2025年江苏省无锡市中考数学模拟卷（四）

2025无锡中考数学模拟卷（四） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A．3的算术平方根 B．4的算术平方根 C．7的算术平方根 D．9的算术平方根 2．（本题3分）函数中自变量x的取值范围是(        ) A．x>1 B． C． D．且 3．（本题3分）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(   ) A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，内接于，CD是的直径，，则（    ） A．70° B．60° C．50° D．40° 6．（本题3分）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．若最简二次根式与能合并成一项，则 C．若，则 D．菱形的对角线互相垂直 7．（本题3分）如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（　　） A．   B．   C．   D．   8．（本题3分）如图，在矩形中，，为对角线的交点．将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，连接，，，，给出下面三个结论： ①连接，则； ②点到的距离小于点到的距离； ③若，则八边形的面积为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（本题3分）如图，点、在反比例函数图像上，连接并延长与反比例函数相交于点，连接与反比例函数交于点，若，则面积为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，正方形中，是边的中点，点是平面内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接．则线段长最大时，的值为（   ） A． B． C． D． （第8题图） （第9题图） （第10题图） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）年徐州市生产总值达到亿元，数据亿元用科学记数法可表示为 亿元． 12．（本题3分）因式分解： ． 13．（本题3分）若是一元二次方程的一个根，则 ． 14．（本题3分）点关于轴的对称点坐标为 ． 15．（本题3分）若一个圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为 ． 16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为．若点在抛物线上，则的长为 ． 17．（本题3分）如图，二次函数是二次函数关于轴对称得到的，再将二次函数向右平移1个单位长度得到二次函数是函数上的任意一点，且点A的横坐标为，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的边与坐标轴平行．矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点时的取值范围是 ． 18．（本题3分）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为 ． （第16题图） （第17题图） （第18题图） 三、解答题（共96分） 19．（本题8分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，，求k的取值范围． 20．（本题8分）先化简、再求值：，其中． 21．（本题10分）如图，已知平分，于点，于点，求证：． 22．（本题10分）为了激发学生爱数学、学数学、用数学的热情，某学校在七年级开展“魅力数学”趣味竞赛，该校七年级共有学生400人参加竞赛，现随机抽取40名参赛学生的成绩数据（百分制）进行整理、描述和分析，过程如下： 收集数据： 74      97     96      89       98     74      69     76     72     78 99      72     97      76       99     74      99     73     98     74 76      88     93      65      78      94      89     68     95     50 89      88     89      89      77      94      87     88     92     91 整理数据 范围 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 频数 13 9 14 分析数据 统计量 平均数 中位数 众数 数值 84.1 m 89 应用数据 （1）填空：＝　 　，＝　 　，m＝　 　； （2）小明说：“这次竞赛我得了84分，在所有参加竞赛的学生中排名属中等偏上．” 小明的说法（填“正确”或“错误”），理由是 （3）若成绩不低于85分可以进入决赛，估计参赛的400名学生中能进入决赛的人数． 23．（本题10分）在一个不透明的盒子里有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4．随机摸出一个小球后，放回摇匀，再随机摸出一个小球．请你用画树状图或列表的方法，求下列事件的概率： （1）两次摸出的小球标号都是偶数； （2）两次摸出小球标号的和大于5． 24．（本题10分）定义：若一个凸四边形的对角线相等，那么我们把这个凸四边形叫作“等线四边形”．      (1)以下四边形中，是“等线四边形”的为_______．（填序号） 平行四边形；矩形；菱形；正方形． (2)如图，在正方形中，，分别为，上的点，且，连接，．求证：四边形为“等线四边形”． (3)如图，在中，，． 请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； 在的条件下，为直线上一点，若以点为顶点的四边形是“等线四边形”，直接写出这个“等线四边形”的面积． 25．（本题10分）为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 26．（本题10分）在中，弦，垂足为点，分别连接、、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，连接交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求半径的长． 27．（本题10分）如图（1），已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，且． (1)请直接写出：抛物线的解析式为________； (2)点在第四象限内的抛物线上，连接交轴于点，在点右侧的轴上取点，且，过点作轴交于点，连接，若四边形的面积为，求点的坐标； (3)如图（2），过点的直线交抛物线于另一点，为第二象限内的一个定点，过点任作直线交抛物线于、两个不同点（点在第四象限内），若在直线的变化过程中，射线始终平分，求定点的坐标． 28．（本题10分）如图，在中，，，．动点从点出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、点始终在直线的同侧，且．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的平分线上时，求的值． (3)连结，当为钝角时，求的取值范围． (4)作点关于直线的对称点，连结，当直线与的边平行时，直接写出的值． 数学模卷（四）2025.6 数学模卷（四）2025.6 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《2025无锡中考数学模拟卷（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A C D D D B B 1．C 【分析】先根据数轴判断A的范围，再根据下列选项分别求得其具体值，选取最符合题意的值即可． 【详解】根据数轴可知点A的位置在2和3之间，且靠近3， 而=2,=3，2＜<3， 只有7的算术平方根符合题意． 故选C. 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握算术平方根的概念. 2．D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分母不等于零这两个条件列出不等式，解之即可得出答案. 【详解】解：由题意可知， 且 即且 故选D. 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围.根据函数形式列出使其有意义的不等式（组）是解题的关键. 3．D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方，熟记运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方逐个计算即可． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项符合题意． 故选：D． 4．A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 5．C 【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∵∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B＝50°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键． 6．D 【分析】先写出各项的逆命题，根据平行四边形的性质，菱形的判定，同类二次根式的定义，以及二次根式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】A．对边平行且相等的四边形是平行四边形的逆命题的逆命题是平行四边形的对边平行且相等，正确，故逆命题成立； B．若最简二次根式与能合并成一项，则的逆命题是若，则最简二次根式与能合并成一项，正确，故逆命题成立； C．若，则的逆命题是若，则，正确，故逆命题成立； D．菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，错误（如筝形），故逆命题不成立； 故选D． 【点睛】本题考查逆命题，判断命题的真假，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 7．D 【分析】本题关键是正确分析出所剪时的虚线与正方形纸片的边平行. 【详解】要想得到平面图形(4)，需要注意(4)中内部的矩形与原来的正方形纸片的边平行，故剪时，虚线也与正方形纸片的边平行，所以D是正确答案，故本题正确答案为D选项. 【点睛】本题考查了平面图形在实际生活中的应用，有良好的空间想象能力过动手能力是解题关键. 8．D 【分析】利用旋转的性质可说明，以此可判断①；通过说明，，，都是等腰直三角形，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，再说明四边形是正方形，从而可用表示出八边形的面积，化简后作比较可判断③； 仿判断③的方法，设，分别求出点到的距离与点到的距离，再作比较后判断②． 【详解】解：如图， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴点的对应点是， ∴， ∴，故①正确； 如图， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是，的对应边是，的对应边是， ∴，，，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理可得：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，，，，， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴正方形绕点逆时针旋转与其本身重合， ∴点的对应点是， ∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ∴点的对应点是， ∴绕点逆时针旋转得到， ∴， 同理可得：，，， ∵，， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴八边形的面积为 =， 故③正确； 过点分别作于点，于点，于点，设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，对角线、交于点， ∴，点为的中点 ∴，点为的中点， ∴，即点到的距离为， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， 即点到的距离小于点到的距离，故②正确； 综上所述，①②③都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，等腰直角三角形的性质等知识点，解题关键是利用特殊平行四边形的性质证明相关线段相等． 9．B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，一次函数的图像与性质，相似三角形的判定与与性质，解题的关键是掌握相关知识．设点的坐标是，点的坐标是，，作轴，且，作于点，则，则，得到，推出，代入反比例函数可得到，直线的解析式是，进而得到直线与轴点的交点，根据求出，作轴于点，轴于，得到，，，推出，得到，连接，即可求解． 【详解】解：设点的坐标是，点的坐标是，，作轴，且，作于点，则， ， ， 又，， ，， ，即， 又点在反比例函数图像上， ， 整理可得：， ， ， 又， ， 设直线的解析式是， ， ， 直线的解析式是， 令，则， 直线与轴点的交点， ， 作轴于点，轴于， ，，， ， ， ， 连接， ， ， 又， ， 故选： B． 10．B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，旋转的性质，矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由旋转得：，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，证明 ，则，可得，由，得到，当点三点共线时，取得最大值，如图：过点作交延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，则，，故，则由即可求解． 【详解】解：由旋转得：， 如图，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，则， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， ∵正方形中，，O是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点三点共线时，取得最大值，如图：过点作交延长线于点，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11． 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为： 12．/ 【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13．1 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，把代入中，计算求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根 ∴ 解得： 故答案为：1． 14． 【分析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】点关于轴对称点的坐标为． 故答案为． 【点睛】此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 15． 【分析】根据圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为120°，根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】如图，∵圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为120°， ∴∠DAC=120°，扇形ACD的半径为AD=12， ∴圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 16．4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出抛物线与y轴的交点坐标为，根据对称性求出抛物线的对称轴，进而求出点A坐标，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴； 故答案为：4． 17．或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点、二次函数图象的平移、矩形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 设函数与轴的交点为，其中．利用二次函数的性质易得，易得点，，进而得到矩形的中心点在直线，然后根据m的取值情况分11种情况分别画出图形运用矩形的性质分别分析判断即可． 【详解】由题意，得函数的表达式为． ∴函数的对称轴为直线． 令，则．解得， ∴点，． ∵点的横坐标为，点，以为对角线的矩形的中心点是的中点， 矩形的中心点在直线上． ①当时，如图1：矩形的边（包括顶点）与函数有4个交点． ②当时，矩形不存在． ③当时，如图2和图3，矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点． ④当时，如图4，矩形的边（包括顶点）与函数有2个交点． ⑤当时，如图5，矩形的边（包括顶点）与函数有2个交点． ⑥当时，矩形不存在． ⑦当时，如图6，矩形的边（包括顶点）与函数有1个交点． ⑧当时，矩形不存在． ⑨当时，如图7，矩形的边（包括顶点）与函数有2个交点． ⑩当时（即点与点重合）．如图8，矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点． ⑪当时，如图9，矩形的边（包括顶点）与函数有4个交点． 综上所述，当或时，矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点． 故答案为或． 18．，，，， 【分析】本题考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质及勾股定理，先求出三角形内切圆半径及长，再分情况讨论，根据相似三角形性质求出即可． 【详解】如图，连接、、， 中，， ， 设，则，，， ， 解得， 当次前进后，点前进的距离是，点前进的距离是， ①当时， ， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，；时，； ②当时， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，； 综上，可得所有满足条件的为、、、16、32． 故答案为：、、、16、32． 19． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是解二元一次方程组得出，根据，，列出方程组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴， 解得：． 20．， 【分析】先将括号内的项进行通分化简，再分式的除法法则，结合平方差公式因式分解，化简，最后代入数值解题即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21．证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的性质可得，进而由证明即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵平分，于点，于点， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 22．（1）1，3，88；（2）错误；小明的成绩84分低于中位数88分，排名在中下游；（3）230 【分析】（1）整理和分析数据即可得出答案； （2）中等偏上应该高于中位数，与中位数进行，小明的成绩低于中位数，说明属于中等偏下； （3）随机抽取40名参赛学生中，成绩不低于85分的有23人，即可估计参赛的400名学生能进入决赛的人数． 【详解】由抽取40名参赛学生的成绩数据可得：，， 总共抽取40名学生，则中位数取的是第20名和第21名学生成绩的平均数， 按照从低到高成绩排列，整理数据得：第20名、第21名成绩均为88分 所以中位数； （2）错误；小明的成绩84分低于中位数88分，排名在中下游； （3）（人） 答：估计参赛的400名学生中能进入决赛的人数约为230人 【点睛】本题考查数据的分析与整理，中位数及样本估计总体，解题的关键是根据题目数据得出中位数、样本估计总体思想的运用． 23．（1）；（2） 【分析】（1）列出表格展示所有可能的结果，再找到两次摸出的小球标号都是偶数的情况数，利用概率公式，即可求解； （2）找出两次摸出小球标号的和大于5的情况数，再利用概率公式，即可求解． 【详解】解：根据题意，可以用表列出所有可能结果 第2次 第1次 1 2 3 4 1 2 3 4 由表可以看出，从4个相同小球中，两次有放回随机各摸出一个小球，可能出现的结果有16种，且它们出现的可能性相等 （1）两次摸出的小球标号都是偶数（记为事件）的结果有4种，即，，，． ∴ （2）两次摸出小球标号的和大于5（记为事件）的结果有6种，即，，，，，． ∴ 【点睛】本题主要考查例举法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图以及概率公式是解题的关键． 24．(1)； (2)见解析； (3)见解析；或． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可求解； （）连接，由四边形是正方形，得，，然后证明即可； （）根据作垂线的方法即可求解； 分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分，不符合题意； 矩形的对角线相等，符合题意； 菱形的对角线互相垂直，不符合题意； 正方形对角线相等，符合题意； 故选：， （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等线四边形”； （3）解：如图，即为所求； 如图，当时，设交交于点，与交于点， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴“等线四边形”的面积为； 如图，当时，设交交于点，过作交于延长线于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴“等线四边形”的面积为 ， 综上可知：“等线四边形”的面积为或． 25．(1)中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，根据小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍．然后列分式方程即可求解． （2）分阶段求出总收入=元、总成本元，根据总利润=总收入−总成本元，依题意列不等式即可作答． 【详解】（1）解：设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，依题意： ∴， 解并检验得：， 大果每千克进价为元， 答：中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； （2）解：已知中果购进（千克），大果购进 （千克），总成本 （元）． 第一阶段销售： 中果售价比进价高，售价（ 元/千克）． 售出量 （千克），收入 （元）． 大果在进价基础上加价元，售价元/千克．售出量（千克），收入元． 剩余：中果（ 千克），大果 （千克）． 第二阶段促销（降价销售）： 中果每千克降价 元，新售价 )元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量为（千克），收入 元． 大果每千克降价 元，新售价 元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量千克，收入 元． 总收入)元， 总利润=总收入−总成本元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：，解得 ， 因此，，最小值为 ． 26．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接．首先由，得到，然后根据圆周角定理得到，等量代换求解即可； （2）过点作于点．求出，然后垂径定理得到，，进而求解即可； （3）过点作于点，延长交的延长线于点，连接．由，得到，然后证明出，得到，等量代换推出，求出，，然后求出，解直角三角形得到，设，，则，勾股定理求出，过点作于点，解直角三角形求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接． ， ． ， ． 即． 弧弧， ． ． ， ． ． （2）证明：过点作于点． ， ． ， ，． ． ， ． ． ， ，． ． （3）解：过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ， ． ，， 又， ． ． ， ． ，． ， ． ， ． ． ． ． ． ， ． ， ． ， ． ， ． ， ． ． ． 设，，则． ， ． （舍去），． ． ． 过点作于点． ． ， ． ． 的半径为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 27．(1) (2)或 (3)定点的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、抛物线与直线交点问题、二次函数面积问题，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系等，利用参数表示直线解析式是解题的关键． （1）先求出点坐标，再求出点坐标，代入求出值即可； （2）设，求出直线解析式，得到点坐标，求出解析式得到点坐标，进而利用四边形面积建立关于的方程求解即可； （3）联立抛物线与直线解析式得，设直线的解析式为进而可得，过点作轴，轴，过点作，过点作，证明，进而可得、关系式，进而得解． 【详解】（1）解：令，得， ，即， ， ， 将坐标代入得， 抛物线的解析式为； 故答案为：． （2）过点作轴于点． ， 当时，， 解得： ， 设， 设直线的解析式为 解得： 直线：， ， ，轴， ， ， 同理可得直线：， ， 四边形的面积为， 即 解得： 或 （3）联立 解得：或（舍去） 设直线的解析式为 ，且为两根， ， 过点作轴，轴，过点作，过点作， ， 直线：， ， 平分，即：， ， ， ，即：， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线必过定点， 即：定点的坐标为． 28．(1) (2) (3)0＜t＜或＜t＜ (4)或或 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，根据两个角相等，两个三角形相似求证，推出，从而求出长度，即可求出长度，利用矩形的性质即可求出的长度． （2）分情况讨论，当点在边上时，利用角平分线的性质和结合第（1）问的部分结果推出和的长度，再结合直角三角形的特殊全等方法求出以及相关长度，进而求出长度，根据矩形的性质求出以及相关长度，根据面积法，列关于的方程，即可求出的值；当点在边上时，根据点的运动轨迹可表示出的长度，利用推出相关线段比例从而求出和的长度，利用矩形的性质求出的长度进而求出的长度，利用角平分线的性质求出，利用矩形的性质求出以及相关长度，根据面积法，列关于的方程，即可求出的值． （3）分情况讨论：当点在边上时，假设的特殊值，可证和，根据三角形相似的性质推出对应线段比即可求出和的长度，从而求出的长度，根据平行线的性质和已知条件推出，从而证明相应线段成比例，即可求出的值；当点在边上时，利用第一种情况的方法分别求出，，以及及相关长度，利用即可求出的值． （4）分四种情况进行讨论（①当点在边上时，时；②当点在边上时，时；③当点在边上时，时；④当点在边上时，时），然后利用三角形相似求出用表示的相应线段长度，再结合矩形的性质以及线段，找出等量关系，列关于的方程，即可计算出的值． 【详解】（1）解：，，， ． ， ， ． ， ， ． 动点从点出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，点的运动时间为秒， ， ， ． ， ． 矩形， ． （2）解：①当点在边上时，如图所示，连接，，，过点作于点，作于点， 平分，，， ， 矩形， ． 由（1）可知，，，， ， ． 在和中，，， ， ， ． ， 四边形为矩形， ． ， ， ， ． ②当点在边上时，如图所示，过点作于点，作于点， 连接，，， 由题意可知，运动的距离为，即， ， ． ，， ， ， ， ，． ， ． 矩形， ，， ． 在和中，，， ， ， 平分，，， ， ， 四边形为矩形， ． ， ， ， ． 当时，点运动的距离为：， 与重合，不符合题意． 综上所述，． （3）解：①当点在边上时，时，如图所示，连接， ，矩形， ， ，，在同一条直线上． ，， ， ， ， ，， 由（1）可知，， ． ， ， ． ， ， ， ， ． 时，． 若为钝角，． ②点在边上时，时，如图所示， 则， 按照第一种情况同理可知，，， ． ， ， ． 时，． 当时， 与重合． 若为钝角，． 综上所述，若为钝角，或． （4）解：①当点在边上时，时，如图所示，延长交于点，设直线交于点， 交于点， ， ， ， 和是对称点， ， ， ， ， ， ， ，， 由题意得：，， 由（1）可知，，，， ， ． ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 和是对称点， ． ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ． ②当点在边上时，时，如图所示，过点作于点，过点作于点，设直线交于点， 交于点， 由（1）可知，，，， ， ． ，， ， ， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． 和是对称点， ． ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ，，， 为矩形， ， ， ． ③当点在边上时，时，如图所示，过点作于点，过点作于点，设直线交于点， 交于点， 根据点运动轨迹可知，，， ，， ， ， ， ，． ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 和是对称点， ． 同理可得：， ， ， ， ， 为矩形， ， ， ． ④当点在边上时，时，如图所示，过点作于点，过点作于点，设直线交于点， 交于点， 根据点运动轨迹可知，，， ，， ， ， ， ，． ， ． ， ． ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 和是对称点， ． 同理可得：， ，， ， ， 为矩形， ， ， （不符合题意，舍去）． 综上所述：当直线与的边平行时，或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，轴对称的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质以及灵活运用分类讨论的思想． 答案第26页，共36页 答案第25页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $$数学模卷（四）2025.6 试卷第 1 页，共 7 页 2025 无锡中考数学模拟卷（四） 一、单选题（共 30分） 1．（本题 3 分）如图，数轴上点 A 表示的数可能是（ ） A．3 的算术平方根 B．4 的算术平方根 C．7 的算术平方根 D．9 的算术平方根 2．（本题 3 分）函数 2 1 x y x + = − 中自变量 x 的取值范围是( ) A．x>1 B． 2x  − C． 1x  D． 2x  − 且 1x  3．（本题 3 分）下列各式运算正确的是（ ） A． 2 3 6·x x x= B． 12 2 6x x x = C． ( ) 2 2 2x y x y+ = + D． ( ) 3 2 6 3x y x y= 4．（本题 3 分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 5．（本题 3 分）如图， ABCV 内接于 O ，CD是 O 的直径， 40ACD = ，则 B =（ ） A．70° B．60° C．50° D．40° 6．（本题 3 分）下列命题的逆命题不成立的是（ ） A．对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．若最简二次根式 1 a+ 与 3 能合并成一项，则 2a = C．若 2 4 2 2a a a− = +  − ，则 2a  D．菱形的对角线互相垂直 7．（本题 3 分）如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一 个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（ ） A． B． C． D． 8．（本题 3 分）如图，在矩形 ABCD中， 2=AD AB，O 为对角线的交点．将矩形 ABCD绕点O 逆时针旋转90得到 矩形 A B C D   ，连接 AD，BA，CB，DC，给出下面三个结论： ①连接OC，则 90AOC  = ； ②点O 到 AB 的距离小于点O 到 AD的距离； ③若 AB a= ，则八边形 ABA B CDC D   的面积为 27 2 a ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） 数学模卷（四）2025.6 试卷第 2 页，共 7 页 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（本题 3 分）如图，点A 、 B 在反比例函数 4 ( 0)y x x =  图像上，连接 AB 并延长与反比例函数 ( ) 1 0y x x =  相交 于点C ，连接OA与反比例函数 ( ) 1 0y x x =  交于点D ，若 2AB BC= ，则 ABD△ 面积为（ ） A． 2 B． 5 C．3 D． 7 2 10．（本题 3 分）如图，正方形 ABCD中， 2 5AB O= ， 是BC 边的中点，点E 是平面内一动点， 2OE = ，连接DE ， 将线段DE 绕点D 逆时针旋转90得DF ，连接 ,AE CF ．则线段OF 长最大时， tan COF 的值为（ ） A． 2 3 B． 1 3 C． 3 3 D． 5 3 （第 8题图） （第 9题图） （第 10题图） 二、填空题（共 24分） 11．（本题 3 分）2023年徐州市生产总值 ( )GDP 达到10500亿元，数据10500亿元用科学记数法可表示为 亿元． 12．（本题 3 分）因式分解： 22 4 2a a+ + = ． 13．（本题 3 分）若 1x = 是一元二次方程 2 0x a− = 的一个根，则a = ． 14．（本题 3 分）点 ( )4, 1P − 关于 y 轴的对称点坐标为 ． 15．（本题 3 分）若一个圆锥的母线长为 12，侧面展开图的圆心角为120，则该圆锥的侧面积为 ． 16．（本题 3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ( )2 3 0y ax bx a= + −  与 x轴相交于 A、B两点，点 B的坐标 为 ( )3 0， ．若点 ( )2 3C −， 在抛物线上，则 AB 的长为 ． 17．（本题 3 分）如图，二次函数 2C 是二次函数 2 1 : 4C y x= − 关于 x轴对称得到的，再将二次函数 2C 向右平移 1 个 单位长度得到二次函数 3 ,C A是函数 3C 上的任意一点，且点 A 的横坐标为m ，点 B 的坐标为 ( )4 0m− ， ，连接 AB ，以 AB 为对角线作矩形 ACBD，且矩形的边与坐标轴平行．矩形 ACBD的边（包括顶点）与函数 3C 有 3 个交点时m 的 取值范围是 ． 18．（本题 3 分）如图，在Rt ABC△ 中， 6AB = ， 10AC = ， ABCV 的内切圆交 AC 于点D ，点 P 从D 出发，沿射 线DC 每次前进一个单位，点Q 从D 出发沿DA和射线 AB 每次前进a个单位，a为正整数且1 8 a ，当 t 次前进后 APQ△ 与 ABCV 相似，所有满足条件的 t 为 ． 数学模卷（四）2025.6 试卷第 3 页，共 7 页 （第 16题图） （第 17题图） （第 18题图） 三、解答题（共 96分） 19．（本题 8 分）若关于 x，y的二元一次方程组 5 2 4 5 x y k x y k + = +  − = − 的解满足不等式 0x  ， 0y  ，求 k的取值范围． 20．（本题 8 分）先化简、再求值： 21 4 1 2 1 2 1 x x x −  −   + −  ，其中 2 1 0x − + = ． 21．（本题 10 分）如图，已知OE 平分 AOB ，BC OA⊥ 于点C ，AD OB⊥ 于点D ，求证：EA EB= ． 22．（本题 10 分）为了激发学生爱数学、学数学、用数学的热情，某学校在七年级开展“魅力数学”趣味竞赛，该校 七年级共有学生 400 人参加竞赛，现随机抽取 40 名参赛学生的成绩数据（百分制）进行整理、描述和分析，过程 如下： 收集数据： 74 97 96 89 98 74 69 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74 76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91 整理数据 范围 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 频数 a b 13 9 14 分析数据 数学模卷（四）2025.6 试卷第 4 页，共 7 页 统计量 平均数 中位数 众数 数值 84.1 m 89 应用数据 （1）填空：a＝ ，b ＝ ，m＝ ； （2）小明说：“这次竞赛我得了 84 分，在所有参加竞赛的学生中排名属中等偏上．” 小明的说法（填“正确”或“错误”），理由是 （3）若成绩不低于 85 分可以进入决赛，估计参赛的 400 名学生中能进入决赛的人数． 23．（本题 10 分）在一个不透明的盒子里有 4 个完全相同的小球，它们的标号分别为 1，2，3，4．随机摸出一个小 球后，放回摇匀，再随机摸出一个小球．请你用画树状图或列表的方法，求下列事件的概率： （1）两次摸出的小球标号都是偶数； （2）两次摸出小球标号的和大于 5． 24．（本题 10 分）定义：若一个凸四边形的对角线相等，那么我们把这个凸四边形叫作“等线四边形”． (1)以下四边形中，是“等线四边形”的为_______．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图1，在正方形 ABCD中，M ，N 分别为 AB ，BC 上的点，且 AM BN= ，连接MN ，DN ．求证：四边形 AMND 为“等线四边形”． (3)如图 2 ，在Rt ABC△ 中， 90C = ， 2 4AC BC= = ． ①请用无刻度的直尺和圆规作 AC 的垂直平分线MN （保留作图痕迹，不写作法）； ②在①的条件下， P 为直线MN 上一点，若以点 A B C P、 、 、 为顶点的四边形是“等线四边形”，直接写出这个“等 线四边形”的面积． 数学模卷（四）2025.6 试卷第 5 页，共 7 页 25．（本题 10 分）为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中 果比大果每千克进价少 4 元，小李花了 3000 元购买大果，5000 元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的 2 倍． (1)小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ (2)小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高 50％，大果在进价的基础上每千克加价 4a元 进行销售，一周后，中果还剩 20％，大果还剩 40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促 销：中果每千克降价 a元，大果每千克降价 5 元进行销售．预计除了 10 千克中果和 2 千克大果损坏不能售出外， 其余全部售出．若总计获利不少于 5980 元，求 a的最小值． 26．（本题 10 分）在 O 中，弦 AB CD⊥ ，垂足为点H ，分别连接CA 、OA、DA． (1)如图 1，求证： CAB OAD =  ； (2)如图 2，延长 AO 交CD于点 F ，连接OB 交CD于点 E ，求证：CF DE= ； (3)如图 3，在（2）的条件下，若 DEB BAO ACD =  + ， 5 2 AO AD CD+ = ， 3DH = ，求 O 半径的长． 数学模卷（四）2025.6 试卷第 6 页，共 7 页 27．（本题 10 分）如图（1），已知抛物线 2 3y x bx= + − 与 x轴交于A 、B 两点（点A 在点 B 左侧），与 y 轴交于C 点， 且OB OC= ． (1)请直接写出：抛物线的解析式为________； (2)点 P 在第四象限内的抛物线上，连接 AP 交 y 轴于点D ，在 B 点右侧的 x轴上取点 E ，且PE PA= ，过点 B 作BF x⊥ 轴交PE 于点 F ，连接DF ，若四边形ODFB 的面积为 9 2 ，求 P 点的坐标； (3)如图（2），过A 点的直线 1y x= + 交抛物线于另一点D ，T 为第二象限内的一个定点，过点T 任作直线 l 交抛物线 于M 、 N 两个不同点（点 N 在第四象限内），若在直线 l 的变化过程中，射线DA始终平分 MDN ，求定点T 的坐 标． 数学模卷（四）2025.6 试卷第 7 页，共 7 页 28．（本题 10 分）如图，在 ABCV 中， 90C = ， 5AB = ， 3BC = ．动点 P 从点 B 出发沿折线BC CA− 以每秒 5 个 单位长度的速度向终点A 运动，当点 P 不与 ABCV 的顶点重合时，过点 P 作PD AB⊥ 于点D ，以PD为边作矩形 PDEF ，使点 F 、点C 始终在直线PD的同侧，且 2PD DE= ．设点 P 的运动时间为 t 秒． (1)当点 P 在 BC 边上时，用含 t 的代数式表示线段PF 的长． (2)当点 F 落在 A 的平分线上时，求 t 的值． (3)连结 FC ，当 PFC 为钝角时，求 t 的取值范围． (4)作点C 关于直线PF 的对称点C，连结EC，当直线EC与 ABCV 的边平行时，直接写出 t 的值． 答案第 1 页，共 36 页 《2025无锡中考数学模拟卷（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A C D D D B B 1．C 【分析】先根据数轴判断 A 的范围，再根据下列选项分别求得其具体值，选取最符合题意的值即可． 【详解】根据数轴可知点 A 的位置在 2 和 3 之间，且靠近 3， 而 4 =2, 9 =3，2＜ 7 <3， 只有 7 的算术平方根符合题意． 故选 C. 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握算术平方根的概念. 2．D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分母不等于零这两个条件列出不等式，解之即可得出答案. 【详解】解：由题意可知， 2 0x +  且 1 0x −  即 2x  − 且 1x  故选 D. 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围.根据函数形式列出使其有意义的不等式（组）是解题的关键. 3．D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方，熟记运算法则是解题关键．根据同底数幂的 乘除、完全平方公式、积的乘方逐个计算即可． 【详解】解：A． 2 3 5x x x? ，所以 A 选项不符合题意； B． 12 2 10x x x = ，所以 B 选项不符合题意； C． 2 2 2( ) 2x y x y xy+ = + + ，所以 C 选项不符合题意； D． ( ) 3 2 6 3x y x y= ，所以 D 选项符合题意． 故选：D． 4．A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能 够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故 A 选项合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 B 选项不符合题意； 答案第 2 页，共 36 页 C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故 C 选项不合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 D 选项不合题意． 故选 A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的 定义． 5．C 【分析】由 CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到 ∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∵∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B＝50°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键． 6．D 【分析】先写出各项的逆命题，根据平行四边形的性质，菱形的判定，同类二次根式的定义，以及二次根式的性质， 逐一进行判断即可． 【详解】A．对边平行且相等的四边形是平行四边形的逆命题的逆命题是平行四边形的对边平行且相等，正确，故 逆命题成立； B．若最简二次根式 1 a+ 与 3 能合并成一项，则 2a = 的逆命题是若 2a = ，则最简二次根式 1 3a+ = 与 3 能合 并成一项，正确，故逆命题成立； C．若 2 4 2 2a a a− = +  − ，则 2a  的逆命题是若 2a  ，则 ( )( ) 2 4 2 2 2 2a a a a a− = + − = +  − ，正确，故 逆命题成立； D．菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，错误（如筝形），故逆命题不成立； 故选 D． 【点睛】本题考查逆命题，判断命题的真假，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 7．D 【分析】本题关键是正确分析出所剪时的虚线与正方形纸片的边平行. 【详解】要想得到平面图形(4)，需要注意(4)中内部的矩形与原来的正方形纸片的边平行，故剪时，虚线也与正方形 纸片的边平行，所以 D是正确答案，故本题正确答案为 D选项. 答案第 3 页，共 36 页 【点睛】本题考查了平面图形在实际生活中的应用，有良好的空间想象能力过动手能力是解题关键. 8．D 【分析】利用旋转的性质可说明 90AOC  = ，以此可判断①；通过说明 A BH ， AED△ ， C DF ，CGB都是 等腰直三角形，四边形 ABHE 是矩形，四边形 A B GH  是矩形，四边形CDFG 是矩形，四边形D C EF  是矩形，再说 明四边形EFGH 是正方形，从而可用a表示出八边形 ABA B CDC D   的面积，化简后作比较可判断③； 仿判断③的方法，设 AB x= ，分别求出点O 到 AB 的距离与点O 到 AD的距离，再作比较后判断②． 【详解】解：如图， ∵将矩形 ABCD绕点O 逆时针旋转90得到矩形 A B C D   ， ∴点C 的对应点是C， ∴ 90COC = ， ∴ 90AOC  = ，故①正确； 如图， ∵将矩形 ABCD绕点O 逆时针旋转90得到矩形 A B C D   ， ∴ AD 的对应边是 A D ，BC 的对应边是B C ， AB 的对应边是 A B ，BC 的对应边是B C ，CD的对应边是C D ， ∴ AD A D ⊥ ， BC B C ⊥ ， AB A B = ，BC B C = ，CD C D = ， AD A D = ， ∴ 90AEH = ， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 90EAB ABH =  = ， AB CD= ， ∴四边形 ABHE 是矩形， ∴ AB HE= ， AE BH= ， 同理可得：四边形 A B GH  是矩形，四边形CDFG 是矩形，四边形D C EF  是矩形， 答案第 4 页，共 36 页 ∴ A B GH  = ， A H B G = ，CD FG= ，CG DF= ，D C EF  = ，D E C F = ， ∵ AB CD= ， AE BH= ，CG DF= ， ∴ BH GH GC AE EF FD+ + = + + ， ∴GH EF= ， 同理可得：EH FG= ， ∵ AB A B = ， AB HE= ， A B GH  = ， ∴GH EF EH FG= = = ， ∵ 90AEH = ， ∴ 90FEH = ， ∴四边形EFGH 是正方形， ∴正方形EFGH 绕点O 逆时针旋转90与其本身重合， ∴点 E 的对应点是H ， ∵将矩形 ABCD绕点O 逆时针旋转90得到矩形 A B C D   ， ∴点A 的对应点是 A， ∴ AE 绕点O 逆时针旋转90得到 A H ， ∴ AE A H= ， 同理可得：BH B G= ，CG C F= ，DF D E= ， ∵ AE BH= ， AE A H= ， ∴ BH A H= ， 又 90A HB = ， ∴ A BH 是等腰直角三角形， 同理可得： AED△ ， C DF ，CGB都是等腰直角三角形， ∴ AE BH A H B G GC DF C F D E   = = = = = = = ， ∵ AB a= ， 2=AD AB， ∴ EF a= ， 2 2AD AB a= = ， ∴ ( ) 1 1 2 2 AE DF AD EF a= = − = ， ∴八边形 ABA B CDC D   的面积为4 4 +AED ABEH EFGHS S S +△ 矩形 正方形 = 2 2 21 1 1 74 4 2 2 2 2 a a a a a     +   + =    ， 故③正确； 过点O 分别作OI AD⊥ 于点 I ，OJ AB⊥ 于点 J ，OK AD⊥ 于点K ，设 AB x= ， 答案第 5 页，共 36 页 ∵ 2=AD AB， ∴ 2 2AD AB x= = ， ∵四边形 ABCD是矩形，对角线 AC 、BD交于点O ， ∴ AO OB= ，点O 为 BD的中点 ∴ 1 1 2 2 AJ AB x= = ，点 J 为 AB 的中点， ∴ 1 2 JO AD x= = ，即点O 到 AB 的距离为 x， ∵ 1 2 AE AB= ， AED△ 是等腰直角三角形， ∴ 1 2 2 2 2 2 AD AE AB x = =  = ， ∵ AB x= ， 2AD x= ， 90BAD = ， ∴ ( ) 22 2 2 2 5BD AB AD x x x= + = + = ， ∴ 1 5 2 2 AO BD x= = ， ∵ AO OD= ， ∴K 为 AD的中点， ∴ 1 1 2 2 2 2 2 4 AK AD x x= =  = ， ∴ 2 2 2 2 5 2 3 2 9 182 2 4 4 16 16 KO AO AK x x x x x x     = − = − = =  =            ， 即点O 到 AB 的距离小于点O 到 AD的距离，故②正确； 综上所述，①②③都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，等腰直角三角形的性质 等知识点，解题关键是利用特殊平行四边形的性质证明相关线段相等． 9．B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，一次函数的图像与性质，相似三角形的判定与与性质，解题的关键是 答案第 6 页，共 36 页 掌握相关知识．设点A 的坐标是 4 ,m m       ，点 B 的坐标是 4 ,n n       ，0 m n  ，作 AF y∥ 轴，且CF AF⊥ ，作BE AF⊥ 于点 E ，则BE CF∥ ，则 AEB AFC△ ∽△ ，得到 3 2 AF CF AC AE BE AB = = = ，推出 3 6 2 , 2 n m C n m −  −    ，代入反比例函数 ( ) 1 0y x x =  可得到 3 5 2 n n m − = ，直线 AB 的解析式是 4 4 4 y x mn m n = − + + ，进而得到直线 AB 与 x轴点的交点 ( ),0N m n+ ，根据 AOC AON OCNS S S= − 求出 3 5AOCS = ，作DP x⊥ 轴于点 P ， AQ x⊥ 轴于Q ，得到 1 2 ODPS = ， 2OAQS = ，DP AQ∥ ，推出 ODP OAQ∽ ，得到 2AO OD= ，连接CD，即可求解． 【详解】解：设点A 的坐标是 4 ,m m       ，点 B 的坐标是 4 ,n n       ，0 m n  ，作 AF y∥ 轴，且CF AF⊥ ，作BE AF⊥ 于点 E ，则BE CF∥ ，  AEB AFC△ ∽△ ，  3 3 2 2 AF CF AC BC AE BE AB BC = = = = ， 又 4 4 AE m n = − ，BE n m= − ，  3 4 4 6 6 2 AF m n m n   = − = −    ， ( ) 3 2 CF n m= − ，  ( ) 3 4 6 6 , 2 C n m m m m n    − + − −      ，即 3 6 2 , 2 n m C n m −  −    ， 又 点C 在反比例函数 ( ) 1 0y x x =  图像上，  3 6 2 · 1 2 n m n m −   − =    ， 整理可得： 2 23 0m mn n− + = ，  2 2 29 4 5 0n n n = − =  ，  3 5 2 n n m  = ， 又 0 m n  ，  3 5 3 5 2 2 n n m n − − = = ， 设直线 AB 的解析式是 1 1y k x b= + ， 答案第 7 页，共 36 页  1 1 1 1 4 4 mk b m nk b n  + =   + =  ，  1 1 4 4 4 k mn b m n  = −   = +  ， 直线 AB 的解析式是 4 4 4 y x mn m n = − + + ， 令 0y = ，则 x m n= + ， 直线 AB 与 x轴点的交点 ( ),0N m n+ ，  AOC AON OCNS S S= − ( ) ( ) 1 4 1 6 2 2 2 m n m n m n m   = +  − + −    ( ) 1 6 6 2 m n m n   = + −    ( ) 1 1 3 m n m n   = + −    ( )2 23 n m mn − = ( )23 2 3n mn mn − = 6 9 n m = − 12 9 3 5 = − − 3 5= ， 作 DP x⊥ 轴于点 P ， AQ x⊥ 轴于Q ，  1 2 ODPS = ， 2OAQS = ，DP AQ∥ ，  ODP OAQ∽ ，  2 4 AOQ ODP SAO OD S   = =    ，  2AO OD= ， 连接CD，  2OAC ADCS S= ， 答案第 8 页，共 36 页  3 5 2 ADCS = ， 又 2 3 AB AC= ，  2 2 3 5 5 3 3 2 ADB ADCS S= =  = ， 故选： B． 10．B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，旋转的性质，矩形的判定与性质等 知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由旋转得： , 90DE DF EDF=  = ，连接DO ，将线段DO 绕点 D逆时针旋转90得DM ，连接FM ，OM ，证明 ( )SASEDO FDM≌ ，则 2FM OE= = ，可得 1 1 5 2 2 OC BC AB= = = ，由OF MF OM−  ，得到OF MF OM + ， 当点 , ,O F M 三点共线时，OF 取得最大值，如图：过点M 作MV BC⊥ 交BC 延长线于点V ，过点M 作MX CD⊥ 于 点 X ，则四边形MXCV 是矩形，证明 ( )AASOCD DXM≌ ，则 5OC DX= = ， 2 5MX CD CV= = = ，故 5CX MV= = ，则由 tan MV COF OV  = 即可求解． 【详解】解：由旋转得： , 90DE DF EDF=  = ， 如图，连接DO ，将线段DO 绕点 D逆时针旋转90得DM ，连接FM ，OM ，则 90 ,ODM DO DM =  = ， ∵ 90EDF ODM =  = ， ∴ EDO FDM =  ， 在 EDO与 FDM 中， DE DF EDO FDM DO DM =   =   = ， 答案第 9 页，共 36 页 ∴ ( )SASEDO FDM≌ ， ∴ 2FM OE= = ， ∵正方形 ABCD中， 2 5AB = ，O是BC 边的中点， ∴ 2 5AB BC CD= = = ， ∴ 1 1 5 2 2 OC BC AB= = = ， ∵OF MF OM−  ， ∴OF MF OM + ， 当点 , ,O F M 三点共线时，OF 取得最大值，如图：过点M 作MV BC⊥ 交BC 延长线于点V ，过点M 作MX CD⊥ 于 点 X ， ∴ 90V MXC XCV =  =  = ， ∴四边形MXCV 是矩形， ∴ ,MV XC MX CV= = ， ∵ 90ODM MXD =  = ， ∴ 90ODC DMX XDM =  = − ， ∵ ,OCD DXM DO DM =  = ， ∴ ( )AASOCD DXM≌ ， ∴ 5OC DX= = ， 2 5MX CD CV= = = ∴ 2 5 5 5CX MV= = − = ， ∴ 5 1 tan 35 2 5 MV COF OV  = = = + ， 故选：B． 11． 41.05 10 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 10na 的形式，其中1 | | 10a  ，n为整数，表 答案第 10 页，共 36 页 示时关键要正确确定 a的值以及 n的值．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1 | | 10a  ，n为整数．确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 10 时， n是正数；当原数的绝对值 1 时，n是负数． 【详解】解： 410500 1.05 10=  ， 故答案为： 41.05 10 12． ( ) 2 2 1a + / ( ) 2 2 1 a+ 【分析】先提取公因式 2，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： 22 4 2a a+ + ( )22 2 1a a= + + ( ) 2 2 1a= + ． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方 法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13．1 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，把 1x = 代入 2 0x a− = 中，计算求解即可． 【详解】解：∵ 1x = 是一元二次方程 2 0x a− = 的一个根 ∴1 0− =a 解得： 1a = 故答案为：1． 14． ( )4, 1− − 【分析】根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】点 ( )4, 1P − 关于 y 轴对称点的坐标为 ( )4, 1− − ． 故答案为 ( )4, 1− − ． 【点睛】此题考查关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于 x 轴对称的 点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 15．48 【分析】根据圆锥的母线长为 12，侧面展开图的圆心角为 120°，根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】如图，∵圆锥的母线长为 12，侧面展开图的圆心角为 120°， ∴∠DAC=120°，扇形 ACD的半径为 AD=12， ∴圆锥的侧面积为： 2120 12 48 360 S    = = ． 答案第 11 页，共 36 页 故答案为：48 ． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 16．4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出抛物线与 y轴的交点坐标为 ( )0 3−， ，根据对称性求出抛物线的对称 轴，进而求出点 A坐标，进一步求出 AB 的长即可． 【详解】解：∵ ( )2 3 0y ax bx a= + −  ， ∴当 0x = 时， = 3y − ， ∴抛物线与 y轴的交点坐标为 ( )0 3−， ， ∵点 ( )2 3C −， 在抛物线 ( )2 3 0y ax bx a= + −  上， ∴抛物线的对称轴为直线： 0 2 1 2 x + = = ， ∵抛物线 ( )2 3 0y ax bx a= + −  与 x轴相交于 A、B两点，点 B的坐标为 ( )3 0， ， ∴点 A坐标为： ( )2 1 3 0 − ， ，即 ( )1 0− ， ， ∴ ( )3 1 4AB = − − = ； 故答案为：4． 17． 1 1m−   或 5m = 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点、二次函数图象的平移、矩形的性质等知识点，掌握数形结合思想 成为解题的关键． 设函数 3C 与 x轴的交点为 ,M N ，其中M N ．利用二次函数的性质易得 ( ) 2 21 4 2 3y x x x= − − + = − + + ，易得点 ( )1,0M − ， ( )3,0N ，进而得到矩形 ACBD的中心点在直线 4 2 2 m m x + − = = ，然后根据 m的取值情况分 11 种情况 分别画出图形运用矩形的性质分别分析判断即可． 【详解】由题意，得函数 3C 的表达式为 ( ) 2 21 4 2 3y x x x= − − + = − + + ． ∴函数 3C 的对称轴为直线 1x = ． 令 0y = ，则 ( ) 2 1 4 0x− − + = ．解得 1 21, 3x x= − = ， 答案第 12 页，共 36 页 ∴点 ( )1,0M − ， ( )3,0N ． ∵点A 的横坐标为m，点 ( )4 ,0B m− ，以 AB 为对角线的矩形 ACBD的中心点是 AB 的中点， 矩形 ACBD的中心点在直线 4 2 2 m m x + − = = 上． ①当 1m  − 时，如图 1：矩形 ACBD的边（包括顶点）与函数 3C 有 4 个交点． ②当 1m = − 时，矩形 ACBD不存在． ③当 1 1m−   时，如图 2 和图 3，矩形 ACBD的边（包括顶点）与函数 3C 有 3 个交点． ④当 1m = 时，如图 4，矩形 ACBD的边（包括顶点）与函数 3C 有 2 个交点． ⑤当1 2m  时，如图 5，矩形 ACBD的边（包括顶点）与函数 3C 有 2 个交点． ⑥当 2m = 时，矩形 ACBD不存在． ⑦当2 3m  时，如图 6，矩形 ACBD的边（包括顶点）与函数 3C 有 1 个交点． ⑧当 3m = 时，矩形 ACBD不存在． ⑨当3 5m  时，如图 7，矩形 ACBD的边（包括顶点）与函数 3C 有 2 个交点． ⑩当 5m = 时（即点 B 与点M 重合）．如图 8，矩形 ACBD的边（包括顶点）与函数 3C 有 3 个交点． ⑪当 5m  时，如图 9，矩形 ACBD的边（包括顶点）与函数 3C 有 4 个交点． 综上所述，当 1 1m−   或 5m = 时，矩形 ACBD的边（包括顶点）与函数 3C 有 3 个交点． 故答案为 1 1m−   或 5m = ． 18．1， 2 ，8，16，32 【分析】本题考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质及勾股定理，先求出三角形内切圆半径及 AD 长，再分 情况讨论，根据相似三角形性质求出即可． 【详解】如图，连接OD 、OE 、 , , ,OF OA OB OC ， 答案第 13 页，共 36 页 Rt ABC△ 中 6AB = ， 10AC = ， 2 210 6 8BC = − = ， OD OE OF= = ( ) 1 2 ABCS AB BC AC OD = + +  1 2 AB BC=  6 8 (6 8 10) 48OD =   + + = 24 2 = 设 AD x= ，则 10CD CE x= = − ， 8 (10 ) 2BE BF x x= = − − = − ， 6 ( 2) 8AF AD x x= = − − = − ， 8x x = − ， 解得 4x = ， 当 t 次前进后，点 P 前进的距离是 t ，点Q 前进的距离是 at ， ①当 90APQ = 时， APQ∽ ABCV ， AP AQ AB AC =∴ ， 6 3 10 5 AP AB AQ AC  = = = ， 4 3 4 5 t at +  = − ， 整理，可得 32 3 5 t a = − ， a为正整数且1 8 a ，  2a = 时， 32t = ； 3a = 时， 8t = ； 7a = 时， 2t = ； ②当 90AQP = 时， APQ∽ ACB△ ， 6 3 10 5 AQ AB AP AC  = = = ， 4 3 4 5 at t −  = + ， 整理，可得 32 5 3 t a = − ， a为正整数且1 8 a ，  1a = 时， 16t = ； 7a = 时， 1t = ； 综上，可得所有满足条件的 t 为1、 2 、8、16、32． 故答案为：1、 2 、8、16、32． 答案第 14 页，共 36 页 19． 1 7 3 k−   【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是解二元一次方程组得出 9 3   2 7 3 k x k y − =  + =  ，根据 0x  ， 0y  ，列出方程组 9 3 0 2 7 0 3 k k −   +   ，解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得： 9 3   2 7 3 k x k y − =  + =  ， ∵ 0x  ， 0y  ， ∴ 9 3 0 2 7 0 3 k k −   +   ， 解得： 1 7 3 k−   ． 20． 1 1x + ， 2 2 【分析】先将括号内的项进行通分化简，再分式的除法法则，结合平方差公式因式分解，化简，最后代入数值解题 即可． 【详解】解： 21 4 1 2 1 2 1 x x x −  −   + −  ( )( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 x x x x x x + −  = −   + + + −  ( )( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 x x x x x + − − =  + + − ( )( ) 2 1 2 1 1 2 1 2 1 x x x x x + − =  + + − 1 1x = + ， ∵ 2 1 0x − + = ， ∴ 2 1x = − ， 原式 1 1 2 22 1 1 2 = = = − + ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21．证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的性质可得EC ED= ，进而由ASA 证 答案第 15 页，共 36 页 明 AEC BED△ △≌ 即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵OE 平分 AOB ，BC OA⊥ 于点C ， AD OB⊥ 于点D ， ∴ EC ED= ， 90ACE BDE =  = ， 又∵ AEC BED =  ， ∴ ( )ASA≌AEC BED△ △ ， ∴ EA EB= ． 22．（1）1，3，88；（2）错误；小明的成绩 84 分低于中位数 88 分，排名在中下游；（3）230 【分析】（1）整理和分析数据即可得出答案； （2）中等偏上应该高于中位数，与中位数进行，小明的成绩低于中位数，说明属于中等偏下； （3）随机抽取 40 名参赛学生中，成绩不低于 85 分的有 23 人，即可估计参赛的 400 名学生能进入决赛的人数． 【详解】由抽取 40 名参赛学生的成绩数据可得： 1a = ， 3b = ， 总共抽取 40 名学生，则中位数取的是第 20 名和第 21 名学生成绩的平均数， 按照从低到高成绩排列，整理数据得：第 20 名、第 21 名成绩均为 88 分 所以中位数 88m= ； （2）错误；小明的成绩 84 分低于中位数 88 分，排名在中下游； （3） 9 14 400 230 40 +  = （人） 答：估计参赛的 400 名学生中能进入决赛的人数约为 230 人 【点睛】本题考查数据的分析与整理，中位数及样本估计总体，解题的关键是根据题目数据得出中位数、样本估计 总体思想的运用． 23．（1） 1 4 ；（2） 3 8 【分析】（1）列出表格展示所有可能的结果，再找到两次摸出的小球标号都是偶数的情况数，利用概率公式，即可 求解； （2）找出两次摸出小球标号的和大于 5 的情况数，再利用概率公式，即可求解． 【详解】解：根据题意，可以用表列出所有可能结果 第 2 次 第 1 次 1 2 3 4 1 ( )1,1 ( )1,2 ( )1,3 ( )1, 4 2 ( )2,1 ( )2, 2 ( )2,3 ( )2, 4 答案第 16 页，共 36 页 3 ( )3,1 ( )3,2 ( )3,3 ( )3,4 4 ( )4,1 ( )4, 2 ( )4,3 ( )4, 4 由表可以看出，从 4 个相同小球中，两次有放回随机各摸出一个小球，可能出现的结果有 16 种，且它们出现的可 能性相等 （1）两次摸出的小球标号都是偶数（记为事件A ）的结果有 4 种，即 ( )2, 2 ， ( )2, 4 ， ( )4, 2 ， ( )4, 4 ． ∴ ( ) 4 1 16 4 P A = = （2）两次摸出小球标号的和大于 5（记为事件 B ）的结果有 6 种，即 ( )2, 4 ，( )3,3 ，( )3,4 ，( )4, 2 ，( )4,3 ，( )4, 4 ． ∴ ( ) 6 3 16 8 P B = = 【点睛】本题主要考查例举法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图以及概率公式是解题的关键． 24．(1)②④； (2)见解析； (3)①见解析；② 10或 4 3 ． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质， 勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可求解； （ 2 ）连接DM AN、 ，由四边形 ABCD是正方形，得 AD AB= ， 90DAB ABC =  = ，然后证明 ( )SASDAM ABN≌ 即可； （3）①根据作垂线的方法即可求解； ②分当CP AB= 时和当 4AC PB= = 时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角线互相平分，不符合题意； ②矩形的对角线相等，符合题意； ③菱形的对角线互相垂直，不符合题意； ④正方形对角线相等，符合题意； 故选：②④， （2）证明：如图1，连接DM AN、 ， 答案第 17 页，共 36 页 ∵四边形 ABCD是正方形， ∴ AD AB= ， 90DAB ABC =  = ， 又∵ AM BN= ， ∴ ( )SASDAM ABN≌ ， ∴DM AN= ， ∴四边形 AMND 是“等线四边形”； （3）解：①如图 2 ，MN 即为所求； ②如图1，当CP AB= 时，设MN 交 AC 交于点D ， AB 与CP 交于点 E ， ∵MN 垂直平分 AC ， ∴ 90PDC ACB =  = ， 2AD DC BC= = = ， ∴ ( )Rt Rt HLACB PDC≌ ， ∴ ABC PCD =  ， ∴ 90BAC PCD + = ， ∴ 90AEC = ， ∵ 2 2 2 24 2 2 5AB AC BC= + = + = ， 答案第 18 页，共 36 页 ∴“等线四边形”的面积为 1 1 · 2 5 2 5 10 2 2 AB CP =   = ； 如图 2 ，当 4AC PB= = 时，设MN 交 AC 交于点G ，过 P 作 PH BC⊥ 交于BC 延长线于点H ，则 90H = ， ∴ 90CGP GCH H =  =  = ， ∴四边形GPHC 是矩形， ∴ 2PH GC= = ，GP CH= ， ∴ 2 2 2 24 2 2 3BH PB PH= − = − = ， ∴ 2 3 2GP CH= = − ， ∴“等线四边形”的面积为 1 1 2 2 AC GP AC BC +  ( )1 14 2 3 2 4 2 4 3 2 2 =   − +   = ， 综上可知：“等线四边形”的面积为10或 4 3 ． 25．(1)中果每千克进价20 元，则大果每千克进价为24 元； (2) 9 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设中果每千克进价 x元，则大果每千克进价为 ( 4)x + 元，根据小李花了 3000 元购买大果，5000 元购买中果， 且购进的中果数量是大果数量的 2 倍．然后列分式方程即可求解． （2）分阶段求出总收入= ( )9912 452a+ 元、总成本 8000= 元，根据总利润=总收入−总成本 ( )1912 452a= + 元，依题 意列不等式即可作答． 【详解】（1）解：设中果每千克进价 x元，则大果每千克进价为 ( 4)x + 元，依题意： ∴ 5000 3000 2 4x x =  + ， 解并检验得： 20x = ， 大果每千克进价为 ( 4) 24x + = 元， 答：中果每千克进价20 元，则大果每千克进价为24 元； （2）解：已知中果购进 5000 250 20 = （千克），大果购进 3000 125 25 = （千克），总成本 5000 3000 8000+ = （元）． 答案第 19 页，共 36 页 第一阶段销售： 中果售价比进价高50%，售价20 1.5 30 = （ 元/千克）． 售出量250 (1 20%) 200 − = （千克），收入 200 30 6000 = （元）． 大果在进价基础上加价4a元，售价 ( )24 4a+ 元/千克．售出量125 (1 40%) 75 − = （千克），收入 ( )75 24 4a + 元． 剩余：中果0.2 250 50 = （ 千克），大果 0.4 125 50 = （千克）． 第二阶段促销（降价销售）： 中果每千克降价 a 元，新售价 (30 a− )元/千克． 剩余50千克中，损坏10千克不能售出，可售量为50 10 40− = （千克），收入 ( )40 30 a − 元． 大果每千克降价5 元，新售价 ( ) ( )24 4 5 19 4a a+ − = + 元/千克． 剩余50千克中，损坏 2 千克不能售出，可售量50 2 48− = 千克，收入 ( )48 19 4a + 元． 总收入 ( ) ( ) ( )6000 75 24 4 40 30 48 19 4 (9912 452a a a a= + + + − + + = + )元， 总利润=总收入−总成本 ( ) ( )9912 452 8000 1912 452a a= + − = + 元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：1912 452 5980a+  ，解得 9a  ， 因此， 9a  ，最小值为 9． 26．(1)见解析 (2)见解析 (3) 5 5 2 【分析】（1）连接OD ．首先由OA OD= ，得到 OAD ODA =  ，然后根据圆周角定理得到 1 2 AOD ACD = ，等 量代换求解即可； （2）过点O 作OP CD⊥ 于点 P ．求出 AFH BEH =  ，然后垂径定理得到EP FP= ， =CP DP ，进而求解即可； （3）过点O 作OP CD⊥ 于点 P ，延长PO交DA的延长线于点G ，连接DB．由OA BO= ，得到 OAB OBA =  ， 然后证明出DB DE= ，得到PG AB，等量代换推出 BAD BAO = ，求出 2DC DP= ， 1 5 DP DG = ，然后求出 6AH = ， 解直角三角形得到BH EH= 2 ，设 EH k= ， 2BH k= ，则 3DB DE k= = + ，勾股定理求出 4BH = ，过点O 作OM AB⊥ 于点M ，解直角三角形求出 5 2 OM = ，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接OD ． 答案第 20 页，共 36 页 OA OD= ， OAD ODA = ∴ ． 180OAD ODA AOD + + = ， 2 180OAD AOD  + = ． 即 1 90 2 OAD AOD +  = ． 弧 AD =弧 AD ， 1 2 AOD ACD  =  ． 90OAD ACD + = ． AB CD⊥ ， 90ACD CAB + = ． CAB OAD =  ． （2）证明：过点O 作OP CD⊥ 于点 P ． OA OB= ，  OAB OBA =  ． AB CD⊥ ，  90OAB AFH + = ， 90OBA BEH + = ．  AFH BEH =  ． OEF BEH = ，  OFE OEF =  ． OE OF= ． OP CD⊥ ，  EP FP= ， =CP DP ． CP FP DP EP− = − CF DE= ． 答案第 21 页，共 36 页 （3）解：过点O 作OP CD⊥ 于点 P ，延长 PO交DA的延长线于点G ，连接DB． OA BO= ，  OAB OBA =  ． ACD ABD =  ， DBE ABD OBA =  + ， 又 DEB BAO ACD =  + ，  DEB DBE =  ．  DB DE= ． AB CD⊥ ，  90AHD OPD = =   PG AB．  BAD G =  ， BAO AOG = ． CAB OAD =  ，  CAF BAD =  ． DEB BAO ACD OEF OFE ACD CAF =  + =  =  =  + ，  BAO CAF =  ．  BAD BAO = ．  AOG G=∠ ∠ ．  AO AG= ．  AD AO AD AG DG+ = + = ． OP CD⊥ ，  2DC DP= ． 5 2 AO AD CD+ = ，  1 5 DP DG = ． 2 2 2DP PG DG+ = ，  2 tan PG AH PDG DP DH = =  = ． 3DH = ， 答案第 22 页，共 36 页  6AH = ． OAB AOG =  ，  G ABO =  ．  PDG BEH = ．  tan 2BEH =  BH EH= 2 ． 设 EH k= ， 2BH k= ，则 3DB DE k= = + ． 2 2 2DH BH DB+ = ，  ( ) ( ) 2 223 2 3k k+ = + ．  1 0k = （舍去）， 2 2k = ．  4BH = ．  10AB AH BH= + = ． 过点O 作OM AB⊥ 于点M ．  5AM = ． 1 tan tan 2 OM OAM G AM  =  = = ，  5 2 OM = ．  2 2 5 5 2 AO AM OM= + = ．  O 的半径为 5 5 2 ． 【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 27．(1) 2= 2 3y x x− − (2) ( )2, 3P − 或 3 15 , 2 4   −    (3)定点T 的坐标为 ( )2, 4− 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、抛物线与直线交点问题、二次函数面积问题，相似三角形的性质与判 定，一元二次方程根与系数的关系等，利用参数表示直线解析式是解题的关键． （1）先求出点C 坐标，再求出点 B 坐标，代入求出b 值即可； （2）设 ( )2, 2 3P t t t− − ，求出直线 AP 解析式，得到点D 坐标，求出EP 解析式得到点F 坐标，进而利用四边形面积 建立关于 t 的方程求解即可； （3）联立抛物线与直线解析式得 ( )4,5D ，设直线 l 的解析式为 y kx b= + ，进而可得 2M Nx x k+ = + ， 3M Nx x b= − − ，过