4.1 因式分解 教学设计 -2024-2025学年北师大版数学八年级下册

因式分解（教学设计）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册 教学设计 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过情境导入，引导学生观察现实生活中的数学问题，理解因式分解在实际应用中的意义。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过合作探究，培养学生运用因式分解与整式乘法之间的关系，解决实际问题的能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过板书设计和课堂讨论，帮助学生准确表达因式分解的概念及其与整式乘法的关系。 教学重难点 （1）理解因式分解的概念，能够识别并判断一个多项式是否进行了因式分解。 （2）掌握因式分解与整式乘法之间的互逆关系，并能够在实际问题中运用这一关系进行因式分解。 教学难点 （1）因式分解概念的理解与应用，特别是如何区分因式分解与整式乘法的不同。 （2）在理解因式分解与整式乘法关系的基础上，能够正确地将多项式分解为几个整式的积的形式。 教学方法 讲授法、探究法 教学过程 一、情境导入 教师展示问题情境：某中学决定购买 m 台电脑和 m 套桌椅。已知每台电脑的单价是 a 元，每套桌椅的价格是 b 元。小明说：“总共需要 (ma＋mb) 元。” 而小华说：“总共需要 m (a＋b) 元。” 同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？（教师可以利用实物或图片来引入这个问题，帮助学生更好地理解情境） (生：他们的结果是一样的，都是 ma + mb。) (教师引导学生思考并总结：虽然两种方法都能得出正确答案，但小华的方法更为简洁。今天我们将学习这种更简捷的方法 ——因式分解。) 二、合作探究 探究点一：因式分解的概念 1. 引入概念 教师提出问题：什么是因式分解？它有怎样的定义？ (生：因式分解就是把一个多项式转化成几个整式的积的形式。) 教师进一步解释：确实如此，因式分解就是将一个多项式表示成几个整式的乘积形式。我们可以通过一些例子来具体理解。 2. 通过例题深化理解 【例题】下列从左到右的变形中是因式分解的有 (　　) ①x²－y²－1＝(x＋y)(x－y)－1； ②x³＋x＝x (x²＋1)； ③(x－y)²＝x²－2xy＋y²； ④x²－9y²＝(x＋3y)(x－3y)． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 (生：选 B。) 教师分析每个选项： ①没有将一个多项式转化为几个整式的积的形式，所以①不是因式分解； ②将一个多项式转化为几个整式的积的形式，所以②是因式分解； ③是整式的乘法，因此③不是因式分解； ④将一个多项式转化为几个整式的积的形式，所以④是因式分解； (生：原来因式分解和整式乘法是相反方向的变形，互为逆运算。) 教师总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算。因式分解是把一个多项式表示成几个整式的乘积形式，而整式乘法则是将这些整式的乘积形式展开成一个多项式。 探究点二：因式分解与整式乘法的关系及简单应用 1. 解决实际问题 教师提出问题：已知三次四项式 2x³－5x²－6x＋k 分解因式后有一个因式是 x－3，试求 k 的值及另一个因式。 (生：设另一个因式为 2x²－mx－n，然后将两因式的乘积展开并与原多项式进行比较，从而求出 k 的值。) 教师引导学生解决问题： 设另一个因式为 2x²－mx－n。 ∴ (x－3)(2x²－mx－n) = 2x³－5x²－6x＋k。 展开后的表达式为：2x³－mx²－nx－6x²＋3mx＋3n = 2x³－5x²－6x＋k。 整理得：2x³－(m＋6) x²－(n－3m) x＋3n = 2x³－5x²－6x＋k。 比较系数得：m＋6 = 5，n－3m = 6，k = 3n。 解得：m = －1，n = 3，k = 9。 ∴ 另一个因式为 2x²＋x－3。 (生：我们可以通过对比整式乘法的结果验证我们的答案。) 教师总结：因为整式的乘法和因式分解互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式。 三、巩固练习 1. 分解因式练习 教师布置练习题： 分解因式：x³－4x。 已知二次三项式 x²－5x＋6 分解因式后有一个因式是 x－2，试求另一个因式。 学生独立完成，教师巡视指导，并选择部分学生上台展示解答过程。 (生：第一个问题的答案是 x (x²－4)，第二个问题的答案是 x－3。) 四、课堂小结 教师带领学生回顾本节课的主要内容： 因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式的积的形式。 因式分解与整式乘法的关系：因式分解是整式乘法的逆运算。 通过具体的例子和练习，加深了对因式分解的理解和应用。 (生：这节课我学会了如何进行因式分解，并且明白了因式分解与整式乘法的关系。) 教师鼓励学生课后继续练习，巩固所学知识。 学科网（北京）股份有限公司 $$