专题09 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 压轴专练 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①4B=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 B D 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC,∠1=∠2. 例1.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点P是斜边AB的中点，点D,E分别在边AC,BC上， 连接PD,PE,若PD⊥PE. 图2 1/42 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：PD=PE; (2)若点D,E分别在边AC,CB的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证明： (3)在(1)或(2)的条件下，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出∠PEB的度数（不用说理）： 若不能，请说明理由， 【答案】(1)见解析 2成立，见解析 3)能成为等腰三角形，此时∠PEB的度数为22.5°或67.5°或90°或45° 【分析】(1)连接PC,根据等腰直角三角形的性质可得∠DCP=45°=∠B,从而得到CP=BP,再由 PD⊥PE,可得∠DPC=∠EPB,可证得△DPC≌△EPB,即可求证； (2)连接PC,根据等腰直角三角形的性质可得∠ECP=45°=∠ABC=∠A=∠ACP,从而得到CP=AP, 再由：PD⊥PE,CP⊥AB,可得LAPD=∠CPE,可证得△APD≌△CPE,即可； (3)根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解. 【详解】(1)明：连接PC, D :∠ACB=90°，AC=BC, .∠A=∠B=45°， :P为斜边AB的中点， CP⊥AB, ∴∠DCP=45°=∠B, .CP=BP PD⊥PE, ∴.∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°， .∠DPC=∠EPB, 在△DPC和△EPB中， ∠DCP=∠B PC=PB ∠DPC=∠EPB 2/42 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△DPC≌△EPB(ASA), ∴PD=PE; (2)解：PD=PE仍成立，理由如下： 连接CP, A B :∠C=90°，AC=BC, ∠A=∠ABC=45°， :P为斜边AB的中点， CP⊥AB, ∠ECP=45°=∠ABC=∠A=∠ACP, .CP =AP, 又：PD⊥PE,CP⊥AB, ∠DPE=∠CPA=90°， ∴∠DPE+∠CPD=∠CPA+∠CPD, ∠APD=∠CPE, 在△APD和△CPE中， ∠PAD=∠PCE PC=PA, ∠APD=∠CPE ∴.△APD≌△CPE(ASA), .PD=PE; (3)解：△PBE能成为等腰三角形， ①当BE=BP,点E在CB的延长线上时，则∠E=∠BPE, 又：∠E+∠BPE=∠ABC=45°， .∠PEB=22.5°； 3/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ②当BE=BP,点E在CB上时，则∠PEB=∠BPE=180°-459=67.5°， D E ③当EP=EB时，则∠B=∠BPE=45°， ∠PEB=180°-∠B-∠BPE=90°： E B ④当EP=PB,点E和C重合， ∴∠PEB=LB=45°； A(D C(E) B 综上所述，△PBE能成为等腰三角形，∠PEB的度数为22.5°或67.5°或90°或45°. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全 等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键 【变式1-1】如图，在ABC中，AB=AC,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F. E B D (I)求证：DE=DF; 4/42 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度数 【答案】(1)见解析 (2110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合 一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键 (1)连接AD,根据三线合一”得出AD平分∠BAC,再根据角平分线的性质定理，即可求证； (2)先根据直角三角形两个锐角互余得出∠B=35°，再根据“等边对等角”得出∠C=∠B=35°，最后根据 三角形的内角和定理，即可求解 【详解】(1)证明：连接AD, :AB=AC,D是BC的中点， AD平分∠BAC, DE⊥AB,DF⊥AC, :DE =DF (2)解：DE⊥AB, ∠BED=90°， ∠BDE=55°， .∠B=35°， AB=AC, ∠C=∠B=35°， ∠BAC=110° 【变式1-2】如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A作EF∥BC,且AE=AF,求证： B (1)DE=DF; (2)BG=CH 5/42 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(I)连接AD,利用等腰三角形”三线合一"的性质得AD⊥BC,再利用平行线的性质得 ∠DAF=∠ADB=90°，从而说明AD垂直平分EF,则有DE=DF; (2)利用等角的余角相等∠EDB=∠FDC,再利用ASA证明△BDG≌aCDH,从而证明结论. 【详解】(1)证明：连接AD, E AB=AC,点D为BC的中点， B D AD⊥BC, ·LADB=90°， :EF∥BC, ·∠DAF=∠ADB=90°， :AD⊥EF, AE=AF, ·AD垂直平分EF, ·DE=DF; (2)DE=DF,DA⊥EF, ∴.∠EAD=∠FAD. :∠ADB=∠ADC, ∴∠EDB=∠FDC, .AB=AC, ∴.∠B=∠C 在△BDG和△CDH中， [∠B=∠C BD=CD ∠BDG=∠CDH ,△BDG≌△CDH(ASA), 6/42 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BG=CH 【点晴】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的 性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一“的性质是解题的关键 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,，D为AB边的中点，点E、F分别在射线CA 、BC上，且∠EDF=90°，连接EF. 图1 图2 (1)如图1，当点E、F分别在边CA和BC上时，连接CD, ①证明：△AED≌△CFD. ②直接写出SEFc,SAEFD和SABC的关系是：- (2)探究：如图2，当点E、F分别在边CA、BC的延长线上时，SAEFD,SEFc和S4Bc的关系是：- (3)应用：若AC=6,AE=2,利用上面探究得到的结论，求△EFD的面积. 【答案】1①见解析：②Sc=S.Bm+Sc 2 (2)S.c+.er=5. 2 (3)5或17 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角 形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。 (1)①连接CD,即可证明△AED≌△CFD;②根据△AED≌△CFD,看图即可得出结论： (2)连接CD,即同(1)可证明△AED≌△CFD，根据△AED≌△CFD看图即可得出结论： (3)根据(1)，(2)中的结论，代入求解即可。 【详解】(1)证明：①如图，连接CD 7/42 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D 在Rt△ABC中，AC=BC,D为AB边的中点， .CD⊥AB,∠A=∠B=45°， .∠A=LACD=45°， ∴.△ADC是等腰直角三角形， :AD=CD, .∠DCF=∠A=45°， :∠EDF=90°， .∠EDC+∠CDF=90°， :∠ADE+∠EDC=90°， .∠ADE=∠CDF, 在ADE和CDF中， ∠A=∠DCF AD=CD, ∠ADE=∠CDF ∴.△AED≌△CFD(ASA). ②：△AED≌△CFD, SAAED=S△cFD' 根据图中所示， S.ADC=S.EFD+S.EFC :D为AB边的中点， 1 SADc=2S。ABc 2 SC=S.EFD+S.FFC (2)解：如图，连接CD 8/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E 在Rt△ABC中，AC=BC,D为AB边的中点， CD⊥AB,∠CAD=LB=45°， .∠CAD=∠ACD=45°， ∴△ADC是等腰直角三角形， .AD=CD, ·∠ACD=∠BCD=45°， 180°-∠ACD=180°-∠BCD, 即∠EAD=∠FDC, :∠EDF=90°， .∠ADF+∠EDA=90°， :∠ADF+∠FDC=90°， .∠EDA=∠FDC, 在ADE和CDF中， I∠EAD=∠FCD AD=CD, ∠EDA=∠FDC .△AED≌△CFD(ASA). :△AED≌△CFD, SAAED SACFD 根据图中所示， S.ACD+S.EFC=S.EFD :D为AB边的中点， :.S.ADC= 2 9/42 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Sc+S,c=S,面 (3)如(1)中结论， :AC=6,AE=2, 1 2 S-crcE=4E(4c-A0=*2x6-2=4 :Sc=S.rm+S.EC 1 1 .S.m-78.mc-S. 2×18-4=5. ②如(2)中结论， :AC=6,AE=2, sm4c-6=18, 2 sc-cFcE-4(40+4-2x6+2到=8 ES4Bc+Sr二SB .+S.r 1 1 ×18+8=17 2 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边 无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三 角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。 2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点 条件，结合全等三角形判定(H亚)和直角三角形边角关系，实现未知量向己知量的转化，体现几何中化 归的重要思想。 例2.在ABC中，点D,E是边BC上的两点. 10/42函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 压轴专练 典例详解 类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①4B=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 B D 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC,∠1=∠2. 例1.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点P是斜边AB的中点，点D,E分别在边AC,BC上， 连接PD,PE,若PD⊥PE. 图2 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：PD=PE; (2)若点D,E分别在边AC,CB的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证明： (3)在(1)或(2)的条件下，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出∠PEB的度数（不用说理）： 若不能，请说明理由， 【变式1-1】如图，在ABC中，AB=AC,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F. E (1)求证：DE=DF; (2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度数. 【变式1-2】如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A作EF∥BC,且AE=AF,求证： (1)DE=DF; (2)BG=CH 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB边的中点，点E、F分别在射线CA 、BC上，且∠EDF=90°，连接EF, 图1 图2 (1)如图1，当点E、F分别在边CA和BC上时，连接CD, ①证明：△AED≌△CFD. ②直接写出SEc,SAEFD和SHBc的关系是：- (2)探究：如图2，当点E、F分别在边CA、BC的延长线上时，SAEFD,SFc和S4Bc的关系是：- 2/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)应用：若AC=6,AE=2,利用上面探究得到的结论，求△EFD的面积. 类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高 1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边 无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三 角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。 2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点 条件，结合全等三角形判定(H亚)和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化 归的重要思想。 例2.在ABC中，点D,E是边BC上的两点 C B E E E 图1 图2 备用图 (I)如图1，若AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE; (2)如图2，若∠BAC=90°，BA=BD,设LB=x°，∠CAD=y°. ①猜想y与x的数量关系，并说明理由： ②在①的条件下，CA=CE,请直接写出∠DAE的度数。 【变式2-1】已知在ABC中，AB=AC,且∠BAC=a,作等腰△ACD,使得AC=CD. 图1 图2 备用图 (I)如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DAB= ;(用含a的代数式表示) 2)如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH1AD于点H,求证：CH=BC: (3)若ABC与△ACD的面积相等，请直接写出LACD的度数.（用含a的式子表示） 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-2】在ABC中，AB=AC,过点C作射线CB,使LACB'=LACB(点B与点B在直线AC的异 侧)点D是射线CB上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°. B IB C(E) B 图1 图2 (I)如图1，当点E与点C重合时，AD与CB的位置关系是-，若BC=a,则CD的长为-；（用含a的式子 表示) (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE. ①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明： ②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25八年级下·河北保定·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAD=∠CAD,BC=10,则BD=() D A.5 B.6 C.7 D.8 2.(24-25七年级下陕西咸阳期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线， ∠B=32°，则∠CAD的度数为() 4/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D A.58 B.56° C.54° D.62 3.(23-24八年级上江苏无锡期中)如图，四边形ABCD中，AB=AD,点B关于AC的对称点B恰好落 在CD上，若∠BAD=1O0°，则∠ACB的度数为() D B A.40° B.459 C.60° D.80° 4.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)如图，在四边形ABDC中，AB=AC,∠BAC=124°，点B关于AD的 对称点E恰好落在CD上，连接AE,AF为△ACE的中线，则∠ADB的度数为() A.24° B.28° C.30° D.38° 5.(24-25七年级下·广东佛山期末)一副三角尺如图放置，D为BC中点，将aDEF绕点D旋转，边 DF、DE分别与边AB、AC分别交于点G、H,若S△ABc=1,则阴影部分面积为() E A H G B D A.0.5 B.0.6 C.0.75 D.0.8 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、填空题 6.(23-24八年级上河南安阳期中)如图，AM⊥MN于M,且MN:NC=1:2,AW=AC,若 ∠NAC=40°，则∠MAN= 7.(24-25九年级江苏宿迁·阶段练习)如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点， MN⊥AC于点N,则MN的长为一· M 8.(23-24九年级上黑龙江哈尔滨期中)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=AD=5,对 角线AC⊥CD,则线段AC的长为 9.(2024山西模拟预测)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,取AC的中点E,连接BE,过点C作 BE的垂线，交BE的延长线于点D,若BD=8,DC=2,则DE的长为 E B 10.(24-25八年级下·安徽芜湖阶段练习)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=2√2， B C=CD =4. 6/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ■ B (1)∠ADC的度数是 (2)连接AC,则AC的长为 三、解答题 11.(24-25八年级下·广东深圳期末)如图，在ABC中，AB=AC,点D,E都在边BC上，且AD=AE 请判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由. B D E 12.(23-24七年级下·上海浦东新·期末)在ABC中，∠ACB=90°，AD⊥DE,AC=BC=BE,猜想线段 CE与AD的数量关系，并说明理由 B D C E 13.(22-23八年级下·陕西安康阶段练习)如图，四边形ABCD是果农王大爷家的果园平面图，王大爷准备 沿AC将果园分为ABC和△ACD两个区域，分别种植两种不同的果树.经测量，∠ACD=90°，AD=130米， CD=50米，AB=BC=68米，求ABC区域的面积. B 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(25-26八年级上江苏苏州阶段练习)如图，AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,点F是边CD的中点. 求证： B (I)△ABC≌△AED; (2)AF⊥CD 15.(24-25八年级上·浙江金华.期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点D在边AB上， DE⊥CD,且DE=CD,CE交边AB于点F,连接BE. 图1 图2 (1)若AC=8√2，CD=10,求线段AD的长； (②)若CD=CF，求∠ABE的度数： (3)求线段AC，CD,BE之间的数量关系，并说明理由. 16.(23-24七年级下·广东佛山期末)已知OP平分∠MON,如图1所示，点B在射线OP上，过点B作 BA⊥OM于点A,在射线ON上取一点C,使得BC=B0. D M -N O E 图1 图2 (1)若线段0A=3cm,求线段0C的长： (②)如图2，点D是线段OA上一点，作∠DBE,使得LDBE=∠ABO,∠DBE的另一边交ON于点E,连接 DE,请问：∠OBC=2LDBE是否成立，请说明理由 17.(24-25八年级上浙江·期末)如图，在ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线， DG⊥CE于G,CD=AE. 8/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A G B D (1)求证：CG=EG. (②)已知BC=13,CD=5,求点E到线段BC的距离. (3)在(2)的基础上，求线段CE的长度. 18.(25-26八年级上江苏南通·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC,过点A作 MN⊥AB,点D在AB上（不与点A,B重合），作∠DCE=45°，∠DCE的边CE交直线MN于点E,连接 DE. M C M B P D D N E N 图1 图2 (I)如图1，当点E在射线AM上时，作CF⊥CE,CF交AB于点F,求证：△ACE≌△BCF; (②)如图2，当点E在射线AN上时，写出线段AE,DE,BD之间的数量关系，并说明理由； (3)在(2)的基础上，若CE与AD交于点P,当P为CE的中点，且四边形AEDC的面积比△BCD的面积大 16时，直接写出ABC的面积. 9/9