第11讲 逆命题与逆定理（知识梳理+3课本习题典例+8题型+过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第11讲 逆命题与逆定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 互逆命题与互逆定理 1. 命题的结构与改写：能准确分析命题的条件和结论，将命题写成 “如果…… 那么……” 的形式。 2. 互逆命题的概念与判断：理解互逆命题的定义，能写出一个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。 3. 互逆定理的概念与判断：掌握互逆定理的定义，知道一个定理的逆命题经过证明是正确的，才能称为逆定理；能判断两个定理是否为互逆定理。 知识点2 线段垂直平分线性质定理及其逆定理 1. 性质定理的应用：理解线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；能运用该定理进行相关的计算和证明，如求线段长度、证明线段相等。 2. 逆定理的应用：掌握线段垂直平分线的逆定理，即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；能利用逆定理证明点在线段的垂直平分线上，进而解决相关几何问题。 3. 尺规作图：能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。 知识点3 角平分线性质定理及其逆定理 1. 性质定理的应用：牢记角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等；能运用该定理进行几何计算和证明，如证明三角形全等、求线段长度等。 2. 逆定理的应用：理解角平分线的逆定理，即角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；能通过证明点到角两边距离相等来确定点在角的平分线上，解决与角平分线相关的问题。 3. 三角形角平分线的性质：了解三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等。 课本典例1（习题12.4第3题） 如图，在中，，，BD是的平分线，交AC于点D。求证：点D在AB的垂直平分线上。 【答案】因为在中，，，根据三角形内角和为，可得。 因为BD是的平分线，所以。 则，所以（等角对等边）。 根据线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以点D在AB的垂直平分线上。 【解析】先利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线定义得到的度数，通过等角对等边证明，最后依据线段垂直平分线逆定理得证。 【点睛】本题关键是掌握角平分线性质、等腰三角形判定以及线段垂直平分线逆定理，通过角度计算和边的关系证明点在线段垂直平分线上。 课本典例2（习题12.4第4题） 如图，，，垂足分别是点A和点B，，求证：点C在的平分线上。 【答案】因为，所以（等角对等边）。 又因为，，即CA、CB分别是点C到两边的距离。 根据角平分线的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，所以点C在的平分线上。 【解析】先由等角对等边得到，再结合CA、CB分别垂直于的两边，根据角平分线逆定理得证。 【点睛】本题重点是理解等角对等边以及角平分线逆定理，通过边的关系和点到角两边距离情况来证明点在角平分线上。 课本典例3（习题12.4第8题） 如图，在中，，斜边AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，。求证：，并求出和的度数。 【答案】连接AE 因为DE是AB的垂直平分线，所以（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），则。因为，，，根据角平分线的逆定理可知AE是的平分线，所以。 那么，又因为，所以。在中，，根据三角形内角和为，即，把代入可得，，解得，则。 【解析】连接AE后，利用线段垂直平分线性质得到推出 ，再由结合角平分线逆定理得到AE平分，得出关系，最后根据直角三角形两锐角和为求出角度。 【点睛】本题综合运用线段垂直平分线性质、角平分线逆定理，通过角度间的等量代换求出角的度数，关键在于合理添加辅助线并利用相关定理建立角度关系。 题型一 写出命题的逆命题 1．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）等腰三角形两底角相等的逆命题是 ． 【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，命题中有题设和结论，将题设和结论互换一下，就可以得到原命题的逆命题． 【详解】解：等腰三角形两底角相等的逆命题是，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 2．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了命题与逆命题，掌握命题的题设和结论是解题的关键．交换命题的题设和结论的位置，即可得出命题的逆命题． 【详解】解：命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 ． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解．本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 4．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 ． 【答案】“面积相等的两个三角形是全等三角形” 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的结论和条件互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”， 故答案为：“面积相等的两个三角形是全等三角形”． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）请写出定理“等边对等角”的逆定理： ． 【答案】等角对等边 【分析】本题考查了定理和逆定理．定理是经过推理证明得到的真命题，可以作为推理论证的依据，它的逆命题如果也是真命题，那么它的逆命题也是定理，即一个定理和它的逆定理的题设和结论正好相反． 等边对等角的题设是等边，结论是等角，故它的逆定理的题设是等角，结论是等边，由此即可得解． 【详解】解：定理“等边对等角”的逆定理是“等角对等边”． 故答案为：等角对等边． 题型二 判定是否为互逆命题 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 8．（22-23八年级下·吉林松原·阶段练习）下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 10．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 题型三 利用线段垂直平分线的性质求解 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质回答即可． 【详解】解: 直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（   ） A．17 B．22 C．29 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．先根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为，， 的周长为 ， 故选：B． 13．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ．    【答案】17 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质，连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，则，根据三角形三边之间的关系得到（当且仅当A、P、C共线时取等号），则的最小值为的长，所以周长的最小值． 【详解】解：连接，如图，    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵（当且仅当A、P、C共线时取等号）， ∴的最小值为的长， ∴周长的最小值． 故答案为：17． 14．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【详解】（1）证明：∵，垂足为D，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 题型四 线段垂直平分线的判定 16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可． 【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点， ∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B 17．（24-25八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过证明三角形全等来验证筝形的性质． 根据全等三角形的判定和性质逐个证明即可得到结果． 【详解】在和中 ， 故③正确； 在与中， ， ， 故①②正确， 综上①②③正确，正确的结论共3个， 故选：D． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 20．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，等角对等边，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等角对等边得到，再证明，即可证明； （2）证明，得到，则可证明，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分线． 题型五 作已知直线的垂直平分线 21．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，． (1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数（写出推理过程）． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键 （1）根据角平分线的作图方法、线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由角平分线的定义可得 ，由线段垂直平分线的性质可得，则． 【详解】（1）解：如图，射线和直线即为所求： （2）解：连接， ∵为的角平分线∶ ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，平分，边的垂直平分线l分别交，，于点E，F，． (1)尺规作图：作的垂直平分线l，并标出点E，F，保留作图痕迹，不写作法； (2)连接，若，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）利用尺规作图作的垂直平分线l，分别交，，于点E，F，G即可； （2）根据垂直平分线的性质和，证明，再证明，得，进而可得垂直平分． 【详解】（1）解：如图，的垂直平分线l，分别交，，于点E，F，G，点E，F，G即为所求； （2）证明：是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 垂直平分． 23．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． (2)连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是 【分析】本题主要考查了尺规作图之作线段的垂直平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，前后弧相交，然后过弧交点作直线交于E，于D即可； （2）由垂直平分得，从而即可求得的周长． 【详解】（1）解：如图所示，是边的垂直平分线． （2）解：是边的垂直平分线， ， ， 又， ， 答：的周长是． 24．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，，，． (1)求证：． (2)用直尺和圆规作图：过点A作，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，以及垂直平分线作法，解题的关键在于结合等腰三角形性质理解过点A作，即作的垂直平分线． （1）根据题意证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用等腰三角形底边上三线合一，可知过点A作，即作的垂直平分线，根据垂直平分线作法作图，即可解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求． 25．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确的作出垂直平分线． （1）依据线段垂直平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理求出，由线段垂直平分线的性质可知，由等边对等角得到，然后求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 题型六 利用角平分线的性质求解 26．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ． 故选：A． 27．（22-23八年级下·广东清远·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的高， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∵， ∴的面积等于， 故答案为：8． 28．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度． 【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， 即， ∴． 故选：B． 29．（23-24八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出DE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：平分，，， ， 的面积， 故选：C． 30．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角平分线的性质得出，，根据线段的和差关系即可得结论． 【详解】解：∵点、分别是、平分线上的点，，，， ∴，， ∴． 题型七 角平分线的判定定理 31．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，点D是边的垂直平分线上的一点，， 垂足分别为F，G，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的判定定理是解题的关键． 证明，得到，即可由角平分线的判定定理得出结论． 【详解】证明：∵点D是边的垂直平分线上的一点， ∴， ，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ， ， ，， 平分． 32．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，四边形中，，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质： （1）过点作于点，角平分线的性质得到，中点得到，进而得到，平行线的性质，推出，即可得证； （2）证明，得到，同理得到，根据，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∵，， ∴平分． （2）由（1）得， ∵，， ∴． ∴． 同理，， ∵， ∴． 33．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，于于则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线判定定理的应用，注意：到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 根据角平分线判定定理得出P在的角平分线上，推出，求出即可． 【详解】解：∵于M，于N，， ∴P在的角平分线上， ∵ ∴． 故选C． 34．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角的两条高相交于点O，且． (1)求证：； (2)求证：判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点O在的平分线上．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此题的关键是找到． （1）根据等边对等角先求出，再证明即可解决问题． （2）先由（1）的全等得到，再得到，即可得到点在角平分线上． 【详解】（1）解：是的高， ， ， 又是公共边， ． （2）解：点在的角平分线上． 理由如下： ， ， 又， ，即： 又， 点在的角平分线上． 35．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）如图：过点D作于点F，证明得到，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明得到，由（1）知，，得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2）解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 题型八 角平分线性质的实际应用 36．（24-25九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，三条直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（     ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案． 【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等， ∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点， 如图， ∴货物中转站可以供选择的地址有4处． 故选：D． 37．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 38．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：A 39．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 【答案】4个；图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图所示，即为加油站的位置，共有4个符合要求的位置． 40．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是的三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键． 分别写出逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】解：A．逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意； B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，不符合题意； C．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，符合题意； D．逆命题为：等边三角形的三个角都是，成立，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线性质、三角形面积公式、等面积法求线段长等知识，过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案．熟记角平分线性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示：   是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积为7，， ，即， ， 解得， 故选：B． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．若，，则的面积是（   ） A．24 B．12 C．10 D．85 【答案】B 【分析】本题考查基本作图——作角平分线、角平分线的性质．过点G作于点H，由作图可得，为的平分线，由角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：如图，过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ， ， 的面积为：， 故选：B． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，平分，若，则点到的距离是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，正确理解角平分线的性质是解本题的关键．过点作于，根据角平分线的性质得到即可求解． 【详解】解：过点作于， ， ， 平分，，， ， 故选：D． 5．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质， 根据线段垂直平分线的性质得，再根据得出答案. 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴. 故选：C. 6．（24-25八年级上·山东德州·期中）下列说法正确的有（　　） ①角平分线上任意一点到角两边的距离相等 ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 ③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等 ④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．根据角平分线的性质定理和等腰三角形的性质逐一判断即得答案． 【详解】解：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故①正确； 等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合，故②错误， 三角形三个角平分线的交点到三边的距离相等，故③错误，④正确； 综上，正确的说法是①④，有2个． 故选：B． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理．根据三角形外角性质、平行线的性质和角平分线的性质等进行判断即可． 【详解】解：①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，是真命题； ②角平分线所在的直线是这个角的对称轴，是真命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题； ④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，是真命题； 真命题有3个， 故选：C． 8．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，，平分，，，，则的面积为（   ） A．20 B．25 C．30 D．45 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的性质， 如图所示，过点D作交于点E，首先求出，然后根据角平分线的性质求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交于点E ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴的面积为． 故选：D． 9．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，三角形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，如果，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．12 D．9 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质可得出，再结合周长公式求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴． 故选：B． 10．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 二、填空题 11．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，于点E，连接，如果，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得到，则，再由等边对等角得到，根据已知条件可得，据此根据三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）△的两边、的垂直平分线分别交直线于、，且，则的度数 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角， 分三种情况：当是锐角时，根据线段垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质得，然后表示，最后根据三角形的内角和定理得出答案；当是直角，不符合题意；当是钝角时， 先表示出，再表示出，然后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：当是锐角时，如图所示， ∵的两边的垂直平分线分别交于直线于点D，E， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， 解得. 当是直角，不符合题意； 当是钝角时，如图所示， ∵的两边的垂直平分线分别交于直线于点D，E， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， 解得. 所以的度数是或. 故答案为：或. 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三边垂直平分线交点的位置是解题的关键． 根据锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三边垂直平分线交点的位置，即可解答． 【详解】解：如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形． 三、解答题 16．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 17．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求点到边的距离． 【答案】(1)见详解 (2)点到边的距离为4 【分析】本题考查作图一基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意正确作图，熟练掌握角平分线的性质定理． （1）根据作平分线的方法作出图形即可； （2）利用角平分线的性质定理证明． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴点到边的距离为4． 18．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，， (1)利用尺规，作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下 ①当，求的度数 ②若的面积是12，，点M、N分别是、上的动点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到 ，设，然后计算即可； ②如图，根据线段垂直平分线的性质得到，利用三角形三边的关系得到（当且仅当A、N、M共线时取等号），再利用垂线段最短，得到当时，的长度最小，然后根据三角形面积公式计算出即可． 【详解】（1）解：（1）如图，为所作． （2）①∵垂直平分，， ∴， ∴在中，设， 在中，， 又∵， ∴在中，， ， ∴； ②∵如图，垂直平分； ∴， ∴（当且仅当A、N、M共线时取等号）， ∵当时，的长度最小， ∵， ∴， ∴的最小值为6． 19．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）斜拉索桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的桥梁上，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等．如图所示，和表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点、处，已测出，，则该斜拉索桥是否符合修建规定？说明你的理由． 【答案】该斜拉索桥符合修建规定，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的应用；证明是线段的垂直平分线，即可得到． 【详解】解：该斜拉索桥符合修建规定，理由如下， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 即两根斜拉索的长度相等． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）请确定一个点P，使得点P到和的距离相等，且满足它到点A和点C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．利用基本作图作的平分线和的垂直平分线，它们相交于点P，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断点P满足条件． 【详解】解：如图，点P为所作． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 逆命题与逆定理 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 互逆命题与互逆定理 1. 命题的结构与改写：能准确分析命题的条件和结论，将命题写成 “如果…… 那么……” 的形式。 2. 互逆命题的概念与判断：理解互逆命题的定义，能写出一个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。 3. 互逆定理的概念与判断：掌握互逆定理的定义，知道一个定理的逆命题经过证明是正确的，才能称为逆定理；能判断两个定理是否为互逆定理。 知识点2 线段垂直平分线性质定理及其逆定理 1. 性质定理的应用：理解线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；能运用该定理进行相关的计算和证明，如求线段长度、证明线段相等。 2. 逆定理的应用：掌握线段垂直平分线的逆定理，即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；能利用逆定理证明点在线段的垂直平分线上，进而解决相关几何问题。 3. 尺规作图：能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。 知识点3 角平分线性质定理及其逆定理 1. 性质定理的应用：牢记角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等；能运用该定理进行几何计算和证明，如证明三角形全等、求线段长度等。 2. 逆定理的应用：理解角平分线的逆定理，即角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；能通过证明点到角两边距离相等来确定点在角的平分线上，解决与角平分线相关的问题。 3. 三角形角平分线的性质：了解三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等。 课本典例1（习题12.4第3题） 如图，在中，，，BD是的平分线，交AC于点D。求证：点D在AB的垂直平分线上。 课本典例2（习题12.4第4题） 如图，，，垂足分别是点A和点B，，求证：点C在的平分线上。 课本典例3（习题12.4第8题） 如图，在中，，斜边AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，。求证：，并求出和的度数。 题型一 写出命题的逆命题 1．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）等腰三角形两底角相等的逆命题是 ． 2．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是 ． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 ． 4．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 ． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）请写出定理“等边对等角”的逆定理： ． 题型二 判定是否为互逆命题 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 8．（22-23八年级下·吉林松原·阶段练习）下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 9．（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 10．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 题型三 利用线段垂直平分线的性质求解 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（   ） A．17 B．22 C．29 D．30 13．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ．    14．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 题型四 线段垂直平分线的判定 16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 17．（24-25八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 18．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 19．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 20．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 题型五 作已知直线的垂直平分线 21．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，． (1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数（写出推理过程）． 22．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，平分，边的垂直平分线l分别交，，于点E，F，． (1)尺规作图：作的垂直平分线l，并标出点E，F，保留作图痕迹，不写作法； (2)连接，若，求证：垂直平分． 23．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图所示，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． (2)连接，求的周长． 24．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，，，． (1)求证：． (2)用直尺和圆规作图：过点A作，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 25．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求的度数． 题型六 利用角平分线的性质求解 26．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 27．（22-23八年级下·广东清远·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 28．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 29．（23-24八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 题型七 角平分线的判定定理 31．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，点D是边的垂直平分线上的一点，， 垂足分别为F，G，．求证：平分． 32．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，四边形中，，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 33．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，于于则（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角的两条高相交于点O，且． (1)求证：； (2)求证：判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 35．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 题型八 角平分线性质的实际应用 36．（24-25九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，三条直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（     ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 37．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 38．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 39．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 40．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是的三角形是等边三角形 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．若，，则的面积是（   ） A．24 B．12 C．10 D．85 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，平分，若，则点到的距离是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·山东德州·期中）下列说法正确的有（　　） ①角平分线上任意一点到角两边的距离相等 ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 ③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等 ④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，，平分，，，，则的面积为（   ） A．20 B．25 C．30 D．45 9．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，三角形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，如果，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．12 D．9 10．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，于点E，连接，如果，那么的度数是 ． 14．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）△的两边、的垂直平分线分别交直线于、，且，则的度数 ． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 17．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求点到边的距离． 18．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，， (1)利用尺规，作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下 ①当，求的度数 ②若的面积是12，，点M、N分别是、上的动点，求的最小值． 19．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）斜拉索桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的桥梁上，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等．如图所示，和表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点、处，已测出，，则该斜拉索桥是否符合修建规定？说明你的理由． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）请确定一个点P，使得点P到和的距离相等，且满足它到点A和点C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$