第08讲 命题、定义、定理与证明（知识梳理+3课本习题典例+9题型+过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第08命题、定义、定理与证明 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 定义 概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义。 【要点提示】 1.定义必须是严密的，不能使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等。 2.正确的定义能把被定义的事物或名词的本质属性反映出来。 3.定义是几何说理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用。 知识点2 命题 1.概念:判断一件事情的句子叫做命题。 2.命题的组成:命题由条件(题设)和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 3.命题的形式:命题一般为“如果….，那么……”的形式，其中“如果”后接的是条件，“那么”后接的是结论。有些命题的条件和结论不明显，可将它们经过适当变形，改写成“如果……，那么……”的形式。 4命题的种类： (1)真命题:如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题。 (2)假命题:命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题。 5.反例:举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例.在数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。 知识点3 证明 1.概念:根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。 2.定理:经过证明的真命题称为定理。 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： (1)根据题意，画出图形。 (2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证。 (3)写出证明过程。 知识点4 定理 定义：经过证明的真命题称为定理。定理是在一定的数学体系中，通过严格的逻辑推理和证明得到的具有普遍正确性的命题。 课本典例1（习题12.1第1题） 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1) 两个钝角的和大于平角； (2) 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。 课本典例2（习题12.1第2题） 判断命题 “当a是整数时，一定成立” 是真命题还是假命题，并说明理由。 课本典例3（习题12.1第3题） 把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式：(1) 全等三角形的对应角相等；(2) 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。 课本典例4（习题12.1第6题） 如图，已知，，求证：。 题型一 判断是否是命题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．两直线相交有几个交点 C．同位角相等 D．连接，两点 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列句子中属于命题的是（   ） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）下列语句中是命题的有（　　） ①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ②你喜欢数学吗？ ③取线段的中点． ④角平分线上的点到角两边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列语句是命题的是（　　） A．画线段 B．内错角相等吗 C．用量角器画 D．对顶角相等 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 题型二 判断命题真假 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，为假命题的是（   ）． A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 D．三角形两边之和大于第三边 7．（24-25八年级上·重庆·期中）下列命题正确的是（   ） A．同角或等角的余角相等 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．无限小数是无理数 D．同旁内角互补 8．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有 ．（填序号） ①如果，，则；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；⑤互补的两个角是邻补角；⑥过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条；⑦有理数和数轴上的点一一对应． 9．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列命题： ①有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．是无理数 B．16的算术平方根是 C．内错角相等 D．相等的角是对顶角 题型三 举例说明假（真）命题 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 13．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例的是（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（24-25八年级上·上海·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 题型四 写出命题的题设与结论 16．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 17．（22-23七年级下·广西南宁·期中）把命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式： ． 18．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 19．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 20．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 题型五 写出一个命题的已知、求证及证明过程 21．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 22．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 23．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）证明命题“三角形的外角和等于”是真命题． 已知： 求证： 证明： 24．（17-18七年级下·江苏南京·期中）证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 25．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 题型六 已知证明过程填写理论依据 26．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 27．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 28．（21-22七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 题型七 根据给出的论断组命题并证明 29．（22-23八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 30．（21-22七年级下·河南商丘·期中）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 31．（21-22七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 32．（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)． 题型八 写出正确逆命题 33．（23-24八年级上·全国·单元测试）写出下列命题的逆命题，并判断其真假： (1)三角形的内角和等于 (2)互为相反数的两数的绝对值相等 (3)同号两数相乘，积为正数 (4)钝角三角形有两个锐角． 34．（23-24八年级上·安徽·期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 35．（23-24八年级上·全国·单元测试）写出符合下列条件的一个原命题： (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题： (4)原命题和逆命题都是假命题． 36．（23-24八年级上·全国·单元测试）命题“等角的余角相等”的条件为 ，结论为 它的逆命题为 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 题型九 定理与证明 37．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 38．（19-20八年级下·浙江杭州·期末）假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞0 39．（19-20七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 40．（19-20八年级上·全国·课后作业）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 一、单选题 1．（17-18七年级下·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角相等 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．对顶角相等 2．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）在下列命题中，假命题是（   ） A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列命题中，真命题的是（　　） A．三角形的内角和等于 B．相等的两个角是对顶角 C．两直线被第三条直线所截，内错角相等 D．平行于同一条直线的两直线不平行 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．如果，那么 C．内错角相等 D．同旁内角互补 5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）通过本学期第七章的学习我们明白了：仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．而在数学发展史上，数学家们也遇到了“已经知道的真命题又是如何证实的？”这一问题，而源于希腊数学家的一本数学著作解决了这一问题．它以公理和原始概念为基础推演出更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法（称为公理化方法），这本数学著作是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）下列命题：①如果，那么；②如果两个角相等，那么这两个角为同位角；③如果，那么；④如果与互补，那么，其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明：“已知：在中，，求证：．”则第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河南新乡·期末）下列命题：①实数与数轴上的点是一一对应的；②平方根和立方根相等的数有和；③带根号的数是无理数；④无限小数都是无理数；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥内错角相等．其中真命题的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（24-25八年级上·河南新乡·期中）下列命题中，假命题是（  ） A．的绝对值是2 B．对顶角相等 C．在同一平面内，如果直线，，那么直线 D．1.01001000100001…是有理数 二、填空题 11．（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ， 那 么 ． 12．（24-25八年级上·福建泉州·期末）命题“的立方根等于”是 命题填“真”或“假” 13．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）要说明命题“若，则”是假命题，举一个反例可以是：a的值为 ，b的值为 ． 14．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）下列命题： ①两直线平行，同旁内角相等； ②实数与数轴上的点一一对应； ③是无理数； ④三角形的一个外角大于任何一个内角． 其中，不是真命题的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 15．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列命题是真命题的是 （填序号）．①内错角相等；②周长相等的两个三角形全等；③若，则；④若，则． 三、解答题 16．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）在有理数运算、整式运算的学习中．我们感受到：这部分内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律．请你类比方法解决下列问题： 观察下列等式，并回答问题： (1)将写成两个正整数平方差的形式：__________； (2)观察、归纳，得出猜想：用含有字母（，且为整数）的等式表示上述的规律为：__________； (3)验证：用已学的知识验证上述发现的规律； (4)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是的倍数．这个命题是__________命题（填“真”或“假”）． 17．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知实数a，b，c，m，n满足，． (1)求证：为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 提示：因北师大版八年级上未学因式分解，故可用乘法分配律的逆用公式，即：． 18．（24-25八年级上·河南周口·期中）（1）如图，，，，试说明； （2）若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 19．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）命题：一定是无理数．请判断命题的真假性并说明理由． 20．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08命题、定义、定理与证明 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 定义 概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义。 【要点提示】 1.定义必须是严密的，不能使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等。 2.正确的定义能把被定义的事物或名词的本质属性反映出来。 3.定义是几何说理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用。 知识点2 命题 1.概念:判断一件事情的句子叫做命题。 2.命题的组成:命题由条件(题设)和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 3.命题的形式:命题一般为“如果….，那么……”的形式，其中“如果”后接的是条件，“那么”后接的是结论。有些命题的条件和结论不明显，可将它们经过适当变形，改写成“如果……，那么……”的形式。 4命题的种类： (1)真命题:如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题。 (2)假命题:命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题。 5.反例:举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例.在数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。 知识点3 证明 1.概念:根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。 2.定理:经过证明的真命题称为定理。 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： (1)根据题意，画出图形。 (2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证。 (3)写出证明过程。 知识点4 定理 定义：经过证明的真命题称为定理。定理是在一定的数学体系中，通过严格的逻辑推理和证明得到的具有普遍正确性的命题。 课本典例1（习题12.1第1题） 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1) 两个钝角的和大于平角； (2) 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。 【答案】(1) 真命题。设两个钝角分别为，，因为钝角大于，即，，所以，也就是两个钝角的和大于平角。(2) 假命题。反例：当两条不平行的直线被第三条直线所截时，同位角不相等。比如在任意一个三角形中，一边所在直线与另外两边所在直线相交，所形成的同位角不相等 。 【解析】对于 (1)，根据钝角和平角的定义，通过不等式运算得出两个钝角和大于平角；对于 (2)，依据同位角相等的前提条件是两直线平行，找到不平行直线被第三条直线所截的情况作为反例。 【点睛】判断命题真假时，真命题需依据定义、定理等进行严格推理证明，假命题只需找到一个反例即可，要准确把握相关数学概念的条件和结论。 课本典例2（习题12.1第2题） 判断命题 “当a是整数时，一定成立” 是真命题还是假命题，并说明理由。 【答案】假命题。当时，，此时，即 ，与矛盾。 【解析】要判断该命题真假，可通过找特殊值代入验证。当取这个整数时，计算并与a比较大小，发现不满足 。 【点睛】判断一个关于数的命题真假，可尝试代入特殊值进行验证，若能找到不符合命题结论的值，则该命题为假命题。 课本典例3（习题12.1第3题） 把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式：(1) 全等三角形的对应角相等；(2) 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。 【答案】(1) 如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等。(2) 如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形。 【解析】“如果” 后面接的是命题的条件，“那么” 后面接的是命题的结论。对于 (1)，条件是两个三角形全等，结论是对应角相等；对于 (2)，条件是等腰三角形有一个角为，结论是该三角形是等边三角形。 【点睛】将命题改写成 “如果……，那么……” 形式，关键是准确区分命题的条件和结论，使改写后的语句逻辑清晰、表意明确。 课本典例4（习题12.1第6题） 如图，已知，，求证：。 【答案】因为，根据两直线平行，同位角相等，可得。又因为，把代入，得到。根据同旁内角互补，两直线平行，所以。 【解析】先利用这一条件，根据平行线性质得到与相等，再通过等量代换将转化为，最后依据平行线判定定理得出。 【点睛】本题关键在于熟练运用平行线的性质和判定定理，通过等量代换实现角的关系转化，从而证明两直线平行。 题型一 判断是否是命题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．两直线相交有几个交点 C．同位角相等 D．连接，两点 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、延长线段AB，不是命题，不符合题意； B、两直线相交有几个交点？不是命题，不符合题意； C、同位角相等，是命题，符合题意； D、连接，两点，不是命题，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列句子中属于命题的是（   ） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 根据命题的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、美丽的天空，不是命题，故此选项不符合题意； B、你的作业完成了吗？，不是命题，故此选项不符合题意； C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，故此选项不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是命题，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）下列语句中是命题的有（　　） ①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ②你喜欢数学吗？ ③取线段的中点． ④角平分线上的点到角两边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 根据命题的定义逐个进行判断即可． 【详解】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是命题； ②你喜欢数学吗？不是命题； ③取线段的中点，不是命题； ④角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题； ∴①④是命题，共2个， 故选：B． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列语句是命题的是（　　） A．画线段 B．内错角相等吗 C．用量角器画 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、画线段，没有做出判断，不是命题，不符合题意； B、内错角相等吗，没有做出判断，不是命题，不符合题意； C、用量角器画∠，没有做出判断，不是命题，不符合题意； D、对顶角相等，做出了判断，是命题，符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 题型二 判断命题真假 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，为假命题的是（   ）． A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角，平行线的性质，补角，和三角形的三边关系逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题为真命题，不符合题意； B、同旁内角不一定互补，原命题为假命题，符合题意； C、等角的补角相等，原命题为真命题，不符合题意； D、三角形两边之和大于第三边，原命题为真命题，不符合题意； 故选B． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）下列命题正确的是（   ） A．同角或等角的余角相等 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．无限小数是无理数 D．同旁内角互补 【答案】A 【分析】本题考查了真命题，平行线的性质，无理数的定义，余角的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、同角或等角的余角相等，故该选项符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，故该选项不符合题意； D、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该选项不符合题意； 故选：A． 8．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有 ．（填序号） ①如果，，则；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；⑤互补的两个角是邻补角；⑥过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条；⑦有理数和数轴上的点一一对应． 【答案】④ 【分析】根据平行线的判定和性质，命题真假的判定，相关的数学知识判断解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，命题真假的判定，相关的数学知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：①如果，，未添加条件“在同一平面内”，无法判断a与c的关系，故①中命题是假命题； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②中命题是假命题； ③两直线平行，同位角相等，故③中命题是假命题； ④如图，，平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即， ∴同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，故④中命题是真命题； ⑤互补的两个角不一定是邻补角，故⑤中命题是假命题； ⑥在同一平面内，过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条，故⑥中命题是假命题； ⑦有理数和数轴上的点不是一一对应，故⑦中命题是假命题． 故答案为：④． 9．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列命题： ①有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握课本中的性质定理． 判断是否为真命题，需要分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法可得到答案． 【详解】解：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故①正确； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故③错误； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确， 即正确的命题有3个． 故选：D． 10．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．是无理数 B．16的算术平方根是 C．内错角相等 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理．利用无理数，算术平方根，平行线的性质，对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、是无理数，是真命题，本选项符合题意； B、16的算术平方根是4，原命题是假命题，本选项不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，本选项不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，本选项不符合题意． 故选：A． 题型三 举例说明假（真）命题 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了假命题的反例，绝对值的性质， 根据时，判断是否成立即可解答． 【详解】解：当时，，所以该命题是假命题． 故选：C． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了假命题，根据假命题的定义逐项判断即可求解，掌握假命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、，时，，但，能说明命题是假命题，该选项符合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 13．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查举反例，证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．根据题目的要求举一个反例即可． 【详解】解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：， ∵，但是， ∴B正确； 故选：B． 14．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可． 【详解】解：A、，，同时满足条件和结论，故不符合题意； B、，，不满足条件“两个锐角”，故不符合题意； C、，，满足条件“两个锐角”，不满足结论“和是锐角”，符合题意； D、，，不满足条件“两个锐角”，故不符合题意． 故选：C． 15．（24-25八年级上·上海·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了举反例，根据题意可知原命题的反例是满足，但是，据此可得答案． 【详解】解：A、当时，，但是，故此选项符合题意； B、当时，，故此选项不符合题意； C、当时，，但是，故此选项不符合题意； D、当时，，但是，故此选项不符合题意； 故选：A． 题型四 写出命题的题设与结论 16．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ， （两直线平行，同旁内角互补） ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 17．（22-23七年级下·广西南宁·期中）把命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角是邻补角．那么它们互补． 【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“邻补角互补”改写为“如果…那么…”的形式是：如果两个角是邻补角．那么它们互补， 故答案为：如果两个角是邻补角．那么它们互补． 18．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理的知识，难度适中，解题的关键是：先将原命题改写成：如果…，那么…的形式． 改写成“如果…那么…”的形式，如果后面的文字就是条件． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”改写为如果两直线平行，那么同位角相等， 所以条件是两直线平行， 故选：A． 19．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行 【分析】本题考查了一个命题写成“如果…那么…”的形式，一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析解答即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”， ∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”， 故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行． 20．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 题型五 写出一个命题的已知、求证及证明过程 21．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 22．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 23．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）证明命题“三角形的外角和等于”是真命题． 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及邻补角，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键．根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明即可． 【详解】已知：如图所示，分别为三个外角， 求证：． 证明：∵，，， ∴ ∵， ∴． 24．（17-18七年级下·江苏南京·期中）证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】见解析 【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可． 【详解】已知：如图，直线中，，，    求证：． 证明：作直线的截线，交点分别为．    ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 25．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 题型六 已知证明过程填写理论依据 26．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 27．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 28．（21-22七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 题型七 根据给出的论断组命题并证明 29．（22-23八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 30．（21-22七年级下·河南商丘·期中）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 31．（21-22七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 32．（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)． 【答案】（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析． 【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假． 【详解】解：（1）有：如果那么； 如果那么； 如果，那么； （2）如图： ∵AB∥CD， ∴∠B=∠CDF， ∵∠B=∠C， ∴∠C=∠CDF， ∴CE∥BF， ∴∠E=∠F， ∴如果那么为真命题； ∵AB∥CD， ∴∠B=∠CDF， ∵∠E=∠F， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF， ∴∠B=∠C， ∴如果那么为真命题； ∵∠E=∠F， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠CDF， ∴AB∥CD， ∴如果，那么为真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 题型八 写出正确逆命题 33．（23-24八年级上·全国·单元测试）写出下列命题的逆命题，并判断其真假： (1)三角形的内角和等于 (2)互为相反数的两数的绝对值相等 (3)同号两数相乘，积为正数 (4)钝角三角形有两个锐角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据逆命题的定义，结合所学相关的知识判断真假即可． 本题考查了逆命题的书写，命题真假的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：内角和等于的多边形是三角形，真命题． （2）解：绝对值相等的两个数互为相反数，假命题． （3）解：积为正数的两个数同号，真命题． （4）解：有两个锐角的三角形是钝角三角形，假命题，如等边三角形． 34．（23-24八年级上·安徽·期末）“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判定，先写出命题的逆命题，再判断即可. 【详解】解：命题“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 “如果，那么，互为倒数”， 逆命题是真命题； 故答案为：真 35．（23-24八年级上·全国·单元测试）写出符合下列条件的一个原命题： (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题： (4)原命题和逆命题都是假命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了命题的真假，熟练掌握命题的有关概念是解题的关键． （1）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （2）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （3）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （4）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可． 【详解】（1）解：两直线平行，内错角相等（答案不唯一）； （2）解：相等的角是对顶角（答案不唯一）； （3）解：所有直角都相等（答案不唯一）； （4）解∶内错角不相等，两直线平行（答案不唯一）． 36．（23-24八年级上·全国·单元测试）命题“等角的余角相等”的条件为 ，结论为 它的逆命题为 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果两个角与另外两个相等的角互余 这两个角相等 如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余 假 【分析】本题考查了逆命题，判断一个命题的逆命题的真假，根据互逆命题的定义先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可，正确写出原命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：“等角的余角相等” 的条件为为如果两个角与另外两个相等的角互余， 结论为那么这两个角相等， 它的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余，逆命题是这是一个假命题， 故答案为：如果两个角与另外两个相等的角互余，这两个角相等；如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余，假． 题型九 定理与证明 37．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意； B、定理都是真命题，正确，符合题意； C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意； D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 38．（19-20八年级下·浙江杭州·期末）假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞0 【答案】D 【分析】由于a≤0的反面为a＞0，则假设命题“a≤0”不成立，则有a＞0． 【详解】解：假设命题“a≤0”不成立，则a＞0． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 39．（19-20七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【答案】C 【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误； B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误； C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确； D、定理不可能是假命题，所以本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键． 40．（19-20八年级上·全国·课后作业）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 【答案】（1）垂线段最短；（2） ， ， ， . 【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可； （2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短． 故答案为垂线段最短． （2）根据题意，当时， 有：（SSS）， 所依据的数学公理是SSS； 故答案为 ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS证明全等三角形的判定定理. 一、单选题 1．（17-18七年级下·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角相等 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题真假的判断．根据平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、同位角相等，两直线平行，真命题，本选项不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，本选项符合题意； C、平行于同一条直线的两直线平行，真命题，本选项不符合题意； D、对顶角相等，真命题，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）在下列命题中，假命题是（   ） A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，垂线的性质，平行线的性质，平行公理推论等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质、定义和推论． 利用邻补角的定义，垂线的性质，平行线的性质，平行公理推论等知识逐项进行判断即可． 【详解】A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补，根据邻补角的性质可知：互为邻补角的两个角相加等于，故该命题正确，不符合题意； B．根据垂线的性质可知：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该命题正确，不符合题意； C．根据平行线的性质可知：如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故该命题错误，符合题意； D．根据平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该命题正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列命题中，真命题的是（　　） A．三角形的内角和等于 B．相等的两个角是对顶角 C．两直线被第三条直线所截，内错角相等 D．平行于同一条直线的两直线不平行 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据三角形内角和定理、对顶角的概念、平行线的性质、平行公理的推论判断即可． 【详解】解：A、三角形的内角和等于，是真命题，符合题意； B、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题是假命题，不符合题意； C、两平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意； D、平行于同一条直线的两直线平行，原命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．如果，那么 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，熟练掌握对顶角，平行线的性质是解题的关键． 先根据对顶角的定义、平行线的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A，相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意； B，如果 ，那么 ，是真命题，符合题意； C，内错角不一定相等，原命题错误，不符合题意； D，同旁内角不一定互补，原命题错误，不符合题意． 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、满足，故该选项不符合题意； B、不满足，故该选项符合题意； C、满足，故该选项不符合题意； D、满足，故该选项不符合题意； 故选：B 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）通过本学期第七章的学习我们明白了：仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．而在数学发展史上，数学家们也遇到了“已经知道的真命题又是如何证实的？”这一问题，而源于希腊数学家的一本数学著作解决了这一问题．它以公理和原始概念为基础推演出更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法（称为公理化方法），这本数学著作是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数学著作，熟练掌握《几何原本》中公理化思想是解题的关键，根据《几何原本》体现了公理化思想进行判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，数学著作《几何原本》体现的是公理化思想， 故选：D． 7．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）下列命题：①如果，那么；②如果两个角相等，那么这两个角为同位角；③如果，那么；④如果与互补，那么，其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，根据绝对值、同位角的概念、实数的大小比较、补角的概念判断即可．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：①如果，那么，故本小题命题是假命题； ②两个角相等，这两个角不一定是同位角，故本小题命题是假命题； ③如果，那么，是假命题，例如：，而； ④如果与互补，那么，是真命题； 故选：C． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明：“已知：在中，，求证：．”则第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反证法的步骤“①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确”，熟练掌握反证法的步骤是解题关键．根据反证法的步骤即可得． 【详解】解：反证法的第一步是：假设命题结论的反面正确， 所以第一步应先假设， 故选：C． 9．（24-25八年级上·河南新乡·期末）下列命题：①实数与数轴上的点是一一对应的；②平方根和立方根相等的数有和；③带根号的数是无理数；④无限小数都是无理数；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥内错角相等．其中真命题的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了命题真假判断，涉及实数的相关知识，垂线唯一性与平行公理等知识；根据实数与数轴上的点一一对应可判断①，根据平方根与立方根的定义可判断②，根据无理数定义可判断③④，根据垂线的性质可判断⑤，根据平行线的性质可判断⑥，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①实数与数轴上的点是一一对应的，说法正确，是真命题； ②平方根和立方根相等的数只有，说法错误，是假命题； ③带根号的数也可能是有理数，如是有理数，说法错误，是假命题； ④无限不循环小数都是无理数，说法错误，是假命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法错误，是假命题； ⑥两直线平行，内错角相等，说法错误，是假命题． ∴真命题的个数是1个， 故选：A． 10．（24-25八年级上·河南新乡·期中）下列命题中，假命题是（  ） A．的绝对值是2 B．对顶角相等 C．在同一平面内，如果直线，，那么直线 D．1.01001000100001…是有理数 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．由绝对值的意义，对顶角的性质，平行公理的推论，无理数，即可判断． 【详解】解：A、的绝对值是2，原命题正确，不符合题意； B、对顶角相等，原命题正确，不符合题意； C、在同一平面内，如果直线，，那么直线，原命题正确，不符合题意； D、1.01001000100001…是无理数，原命题错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ， 那 么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等. 12．（24-25八年级上·福建泉州·期末）命题“的立方根等于”是 命题填“真”或“假” 【答案】真 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据立方根的概念判断即可． 【详解】解：的立方根等于， 命题“的立方根等于”是真命题， 故答案为：真． 13．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）要说明命题“若，则”是假命题，举一个反例可以是：a的值为 ，b的值为 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：当，，满足， 但是， ∴说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：，，， 故答案为：，（答案不唯一）． 14．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）下列命题： ①两直线平行，同旁内角相等； ②实数与数轴上的点一一对应； ③是无理数； ④三角形的一个外角大于任何一个内角． 其中，不是真命题的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了判断命题的真假、平行线的性质、实数与数轴、三角形外角的性质，根据平行线的性质、实数与数轴、无理数的定义、三角形外角的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，不是真命题， ②实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确，是真命题； ③是有理数，故原说法错误，不是真命题， ④三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原说法错误，不是真命题， 综上所述，不是真命题的是①③④， 故答案为：①③④． 15．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列命题是真命题的是 （填序号）．①内错角相等；②周长相等的两个三角形全等；③若，则；④若，则． 【答案】③ 【分析】本题考查判断命题的真假，利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断． 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项为假命题，不符合题意； ②周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为3、4、5的三角形和一个边长为4、4、4的三角形，它们的周长都是12，但它们不是全等三角形，故该选项为假命题，不符合题意； ③若，则，该命题是真命题，故该选项符合题意； ④若，则，比如，但，故该选项为假命题，不符合题意； 故答案为：③． 三、解答题 16．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）在有理数运算、整式运算的学习中．我们感受到：这部分内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律．请你类比方法解决下列问题： 观察下列等式，并回答问题： (1)将写成两个正整数平方差的形式：__________； (2)观察、归纳，得出猜想：用含有字母（，且为整数）的等式表示上述的规律为：__________； (3)验证：用已学的知识验证上述发现的规律； (4)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是的倍数．这个命题是__________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 (4)真 【分析】（）根据即可求解； （）由等式规律可得，即可求解； （）展开计算验证即可； （）设两个相邻奇数分别为和，由平方差公式进行计算即可判断求出； 本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：设两个相邻奇数分别为和， 则 ， ∴两个相邻奇数的平方差一定是的倍数，该命题是真命题， 故答案为：真． 17．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知实数a，b，c，m，n满足，． (1)求证：为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 提示：因北师大版八年级上未学因式分解，故可用乘法分配律的逆用公式，即：． 【答案】(1)证明见解析； (2)m，n不可能都为整数，理由见解析 【分析】（1）根据，得到，再代入，经化简得到，根据非负数的概念，即可证明答案； （2）利用反证法，若都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别利用已知条件推理，得出与已知矛盾的结论，即可证明． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 则 ， 因为a，m，n是实数， 所以， 所以为非负数； （2）解：m，n不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数， ①当m，n都为奇数时，则必为偶数， 又，所以， 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾； ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数， 又因为，所以， 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾； 综上所述，m，n不可能都为整数． 【点睛】本题考查了反证法，完全平方公式，乘法分配律的逆用，非负数的概念，熟练掌握反证法是解题的关键． 18．（24-25八年级上·河南周口·期中）（1）如图，，，，试说明； （2）若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）真命题，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，真假命题，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性质运用． （1）根据平行线的性质证明，，等量代换可证； （2）根据平行线的性质证明，等量代换可证，从而可证，然后根据平行线的性质可证所得的命题是真命题． 【详解】解：（1）， ． ，， ， ， ； （2）是真命题，理由： ， ． ， ， ． ， ． 19．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）命题：一定是无理数．请判断命题的真假性并说明理由． 【答案】假命题，理由见解析 【分析】本题考查了真假命题的判断，无理数的定义，理解命题的条件与结论的含义是解本题的关键． 假命题，只需举反例就可以，故当时，是有理数，继而得到为假命题． 【详解】解：假命题 当时，是有理数，故命题为假命题． 20．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒① (2)选择命题1：①②⇒③，证明见解析；选择命题2：②③⇒①，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三个条件写出真命题即可； （2）选取①②⇒③，然后根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，即可得到，进而求出即可解题．选取命题2：②③⇒①，先根据垂直和平角的定义得到，进而得到,然后根据三角形的内角和定理得到即可证明结论． 【详解】（1）解：上述问题有两个真命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①． （2）选择命题1：①②⇒③． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 选取命题2：②③⇒①． 证明: ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$