精品解析：重庆市大足中学多校联考2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

重庆市高一数学考试 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算即可求解. 【详解】由， 故选：B. 2. 已知函数，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 的定义域是 C. 是的一个周期 D. 的图象关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】A选项将和代入函数中即可判断；B选项利用正切函数的定义域可求解；C选项利用周期的定义进行判断；D选项借助函数的图象进行判断即可. 【详解】 对于A选项，，， ，故A正确； 对于B选项，要使有意义，则有， 的定义域是，故B正确； 对于C选项，， 是的一个周期，故C正确； 对于D选项，如图的图象不关于点对称，故D错误. 故选：D. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出直角梯形的面积，然后根据原平面图形的面积与直观图的面积之间的关系求出结果. 【详解】根据题意，该图形的直观图是直角梯形， 则其面积， 那么该平面图形的面积为. 故选：D. 4. 在中，点D，N分别满足，，若，，，则有序实数对为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量及向量的加减运算，再结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】由，，，， 则，， 所以有， 又因为，所以， 故选：B . 5. 若是关于x的方程的虚数根，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根是共轭虚数，再利用韦达定理即可求解. 【详解】由实系数一元二次方程的两个虚根是共轭虚数， 所以可知和是方程的两个根， 根据韦达定理可得：， ， 故选：B. 6. 如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（ ） A. 640元 B. 512元 C. 390元 D. 347.5元 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出侧面的高，然后求出侧面的面积，然后求出该四棱台的总的表面积，进而可求出该零部件的防腐处理费用. 【详解】因为正四棱台中，，高为8cm， 则侧面的斜高为. 所以. 所以该四棱台的表面积为， 又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元， 所以该部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 7. 如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 8. 已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程求出三个连续交点，通过数形结合可知只需要满足，从而可求出. 【详解】先由与相交可得方程：， 整理得， 即， 不妨取，可得三个交点的横坐标分别为 把它们代入可得这三个交点的纵坐标分别为， 如图可得：要满足它们三个交点构成一个直角三角形， 则只需要，即， 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AB 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标公式：来进行检验并可作出共线判断，再根据基底一定是不共线向量可以作出选择. 【详解】由于，所以与不共线，故A正确； 由于，所以与不共线，故B正确； 由于，所以与共线，故C错误； 由于，所以与共线，故D错误； 故选：AB. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. 满足条件的有两个 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D. 的最大值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理以及余弦定理可判断A选项的正误；利用正弦定理求角判断B选项；利用正弦定理边化角得，再进行三角恒等变换求范围判断C选项；由，利用基本不等式得，再根据数量积运算判断D. 【详解】因为， 即， 由正弦定理可得， 可得， 由余弦定理可得， 因为，故，A选项正确； 由于，，， 根据正弦定理， 则，因为，故，所以只有唯一解，B选项错误； 由正弦定理，， 所以， 因为为锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 则的取值范围为， C正确； 由，，所以， 根据基本不等式得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为2，为棱的中点，则（ ） A. 二面角的大小为 B. 直线与底面所成的角的大小为，则 C. 过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 D. 以为球心，为半径的球面与侧面的交线的长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据勾股定理可得垂直关系，即可根据二面角的定义得为所求，利用三角形边角关系即可判断A，根据线面角的几何法可得为所求，由三角形边角关系即可求解B,由截面图形为正六边形，即可求解C，根据球的截面性质可得为所求轨迹，即可根据弧长公式求解D. 【详解】根据题意画出图形，如图所示.对于选项A， 因为正方体的棱长为2， 所以根据勾股定理，，， 所以，而， 所以，所以，又， 所以二面角的平面角为， 在直角三角形中，， 所以，所以不等于30°，A错误. 对于选项B，分别取的中点，连接，如图所示. 则根据题意可知平面平面， 所以直线与底面所成的夹角即是直线与平面所成的夹角， 因为平面，所以直线与底面所成的夹角是. 因为，，所以. 所以，B正确. 对于选项C，取中点分别为，连接.故六边形为所得截面. 可以证明平面. 证明：因为，，，平面, 所以平面，又平面，所以， 又，所以. 同理可证，又为相交直线，所以平面. 平面多边形为正六边形，其面积为.所以C错误. 对于选项D， 因为点到平面的距离为2，过点作平面， 则为线段的中点，. 因为球的半径为，所以球面与侧面的交线轨迹为以为圆心，2为半径的圆弧（如图）. 因为,,所以,故,所以所求圆弧的圆心角为，弧长为.故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数，则____． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和模的运算即可求解. 【详解】由， 则， 故答案为：. 13. “大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高为____m． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理可求得，再由正切函数即可求解. 【详解】在中，由三角形内角和定理可得， 再由正弦定理得：， 再解直角三角形可得：， 故答案为： 14. 已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据余弦定理求出的三角函数值，然后根据正弦定理求出的外接圆半径，然后求出三棱锥外接球半径，进而根据三棱锥的外接球表面积公式可求出结果. 【详解】因为中，，， 所以根据余弦定理. 所以解得，所以. 设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为， 则根据正弦定理可得. 又，且平面， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知向量，．当λ为何值时，与垂直？ （2）已知非零向量满足，，当时，求向量与夹角θ的余弦值． 【答案】 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算，由即可求解； （2）先求，，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 所以，解得； （2）由题意有 ， 所以， 因为， 所以， 16. 已知函数，，的最小值为0． （1）求实数m的值： （2）当时，求的单调递减区间，并求成立时x的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递减区间为， 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式降次，再利用辅助角公式化简，即可求最小值； （2）利用定义域得到相位的整体范围，再去判断递减区间，以及解不等所得到的范围. 【小问1详解】 由 ， 因为，的最小值为0，所以， 【小问2详解】 当时，， 因为在区间上单调递减， 所以解不等式，得， 即当时，求的单调递减区间为， 由， 因为，所以满足不等式的条件得：， 解得. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）证明：． （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 由正弦定理及，得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以或， 所以或（舍去），所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及条件，进行边化转角，进而利用三角恒等变换即可证明； （2）利用正弦定理以及余弦定理，解得边与角，根据面积公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理可得，即，所以， 解得，又，所以， 由余弦定理可得，则， 整理可得，分解因式可得，解得或， 当时，可得的面积． 当时，，则，此时，不合题意； 综上所述：的面积为． 18. 如图，在多面体中，是平面与平面的交线，，且，，． （1）证明：； （2）证明：； （3）若，求多面体的体积． 【答案】（1） 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. （2） 连接、，如图所示： 在中，，，， 由余弦定理得， 所以，故，因为，所以， 同理可证， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 又因为，所以，四边形为平行四边形， 所以，故. （3） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用线面平行的性质可证得结论成立； （2）推导出平面，可得出，再证明出四边形为平行四边形，可得出，进而可得出； （3）利用勾股定理得出，可求出的面积，结合锥体的体积可得出，结合锥体的体积可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中，，，，所以， 所以，所以， 所以， ， 因此，多面体的体积为. 19. 已知函数图象的两相邻对称中心之间的距离是，将图象上的每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数在区间（a，且）上至少有20个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据相邻对称中心间的距离求出，然后根据图象的平移和奇函数求出，从而求出函数的解析式. （2）首先根据定义域求出函数的范围，然后用一元二次函数的性质求解不等式，从而可求得的取值范围. （3）首先求出让函数为0的的取值，然后求相邻零点间的间隔，进而可确定的最小值. 【小问1详解】 因为函数图象的两相邻对称中心之间的距离为， 所以，所以，所以， 因此函数的解析式为. 根据题意，将函数图象平移后的函数， 因为为奇函数，，所以，所以. 因此函数的解析式为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以在上恒成立. 令，则不等式变为， 根据一元二次函数，其对称轴为，要使得不等式恒成立，则 ，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 令，则，所以或者. 解得或者. 相邻两个零点的距离为或者. 所以函数在区间上至少有20个零点，19个间隔，若使最小，则 按10个和9个排列，那么此时的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市高一数学考试 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知函数，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 的定义域是 C. 是的一个周期 D. 的图象关于点对称 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点D，N分别满足，，若，，，则有序实数对为（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于x的方程的虚数根，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（ ） A. 640元 B. 512元 C. 390元 D. 347.5元 7. 如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. 满足条件的有两个 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D. 的最大值为6 11. 已知正方体的棱长为2，为棱的中点，则（ ） A. 二面角的大小为 B. 直线与底面所成的角的大小为，则 C. 过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 D. 以为球心，为半径的球面与侧面的交线的长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数，则____． 13. “大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高为____m． 14. 已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知向量，．当λ为何值时，与垂直？ （2）已知非零向量满足，，当时，求向量与夹角θ的余弦值． 16. 已知函数，，的最小值为0． （1）求实数m的值： （2）当时，求的单调递减区间，并求成立时x的取值范围． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）证明：． （2）若，，求的面积． 18. 如图，在多面体中，是平面与平面的交线，，且，，． （1）证明：； （2）证明：； （3）若，求多面体的体积． 19. 已知函数图象的两相邻对称中心之间的距离是，将图象上的每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数在区间（a，且）上至少有20个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $