2025年湖南省初中学业水平考试数学试卷（三）

2025年湖南省初中学业水平考试数学试卷（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列选项中具有相反意义的量是（    ） A．支出300元和收入300元 B.向南走3米和向东走3米 C．身高增加9厘米和体重减少7千克 D.气温上升5℃和零下5℃ 2. 下列图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 4月9日，据猫眼专业版数据，《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破156亿元，成为首部冲进全球影史票房榜前五的亚洲电影。将数据15600000000用科学记数法表示应为　　 A．0.156×1011 B．156×108 C．1.56×1010 D．15.6×109 4. 下图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是（    ） 主视图 A． B． C． D． 5. 下列计算正确的是（   ） A. a3+(-a)2＝a5 B. a3÷(-a)2＝-a C. a2 （-a3）=-a6 D. [（-a）2]3＝a6 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. -64的立方根是-4 B. 六边形的外角和为 D. 等边三角形是中心对称图形 7. 下列说法中正确的是（ ） A．为了解某市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式 B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是红桃A”是必然事件 C．数据3，5，7，7，9的中位数是7，平均数是6.2 D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 8. 如图，AC是⨀O的直径，弦BD⟂AO，垂足为E，连接OD，已知∠ACB=40°,则∠AOD度数是（ ）. A．40° B．60° C．80° D．50° 9. 10. 汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”。图1为记载的潜望镜的结构简图，图2为其平面示意图． 已知镜子MN与竖直方向的夹角∠MBE=50°，入射角∠ABF=50°，则∠DCG的度数为（ ）. 图1 图2 A．10° B．20° C．15° D．30° 10. 定义:若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图像的两倍点”。抛物线上有且只有一个“两倍点”A，该抛物线与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)。下列说法正确的是( ) A.方程有两个不相等的实数根. B.若a=2，则点A的横坐标为-2. C.当a=3时，抛物线与x轴的两个交点间距离为. D.无论a、b取何值(a>1)，tan∠ABC的值恒为1. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11. 在实数范围内有意义，则的取值范围是_________. 12. 分解因式： 13. 在振兴乡村的农业发展中，为比较甲、乙、丙三种改良玉米种子的发芽情况稳定性，农业技术员在相同试验条件下，对每种玉米种子各随机选取 80 粒进行发芽试验，统计发芽数量。经计算，三种玉米种子的平均发芽数相同，甲、乙、丙三种玉米种子发芽数的方差分别是 2.3、6.7、9.4。由此可知，____种玉米种子发芽情况更稳定（填“甲”“乙”或“丙” ）。 14. 分式方程 =0 解为________. 15.某实验室在严格的恒温环境（温度恒定为T0，波动范围控制在±0.01T0内，以确保实验过程中温度对气体性质的影响可忽略不计）下研究密闭容器中理想气体的性质。已知在此恒温条件下，气体的压强P（单位：kPa）与体积V（单位：m3）成反比，即遵循波义耳定律 （k为仅与气体种类、温度T0有关的常数）。当容器中气体体积为2m3时，压强为200kPa。若气体体积膨胀为4m3，此时该气体压强变为______kPa 。 16.《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径5尺，不知其深，立5尺木于井上，从木末梢观察井水水岸，入径4寸，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径AB为5尺，现竖立一根5尺长的木杆BD在井口，视线DC交井口AB于点E，入经BE的长为4寸，则水面距井口距离AC为 寸.（注：1尺=10寸） 17.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具。如图，某同学用边长为6dm的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状。已知阴影部分是由七巧板中的的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为____dm2 18.在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，把点 叫做点P的如意点.已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为(2，1)，则根据如意点的定义，点 的坐标为 . 三、解答题（本题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19.计算（）﹣1tan30°（π﹣2025）0+|﹣1| 20.先化简，再求值：（x+2），其中x是使不等式1成立的正整数． 21. 为全面贯彻落实湖南省教育厅印发的《2024—2025学年全省中小学全员问题活动实施方案》通知精神 ，进一步推动素质教育，促进学生全面发展，某校积极响应政策号召，高度重视学校体育教育工作的创新与发展。学校精心设定体育课程体系，规划了四个特色鲜明的项目群：A田径、B球类、C体操、D武术 。学校为了更好地安排课程，对学生最喜欢的项目群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图。 请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了______名学生，其中选择“C体操”的女生有______名； (2)补全上面的条形统计图，求扇形统计图中“D武术”所对应的圆心角的度数； (3)学校想从选择“C体操”的学生中随机选取两名学生作为“校园体育节”的示范员，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率 。 22. 如图，在矩形中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，交AC于点O，连接AE和CF， （1） 证明四边形AECF为菱形 （2） 若AB=4cm，AD=8cm，求菱形AECF的周长 23.在积极推进科技强国战略的大背景下，科技创新成为推动发展的核心动力。某前沿科技企业专注于高新技术研发，为进一步提升研发实力与效率，计划采购先进的科研设备。已知市场上 A、B 两种新型科研设备，采购 3 台 A 设备与 2 台 B 设备共需 600 万元，采购 2 台 A 设备与 5 台 B 设备共需 950 万元。 (1)问 A、B 两种设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该企业拟投入 750 万元专项资金用于同时购进 A 设备 a 台、B 设备 b 台。请问有几种进货方案。 24.某校数学活动小组要测量校园内旗杆的高度，苏苏同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 实践探究活动记录表 活动任务：测量旗杆高度 成员组长：组员： 工具测角仪，皮尺等C D A B 67° 测量示意图 B 测量数据 角度的数 从墙面栏杆处B点到旗杆顶端C测得角度为67° 边的长度 墙面AB高度3.1m 旗杆底部到墙面底部AD长度为5.8m 计算结果 计算旗杆CD的高度。（精确到0.1m，参考数据：sin67°≈0.92 cos67°≈0.39 tan67°≈2.36） 25.如图1，以点M（1，1）为圆心，个单位长为半径作⊙M，与x轴相交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C．二次函数的图象经过A、B、C三点，与⊙M的另一个交点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接CD、AD，求tan∠ADC的值； （3）如图2，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接AP与y轴交于点E，连接BP并延长与y轴交于点F．连接PC，求证：． 图1 图2 26.【初步感知】如图1，已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．连接BE，DE．则BE与DE的数量关系是　 　； 【尝试探索】如图2，EM⊥DE．判断△BEM的形状，请说明理由； 【拓展应用】如图3，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE，BF＝EM．求的值． 图1 图2 图3 参考答案及评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2． D 3． C 4． B 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．x≥1 12．y(x+2)(x-2) 13． 甲 14．- 15．100 16．575 17． 18．（2，1） 三、解答题：本题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解：原式． 20.解：原式 • • ， ∵1， 解得：x≤3， ∵x是使不等式1成立的正整数，且x﹣2≠0，x﹣3≠0， ∴x＝1， ∴原式． 21．（1）， ∴一共调查了20人； ∴C体操组人数为：， ∴C体操组女生有：； （2）补全图形如下： “D武术”所对应的圆心角的度数． （3）用A,B,C表示3名男生，用D,E表示两名女生，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， ∴． 22． 根据题意可知，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，则直线MN是线段AC的垂直平分线。 ∴AO=CO，AF=CF ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，得∠AFO=∠CEO 在△AOF和△COE中： ∠AFO=∠CEO ∠AOF=∠COE AO=CO​ ∴△AOF≌△COE ∴AF=CE且AF∥CE ∴平行四边形AECF是菱形。 （2）求菱形AECF的周长 设BE=xcm，∵四边形ABCD是矩形 ∴BC=AD=8cm，则CE=8−x。 又∵四边形AECF是菱形，所以AE=CE=8−x。 在Rt△ABE中，AB=3cm，根据勾股定理AB2+BE2=AE2，可得： 42+x2=(8−x)2 解得x=3​。 则AE=8−3=5cm。 ∴菱形AECF的周长为4AE=4×5=20cm。 23． （1）解：设 A 设备每台的进价为x万元，B 设备每台的进价为y万元。 解得 答：A 设备每台的进价是100万元，B 设备每台的进价是150万元。 （2） 已知企业拟投入750万元专项资金用于同时购进 A 设备a台、B 设备b台 100a + 150b = 750 得 因为a、b均为正整数，所以对b进行取值讨论：C D A B 67° 当b = 1时，a =6； 当b = 3时，a =3； 当b = 5时，a =0（不符合a为正整数，舍去） ∴有两种进货方案： 方案一：购进 A 设备6台，B 设备1台； 方案二：购进 A 设备3台，B 设备3台。 24． 解：（1)过B点作BE⊥CD ∵四边形ABED是矩形 ∴AD=BE=5.8 AB=DE=3.1 在Rt BEC中，tan67°=≈2.36 ∴CE≈13.7m ∴CD=16.8m 答：旗杆CD高度为16.8m 25.解:(1) M(1.1) ∴ B(3,0) C (0、3) 代入 可得 为等腰直角三角形 (3)作 轴交 AB于H 则 设Q点坐标为 ( 则 E点坐标为(0、y,)……F点坐标为 由 可得 由 可得 26. 解（1）：BE＝DE；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE； （2）△BEM是等腰三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA＝90°， ∵DM⊥DE， ∴∠DEM＝90°， ∵∠BCA+∠CDE+∠DEM+∠CME＝360°， ∴∠CDE+∠CME＝180°， ∵∠BME+∠CME＝180°， ∴∠CDE＝∠BME， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ADC﹣∠ADE， ∴∠EBC＝∠EDC， ∴∠BME＝∠EBM， ∴EB＝EM， ∴△BEM是等腰三角形； （3）∵BF＝EM，EB＝EM， ∴EB＝BF， ∵∠FBE＝90°， ∴∠F＝∠BEF＝45°， ∴∠BAC＝∠F， ∴∠AEG＝∠AGF﹣∠BAC＝∠AGF﹣∠F＝∠FBG， ∵∠AGE＝∠FGB，且∠FGB＝∠FBG， ∴∠AGE＝∠AEG， ∴AE＝AG， ∵EF＝＝＝BF， ∵AB∥CD， ∴∠FGB＝∠EDC， ∴∠FGB＝∠EBC， ∵BF⊥BE， ∴∠FBE＝90°， ∴∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE， ∴∠FGB＝∠FBG， ∴BF＝GF， ∴GE＝EF﹣GF＝（﹣1）BF， ∵AG∥CD， ∴△AGE∽△CDE， ∴＝＝＝﹣1， ∴＝﹣1， ∴的值为﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $$