精品解析：安徽省阜阳市临泉县 2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

2025年中考模拟考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可． 【详解】解： 故选D． 【点睛】本题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． 2. 据国家邮政局统计，2024年我国快递业务总件数超过0.17万亿件，同比增长．将数据0.17万亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：0.17万亿． 故选：C． 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两个部分，上部分是一个圆，下部分是一个长方形，正中间有一条竖直的实线，即看到的图形如下： 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式，单项式乘以单项式，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图是某型号支架的示意图，可以绕点上下转动，，，，则当时，需向上转动（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，过O点作，得到，从而求得的度数，即可得到结果． 【详解】解：如图，过O点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴可以绕点O上下转动到与平行时，需向上转动， 故选：C． 6. 如图，正五边形和等边三角形的一条边重叠，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边三角形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，根据正多边形内角和定理得到，由等边三角形的性质得到，则可得到，据此根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 已知，则的值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式系数和问题，令代入计算即可． 【详解】解：令， ∴， ∴， 故选：A． 8. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为6，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，则，从而可得是等边三角形，求出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，则， ， ∴是等边三角形， ∴， 作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 已知二次函数的图象过点，，若始终存在，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数开口方向向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的所对应的数越小，再结合，则，解得或，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口方向向上，对称轴为直线， 即越靠近对称轴的所对应的数越小， ∵二次函数的图象过点，，且， ∴， 即， 则或， 解得或， 故选：B 10. 如图，、均为等腰直角三角形，，与交于点，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形性质，四点共圆，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，可证明得到，，则可证明为等边三角形，得到，，再证明，四点共圆，可得；证明，得到；设，，则，，由勾股定理得，解得，则． 【详解】解：∵、均为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 又， ，A项正确； ∴为等边三角形， ∴，， ． ， ，四点共圆， ，B项正确； ，， ， ， ，C项正确； 设，，则，， 由勾股定理得， ，解得， ，D项错误， 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 甲、乙两名同学近5次中考数学模拟考试成绩的平均数相同，方差如下：，，则甲、乙两位同学5次模考成绩更稳定的是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲、乙两位同学5次模考成绩更稳定的是甲， 故答案为：甲． 12. 若一元二次方程的两根之差为3，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设一元二次方程的两根为，，由题意可得到，，，求出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， 由题意可得：，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将直角沿射线折叠，使得点落在斜边上的点处，，，与折痕交于点，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据折叠性质得，，运用勾股定理算出，再证明，把数值代入，得，运用勾股定理算出，最后由等面积法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，将直角沿射线折叠，使得点落在斜边上的点处，，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴， 则， 即， ∴， 故答案为：． 14. 二次函数，当和时，的值相等． （1）______；（用含有的式子表示） （2）无论为何值，二次函数与交于点，当时，总存在随的增大而减小，则代数式的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由当和时，的值相等，可得对称轴为，再由一般式对称轴公式即可得到，再化简即可； （2）根据相交得到，先求出，而总存在随的增大而减小，得到，那么，再由，即可求解最值． 【详解】解：（1）由题意可知， 解得； （2）令， 可得， 若和无关，则， 此时，即点的坐标为． 当时，总存在随的增大而减小， ，解得， 而， 故当时，代数式有最小值3， 故答案为：，3． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先根据特殊角的三角函数值、算术平方根、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，请为选择一个合适的数代入求值． 【答案】，取，原式 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、分式加减乘除混合运算、代数式求值等知识，先由分式混合运算法则化简得到，取时，代入化简后的代数式求解即可得到答案．熟练掌握分式加减乘除混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 取时，代入可得，原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以边的中点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出； （2）和的位置关系是______，仅用无刻度的直尺在上寻找一点，使得． 【答案】（1）图见解析 （2）垂直，图见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，画旋转图形，旋转的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将点分别绕点按逆时针方向旋转，得到点，再顺次连接即可得到； （2）由旋转可得，那么，故，此时，而得到，则，那么，故． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，即为所求， 由旋转可得，那么，故，此时，而得到，则，那么，故． 故答案为：垂直． 18. 在数学综合实践活动中，同学们准备测量学校旗杆的高度．如图，甲、乙两同学分别站在处和处，和为测角仪，两测角仪高度分别为，，甲同学在处测得旗杆的仰角为；乙同学在处测得旗杆的仰角为．甲、乙两同学所处位置的水平距离，求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，过点，分别作，．则四边形、均为矩形，得出，，设，求出，，，最后解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点，分别作，． ， 则， ∴四边形、均为矩形， ∴，， 设，在中，． ∵，， ， ， ， ， 解得， ． 答：旗杆的高度为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 学校信息技术小组开发了一款机器人程序，机器人位于数轴上某整点处，每次可以向左或向右移动1个单位长度，如机器人起始位置在表示5的点上，向右连续移动2次，再向左移动一次后的位置是，即表示机器人在表示6的点上． （1）若机器人从原点出发，经过4次移动后又回到原点，写出一种移动方式； （2）若机器人从表示的点出发，移动2025次后到达表示2017的点上，求第1000次移动后机器人所在的位置表示的数． 【答案】（1）见解析 （2）第1000次移动后机器人所在的位置表示的数是994或995或996 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）根据题意写出合理的移动方式即可； （2）设机器人向右移动了次，向左移动了次．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：先向右连续移动2次，再向左连续移动2次 【小问2详解】 解：设机器人向右移动了次，向左移动了次． 由题意可得， 解得：， 即在整个移动过程中，机器人有2次向左移动的机会． ①若2次向左移动发生在第1000次移动之前，则第1000次移动后机器人所在的位置表示的数为； ②若只有1次向左移动发生在第1000次移动之前，则第1000次移动后机器人所在的位置表示的数为； ③若2次向左移动发生在第1000次移动之后，则第1000次移动后机器人所在的位置表示的数为． 综上所述，第1000次移动后机器人所在的位置表示的数是994或995或996． 20. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数和正比例函数的解析式； （2）若在轴上存在一点，在反比例函数图象上存在一点，且以为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）， （2）符合条件的点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入求得，再把点A的坐标代入求出； （2）由题意可知，点的坐标为．设点的坐标为，点的坐标为，分是平行四边形的边和是平行四边形的对角线，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将的坐标代入，得， 正比例函数的解析式为； 将的坐标代入，得， 反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 解：由题意可知，点的坐标为．设点的坐标为，点的坐标为． 若为平行四边形的边， 当四边形为平行四边形时，可得， 解得， 点的坐标为； 当四边形为平行四边形时，可得， 解得， 点的坐标为； 若为平行四边形对角线， 可得，无解，故不存在以为平行四边形对角线的情况； 综上所述，符合条件的点的坐标为或 【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数和平行四边形的性质，熟练利用待定系数法求反比例函数的解析式、利用平行四边形的性质以及分类讨论思想求解是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 为落实“双减”政策，某校随机调查了九年级部分同学，并做了如下表的调查报告（不完整）： 调查方式 随机问卷调查 调查内容 （1）你平均每晚做完作业所用的时间（单位：小时）是（ ） ① ② ③ ④ ⑤2.5以上 （2）哪一科作业花费时间最多（单选）（ ） A．语文 B．数学 C．英语 D．物理化学 E．道法历史 调查结果： 其中作业时间为2.5小时以上所对应的扇形圆心角的度数为． 结合调查信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的学生人数为______；在扇形统计图中，作业时间为小时所对应的扇形圆心角的度数为______； （2）补全条形统计图； （3）教育部规定，初中作业时长不超过90分钟，从样本数据的中位数角度分析，该校作业量是否合理？并提出一条合理的建议； （4）随机抽选两位同学的第二项调查结果，请用列表法或画树状图法，求两人恰好选到“数学或物理化学”的概率． 【答案】（1）100； （2）图见解析 （3）不合理，建议见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由作业时间为2.5小时以上得学生人数除以所占比例即可得出参与本次问卷调查的学生人数；用乘以作业时间为小时学生人数所占比例即可得出作业时间为小时所对应的扇形圆心角的度数； （2）先求出作业时间为小时的人数，再补全条形统计图即可； （3）根据中位数解答即可； （4）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：参与本次问卷调查的学生人数为（人）， 在扇形统计图中，作业时间为小时所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：作业时间为小时的人数为（人）， 补全的条形统计图如下： 九年级学生作业时间条形统计图 【小问3详解】 解：共100人，中位数落在小时之间，也就是说大部分学生的作业时间已经超过教育部规定的90分钟，建议学校减少作业量． 【小问4详解】 解：列表如下： 一 二 A B C D E A AA BA CA DA EA B AB BB CB DB EB C AC BC CC DC EC D AD BD CD DD ED E AE BE CE DE EE 共有25种等可能的情况，其中（）四种情况符合题意． 设两人恰好选到“数学或物理化学”的事件为，则． 七、（本题满分12分） 22. 某专卖店准备代销进价为10元／瓶的牛奶，根据品牌方要求，销售价不低于进价，且不高于进价的2倍．试销期间的数据显示：若以进价出售，日销量为60瓶，当价格每提升1元时，日销量则下降2瓶． （1）直接写出日销量与单价的函数解析式； （2）牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）为培养客户习惯，该店购入价值不等的四种小礼品，每日随机选一款随牛奶赠送给顾客，每瓶牛奶赠送一件．若该款牛奶日最大利润在160元～280元之间浮动（包括160元和280元），求赠送小礼品成本的取值范围． 【答案】（1） （2）当牛奶单价为20元／瓶时，所获日销售利润最大，最大利润是400元 （3）取值范围为3元~6元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用、一元一次不等式和不等式组的应用、一次函数的应用等知识，准确列出函数解析式是关键． （1）若以进价出售，日销量为60瓶，当价格每提升1元时，日销量则下降2瓶．据此列出函数解析式即可； （2）设利润为，列出二次函数解析式，根据二次函数性质进行解答即可； （3）设小礼品成本为元，利润为元．得到的二次函数解析式，根据二次函数的性质得到当时，日销售利润最大，此时．由题意可知，，即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得，，其中， 即． 【小问2详解】 设利润为，则， 当时，随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值是400． 既当牛奶单价为20元／瓶时，所获日销售利润最大，最大利润400元 【小问3详解】 设小礼品成本为元，利润为元． 由题意可知，． 对称轴为直线，且， 故当时，随的增大而增大， 故当时，日销售利润最大，此时． 由题意可知，， 解得 八、（本题满分14分） 23. 【教材回顾】 （1）如图1，在正方形中，，分别为边，上的点，且，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在中，，，，分别为，上的点，且，交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在正方形中，对角线与交于点，，分别为边，上的动点，且，连接，，若的最小值为，求正方形的边长． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）正方形的边长为2 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，即可得出结论； （2）过点作，垂足为，连接．证明得出，证明得出，再证明，即可得解； （3）连接．证明得出，即可推出，作点关于的对称点，连接，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作，垂足为，连接． ， ． 又， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ． ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ． （3）解：如图，连接． ，，， ， ，． 作点关于的对称点，连接， 当点落在与的交点处时，最小， 设正方形的边长为，则， 解得， 故正方形的边长为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟考试九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5 2. 据国家邮政局统计，2024年我国快递业务总件数超过0.17万亿件，同比增长．将数据0.17万亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某型号支架的示意图，可以绕点上下转动，，，，则当时，需向上转动（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形和等边三角形一条边重叠，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值是（ ） A. B. 0 C. D. 8. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为6，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数图象过点，，若始终存在，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 如图，、均为等腰直角三角形，，与交于点，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 甲、乙两名同学近5次中考数学模拟考试成绩的平均数相同，方差如下：，，则甲、乙两位同学5次模考成绩更稳定的是______（填“甲”或“乙”）． 12. 若一元二次方程两根之差为3，则的值为______． 13. 如图，在中，，将直角沿射线折叠，使得点落在斜边上的点处，，，与折痕交于点，则的长为______． 14. 二次函数，当和时，的值相等． （1）______；（用含有的式子表示） （2）无论为何值，二次函数与交于点，当时，总存在随的增大而减小，则代数式的最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，请为选择一个合适的数代入求值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以边的中点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出； （2）和的位置关系是______，仅用无刻度的直尺在上寻找一点，使得． 18. 在数学综合实践活动中，同学们准备测量学校旗杆的高度．如图，甲、乙两同学分别站在处和处，和为测角仪，两测角仪高度分别为，，甲同学在处测得旗杆的仰角为；乙同学在处测得旗杆的仰角为．甲、乙两同学所处位置的水平距离，求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 学校信息技术小组开发了一款机器人程序，机器人位于数轴上某整点处，每次可以向左或向右移动1个单位长度，如机器人起始位置在表示5的点上，向右连续移动2次，再向左移动一次后的位置是，即表示机器人在表示6的点上． （1）若机器人从原点出发，经过4次移动后又回到原点，写出一种移动方式； （2）若机器人从表示的点出发，移动2025次后到达表示2017的点上，求第1000次移动后机器人所在的位置表示的数． 20. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数和正比例函数的解析式； （2）若在轴上存在一点，在反比例函数图象上存在一点，且以为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 六、（本题满分12分） 21. 为落实“双减”政策，某校随机调查了九年级部分同学，并做了如下表的调查报告（不完整）： 调查方式 随机问卷调查 调查内容 （1）你平均每晚做完作业所用的时间（单位：小时）是（ ） ① ② ③ ④ ⑤2.5以上 （2）哪一科作业花费时间最多（单选）（ ） A．语文 B．数学 C．英语 D．物理化学 E．道法历史 调查结果： 其中作业时间为2.5小时以上所对应的扇形圆心角的度数为． 结合调查信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的学生人数为______；在扇形统计图中，作业时间为小时所对应的扇形圆心角的度数为______； （2）补全条形统计图； （3）教育部规定，初中作业时长不超过90分钟，从样本数据的中位数角度分析，该校作业量是否合理？并提出一条合理的建议； （4）随机抽选两位同学的第二项调查结果，请用列表法或画树状图法，求两人恰好选到“数学或物理化学”的概率． 七、（本题满分12分） 22. 某专卖店准备代销进价为10元／瓶的牛奶，根据品牌方要求，销售价不低于进价，且不高于进价的2倍．试销期间的数据显示：若以进价出售，日销量为60瓶，当价格每提升1元时，日销量则下降2瓶． （1）直接写出日销量与单价的函数解析式； （2）牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润多少？ （3）为培养客户习惯，该店购入价值不等的四种小礼品，每日随机选一款随牛奶赠送给顾客，每瓶牛奶赠送一件．若该款牛奶日最大利润在160元～280元之间浮动（包括160元和280元），求赠送小礼品成本的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 【教材回顾】 （1）如图1，在正方形中，，分别为边，上的点，且，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在中，，，，分别为，上的点，且，交于点，求证：； 拓展提升】 （3）如图3，在正方形中，对角线与交于点，，分别为边，上的动点，且，连接，，若的最小值为，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $