精品解析：陕西省洛南中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

陕西省洛南中学 2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因，所以． 故选：C 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，结合复数概念即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以的虚部为， 故选：B 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为，且，若的周长为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件用正弦定理角化边，再使用周长条件，即可解出. 【详解】在已知条件中用正弦定理将角化边得到. 而的周长为3，故. 所以，得. 故选：A. 4. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】 如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中 所以原图形的面积为. 故选：D. 5. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式两边平方可求得，利用投影向量的定义可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以，所以， 解得或（舍去）， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可求解. 【详解】由，可得，即，解得， 所以. 故选：A. 7. 如图，圆锥的高，侧面积，，是底面圆上的两个动点，则面积的最大值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为,由侧面展开图面积，再作出圆锥的轴截面，由时，面积最大求解. 【详解】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为， 所以，解得， 作出圆锥的轴截面，如图所示： 则 ， 因为底面圆周上有两动点，，当时，则面积的最大， 最大值为. 故选：B. 8. 已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，分析可知的图象关于点对称，了正弦型函数的对称性结合的取值范围可得出的值. 【详解】设函数的最小正周期为，则，则，， 由，得的图象关于点对称， 则，得，因为，所以． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为－5 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为60° 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量运算的坐标表示方法，解答各选项问题，判断选项结果正误. 【详解】若，则，可得解得，所以A错误. 若,则,解得,,所以B正确. 当时,,则,所以C正确. 若，则,可知,所以D错误. 故选:BC. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 为函数的一个对称中心点 C. 在上单调递减 D. 可将函数向右平移个单位得到函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象可求出、、的值，可得的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案. 【详解】由题可得得，，，则，故A正确； 又，所以，又， 所以，所以， 对于B，当时，，所以函数图象关于点对称，故B正确； 对于C，由，可得， 令，可得，所以不是函数一个递减区间，故C错误； 对于D，将函数向右平移个单位得到，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，内角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定是等腰三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解，根据正弦定理边角互化，结合二倍角公式即可求解B,根据正弦定理即可求解C，根据余弦定理以及不等式求解最值，即可根据面积公式求解D. 【详解】对于A, 得，故，A正确， 对于B,由可得,故，, 因此或，故或， 故三角形等腰三角形或者直角三角形，B错误， 对于C，由于，故，故有两解，故C正确， 对于D由可得, 故，，故，进而， 所以，当且仅当时取到等号， 故，故面积的最大值为，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12 若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式计算即得. 【详解】由，得， 显然，否则，矛盾， 所以. 故答案为：3 13. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据台体的结构特征结合台体的体积公式运算求解. 【详解】如图，过A1作下底面的投影，垂足为M， 上底面对角线长，下底面对角线长，则， 可得正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 故答案为：. 14. 如图，在矩形中，，E，F分别是矩形的边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为________. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用含的式子表示出的坐标，从而的最大值可转化为关于的二次函数在闭区间上的最大值问题. 【详解】以A为原点，AB，AD分别为x，y轴，建立直角坐标系， 则，，，， 设，， ∴，，，， ∴， 当时，最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，点在直线上，延长与相交于点，且，.以为轴，平行四边形的四条边旋转一周形成的面围成一个几何体. （1）写出这个几何体的结构特征； （2）求该几何体的体积； （3）求该几何体的表面积. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面图形旋转得出圆台挖去圆锥即可； （2）应用圆台及圆锥的体积公式计算求解； （3）应用圆台及圆锥的表面积公式计算求解. 小问1详解】 这个几何体的结构特征是一个上底半径为2，下底半径为4，高为2的圆台内挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥. 【小问2详解】 该几何体的体积为； 【小问3详解】 由题意得， 则该几何体的表面积为：. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且. （1）求； （2）若，，求边上的中线的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，再利用正弦定理求解； （2）由，两边平方求解. 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 因为，所以，则， 得，又，所以. 【小问2详解】 由题意得，则， 两边平方得， 所以， 所以. 17. 如图，在四边形中，，，设，． （1）用，表示，； （2）若与相交于点，，，，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形法则即可求解； （2）由向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 由图可知得夹角即为， ， ， 所以. 18. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象. （1）求的解析式及单调递增区间； （2）求在上的值域； （3）求函数在上的零点之和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由两角和的正弦和二倍角的正弦对化简，然后由图象平移的性质得到，再整体代入求解单调区间可得； （2）由正弦函数的单调性可得； （3）先由诱导公式和三角恒等变化对化简，再由正弦函数的取值可得. 【小问1详解】 因为， 又因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 所以， 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得. 由正弦函数性质可知，， 故在的值域为. 【小问3详解】 ， 由，得，得或， 即或， 因为，所以或或或， 故在上的零点之和为. 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）若向量，满足，，求证：； （3）已知向量，，，求的最小值． 【答案】（1）3； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出夹角余弦，再利用新定义求解. （2）利用向量的夹角公式及新定义推理得证. （3）利用（2）的结论，结合基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，，，得， 解得，，， 所以. 【小问2详解】 由，得， 则， ， 所以. 【小问3详解】 由（2）得，而，， 于是，， ，当且仅当，即时取等号； 所以的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省洛南中学 2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为，且，若的周长为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆锥的高，侧面积，，是底面圆上的两个动点，则面积的最大值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 8. 已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为－5 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为60° 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 为函数的一个对称中心点 C. 在上单调递减 D. 可将函数向右平移个单位得到函数 11. 在中，内角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则一定等腰三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若，，则面积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，则__________. 13. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______. 14. 如图，在矩形中，，E，F分别是矩形的边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，点在直线上，延长与相交于点，且，.以为轴，平行四边形的四条边旋转一周形成的面围成一个几何体. （1）写出这个几何体的结构特征； （2）求该几何体的体积； （3）求该几何体表面积. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且. （1）求； （2）若，，求边上的中线的长. 17. 如图，四边形中，，，设，． （1）用，表示，； （2）若与相交于点，，，，求． 18. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象. （1）求的解析式及单调递增区间； （2）求在上的值域； （3）求函数在上的零点之和. 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）若向量，满足，，求证：； （3）已知向量，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $