全部任务的时间不超过小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“学校要求完成全部任务的时间不超过小时”，列出不等式，即可． 【详解】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地， 由题意得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查不等式的实际应用，准确找出不等量关系，是解题的关键． 10. 如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．根据题意可得解不等式组的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴点， 根据题意得：与交点为， 解不等式组的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分， 又， 此时自变量x的取值范围是． 即不等式组的解集为：． 故选：B． 二、填空题（大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于x的不等式的解集是，则a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出不等式的解集为，再根据已知中的解集，得到，即可求出a的值． 【详解】解：， ， ， 不等式的解集是， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查是解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 12. 如图，在中，,，的垂直平分线与交于点，与交于点，连接.若，则的长为____________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD=12cm， ∴∠A=∠ABD=15°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°， ∴在Rt△BCD中，BC=BD=×12=6． 故答案为6． 【点睛】本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质． 13. 已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解．先解方程组得到，，相加可得到，所以，然后解不等式得到的取值范围． 【详解】解：， 得， 将代入②，得， 解得， ∴ ， ， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 14. 如图，在数轴上点M、N分别表示数2、，则x的取值范围是 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据数轴得到不等式是解题的关键． 根据数轴得到关于x的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：由题意可知， 解得， 故答案：． 15. 有一个内角为的三角形腰长为4，则它的底边长为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，进而根据含30度角的直角三角形的性质求出，．利用勾股定理求出．然后利用等腰三角形三线合一性质求解即可． 【详解】解：由题意可知只能为三角形的顶角，如图是符合题意的等腰三角形， ∵， ∴， 过点A作， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，根据题意画出图形是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．先求出直线解析式，再根据题意分别求出，，，……的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标，即可得到答案． 【详解】解：平面直角坐标系中的直线过点，， 函数表达式为． ，，，，……都是等腰直角三角形，且， ∴的纵坐标为1， 的纵坐标为， 的纵坐标为， …… 的纵坐标为， 把的纵坐标为代入中， 解得， 点的坐标是． 故答案为： 三、解答题（本题8小题，共72分） 17. 解不等式组并写出满足条件的整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解为、0． 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集以及不等式组的整数解．首先求出不等式组的解，然后可以得到该不等式组的整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为、0． 18. 小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． （1）猜想此时与的位置关系，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）与的位置关系为，理由见解析； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理； （1）证明即可得到答案； （2）根据勾股定理求出，再加减线段即可得到答案； 【小问1详解】 解：猜想此时与的位置关系为：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，（）， ∴． 19. 在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元． （1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价． （2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？ 【答案】（1）“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元 （2）有3种制作方案：①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”；②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”；③制作50个“冰墩墩”，50个“雪容融” 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用： （1）设“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元，根据购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元，列出方程组求解即可； （2）设购买个“冰墩墩”，则购买个“雪容融”，根据总成本不超过5000元，利润不低于2480元，列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元． 【小问2详解】 解：设制作m个“冰墩墩”，则制作个“雪容融”， 依题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的值为48、49、50， ∴有3种制作方案： ①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”； ②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”； ③制作50个“冰墩墩”，50个“雪容融”． 20. 如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：△EGB≌△EFC； （2）若AB=3，AC=5，求AF的长． 【答案】（1）见解析 （2）AF的长为1 【解析】 【分析】（1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC； （2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求． 【小问1详解】 解：∵EG⊥AD，EF⊥AC， ∴∠EGB=90°=∠EFC， ∴△EGB和△EFC是直角三角形， ∵AE平分∠CAD， ∴∠EAG=∠EAF， ∵EA=EA， ∴△AGE≌△AFE， ∴EG=EF， ∵EB=EC， ∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)， 得证； 【小问2详解】 解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE， ∴BG=FC，AG=AF， ∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG， ∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5， ∵AB=3， ∴2AF+3=5， ∴AF=1， 即AF的长为1． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本题的关键． 21. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克． （1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式； （2）小明选择哪家快递公司更省钱？ 【答案】（1），；（2）当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x＝4或x＝时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱 【解析】 【分析】（1）根据“甲公司的费用＝起步价＋超出重量×续重单价”可得出y甲关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用＝快件重量×单价＋包装费用”即可得出y乙关于x的函数关系式； （2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲＝y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意知： 当0＜x≤1时，y甲＝22x； 当1＜x时，y甲＝22＋15（x﹣1）＝15x＋7，y乙＝16x＋3； ∴，； （2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x＋3，解得：0＜x＜； 令y甲＝y乙，即22x＝16x＋3，解得：x＝； 令y甲＞y乙，即22x＞16x＋3，解得：＜x≤1. ②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x＋7＜16x＋3，解得：x＞4； 令y甲＝y乙，即15x＋7＝16x＋3，解得：x＝4； 令y甲＞y乙，即15x＋7＞16x＋3，解得：0＜x＜4 综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x＝4或x＝时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱． 22. 如图，在中，，垂直平分，垂足为O，，且． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，平行线的性质、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、平行线的性质得到，得到，于是得到结论； （2）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 连接， ∵垂直平分， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 在中，，即， 解得，， ∴． 23. 如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）． （1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度； （2）当t为多少时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形？ 【答案】（1）PQ=5；（2）t=6 或16﹣ 时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，和运动时间t为6秒，在图中分别画出点P、Q的位置，然后再利用勾股定理即可求出PQ的长度； （2）设时间为t，则在t秒钟，P运动了t格，Q运动了t格，由题意得，分PQ=BQ与PQ=BP两种情况进行讨论分析即可求得答案. 【详解】（1）如图所示，PQ即为运动6秒后的线段， 由勾股定理得PQ==5； （2）设时间为t，则在t秒钟，P运动了t格，Q运动了t格，由题意得， 当PQ=BQ时， 即（t﹣t）2+42=（8﹣t）2， 解得t=6（秒）． 当PQ=BP时， （4﹣t）2+42=（8﹣t）2， 解得：t=16﹣， ∴综上，t=6 或16﹣时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理以及分类讨论思想是解题的关键. 24. 对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． （1）求a、b的值； （2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可； 先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组， 求出解集即可； 【小问1详解】 ， 解得: ； 【小问2详解】 ∵， ∴, , 即 ， 解得： ， ∵关于x的不等式组 有且只有一个整数解， ， 解得: , 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年山东省枣庄市滕州市育才中学八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（　　） A 68° B. 32° C. 22° D. 16° 4. 定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图是乌兰察布市某公园一段索道的示意图，已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到B点过程中，上升的高度（的长）为( ) A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 30米 6. 如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接．若，则的周长为（　　） A. 8 B. C. D. 7. 如图所示，在中，，平分，交于点D，，，DE⊥AB，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法，正确的是（ ） A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于 9. 学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．学校要求完成全部任务的时间不超过小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则满足的不等关系为（ ） A. B. C D. 10. 如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于x不等式的解集是，则a的值为______． 12. 如图，在中，,，的垂直平分线与交于点，与交于点，连接.若，则的长为____________. 13. 已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是______． 14. 如图，在数轴上点M、N分别表示数2、，则x的取值范围是 __________ 15. 有一个内角为三角形腰长为4，则它的底边长为_____________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是_____________． 三、解答题（本题8小题，共72分） 17. 解不等式组并写出满足条件的整数解． 18. 小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． （1）猜想此时与的位置关系，并说明理由； （2）求的长． 19. 在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元． （1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价． （2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？ 20. 如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：△EGB≌△EFC； （2）若AB=3，AC=5，求AF的长． 21. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克． （1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式； （2）小明选择哪家快递公司更省钱？ 22. 如图，在中，，垂直平分，垂足为O，，且． （1）求证：； （2）求的长． 23. 如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）． （1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度； （2）当t为多少时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形？ 24. 对m、n定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． （1）求a、b的值； （2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$