【安徽省县中联盟】2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题（B卷 北师大版2019）

2024~2025学年度第二学期高二5月联考 数学(B卷) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册（约30%），选择性必修第二册（约70%）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知{a}是等比数列，a2=-2,a=一，则公比g= A-司 B.-2 C.2 2.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2=4,S=12,则{an}的公差d= A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知函数(x)的部分图象如图所示，则 A.f(3)<f(4)<f(4)-f(3) B.f(4)<f(4)-f(3)<f(3) C.f(4)<f(3)<f(4)-f(3) D.f(4)-f(3)<f(3)<f(4) 4.已知数列{am}的通项公式为am=n2十kn,若{an}是递增数列，则实 数k的取值范围为 O12343 A.(-∞，-2] B.[-2,+o∞) C.(-3,+o∞) D.(-o∞，-3) 5.若函数fx)=号x-4r十a在[0,3]上的最大值为2，则a B.2 C.5 n号 .已知函数/x)=ahx十之r-2x,若/x)在(0，十o∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 A.(0,1] B.(1,+o∞)》 C.(0,1) D.[1,+o) 【高二5月联考·数学(B卷)第1页（共4页）】 25-X-732B 7.某博主在一自媒体平台上吸粉直播，第一天直播完有粉丝200人，预测以后该博主在这个平 台每天的粉丝增长率为10%，且每天晚上凌晨零点前引流10位粉丝去另一个平台账号，以 此预测三周后，该博主在该平台粉丝量约为 (1.120≈6.73,1.11≈7.4) A.673 B.773 C.740 D.840 8.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，数列中的一系列数字常被人们称之 为神奇数.具体数列为1,1,2,3,5,8，…，即从该数列的第三项开始，每一项等于前两项之和. 已知数列{an}为“斐波那契”数列，Sn为数列{an}的前n项和，若a2o27=M,则S22= A.M-2 B.M+2 C.M-1 D.M+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导数运算正确的是 A.(x+/=1+ B.(logar)'=-1 xIn 2 C.(cos 2x)'=-2sin 2x D.(tan r)'=-1 s2x 10.设S,是公比为q的无穷等比数列{am}的前n项和，则下列说法正确的是 A.对任意正整数k,数列S,S2一Sk,S一S24是等比数列 B.对任意正整数n,a十a+≥2a1 D若a>0,且aa,2a:成等差数列，则 -3+22 11.若函数f(x)一2a.x一lnx的两个极值点分别为x1,x2,且x1<x2,则 A.0<a< e B.>e C.f(x1)<1 D.xix>e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=x2十3xf(2),则f(2)= 13.已知P是函数f(x)=c+号2图象上任意一点，则P到直线y=x一1的距离的最小值为 14.已知数列{am}的首项为2，其余各项为1或2，且在第k个2和第k十1个2之间有2k一1个 1,即数列{am}为：2,1,2,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2，…，记{am}的前n项和为Sm,则S2a25= 【高二5月联考·数学(B卷)第2页（共4页）】 25-X-732B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某同学为了研究两个变量x与y的相关关系，收集到如下表格的5组数据： 2 8 5 6 2 3 5 6 9 (1)从表格中的5组数据中随机抽取3组，记x与y相等的组数为随机变量Z,求Z的分布 列与期望： (2)根据上表提供的数据，求经验回归直线方程y=b.x十α. 参考公式：=y·可 -,a=y-bi. Sri-nx 16.(本小题满分15分) 已知Sn是数列{a,}的前n项和，3+n=an+1,41=1. 1 (1)求{a,}的通项公式： (2)求数列{2”·an}的前n项和Tn 17.(本小题满分15分) 如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，E是线段AB的中点，将△ADE沿DE折起 到△PDE的位置. (1)若PE⊥BC,证明：平面PDE⊥平面ABCD: (2)若二面角P-DE-B是60°，求点C到平面PDE的距离. 【高二5月联考·数学(B卷)第3页（共4页）】 25-X-732B 18.(本小题满分17分)》 已知直线l经过抛物线C:y=4x的焦点F且与C相交于点A(,y)与B(x2),P为C 的准线上一点 (1)若PALPB,证明：P点的纵坐标为十业： 2 (2)若AF=2|BF,求1的方程； (3)若PA,PB,PF的斜率分别为k1,k2,k3,证明：k1,ka,k2成等差数列. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xlnx-2nx-1-2.x,其导函数为f(x). (1)讨论「(x)的单调性； (2)求f(x)的极值点个数； (3)求f(x)所有极值点的乘积 【高二5月联考·数学(B卷)第4页（共4页）】 25-X-732B2024~2025学年度第二学期高二5月联考·数学(B卷 参考答案、提示及评分细则 1.【考点定位】考查等比数列基本量的运算 【考核目标】考查运算求解能力 【参考答案】D 2.【考点定位】考查等差数列基本量的运算 【考核目标】考查运算求解能力 【解题思路】a=S-S-12-4-8,S=a +a =(a-2d)+(a-d)=16-3d-4,所以d-4.故选A 【参考答案】A 3.【考点定位】考查导数的几何意义 【考核目标】考查解决问题能力,推理论证能力 【解题思路】f(3)与/(4)分别表示f(x)的图象在x三3与x=4处的切线斜率,而f(4)一f(3) f(4)/(3)表示经过两点(3,f(3)),(4,/(4))的直线的斜率,由图知/(4)<f(4)一f(3)</(3).故选B 4-3 【参考答案】B 4.【考点定位】考查数列的单调性 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 时,a.单调递增:故选C 【参考答案】C 5.【考点定位】考查函数的最值 【考核目标】考查运算求解能力 【解题思路】/(x)=x-4,令/(x)>0,解得2<3,令f(x)<0,解得0<x2,所以/(x)在[0,2)上单 调递减,在(2,3]上单调递增,因为f(0)=a>/(3)=a-3,所以/(x)的最大值是f(0),则f(0)=a=2.故 选B. 【参考答案】B 6.【考点定位】考查函数的单调性. 【考核目标】考查运算求解能力 +2x=-(x-1)②}+1恒成立,当x=1时,-(x-1)*+1有最大值1,所以a>1.故选D. 【参考答案】D 7.【考点定位】考查数列的实际应用 【考核目标】考查运算求解能力,解决问题能力 第1页(共6页)】 【高二5月联考·数学(B卷)参考答案 25-X-732B 【解题思路】设该博主在该平台每天粉丝量构成数列(a.),结合题意得a1-1.1a。-10,所以a-100= 1.1(a-100),所以数列a.-100)是以a-100-100为首项,1.1为公比的等比数列,则a-100-100 1.1*~673,所以a-773.故选B 【参考答案】B 8.【考点定位】考查递推数列 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 【解题思路】由“裴波那契”数列可得a2-a.+a--1=a。十a-1+a.=a.+a-1+a-:+a-,=.=a。+a-1 +-。+.+a+1,所以S.-a.+a-1+..+a=a+2-1,所以S2ozs=a2o27-1=M-1.故选C. 【参考答案】C 9.【考点定位】考查导数的运算. 【考核目标】考查运算求解能力 cos2 coS 【参考答案】BCD 10.【考点定位】考查等比数列性质以及数列基本量的运算 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 【解题思路】对于A,当为偶数,且q=-1时,S-0,S-S-0,S-S-0,数列S,S-S,S-S 不是等比数列,故A错误;对于B.a+a三2an+=2^1.,故B正确;对于C.,若q1.,则-2.与S (1-2) (1-)1- 3n十4 -3+2/②,故D正确:故选BD 【参考答案】BD 11.【考点定位】考查导数的综合应用. 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 1-. 【解题思路】由题意知,/'(x)-2a-2ln2ax-21n-o在(0,+oo)上有2个不同的根,即 n在 2 2 ) 2 x>e,所以h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,十oo)上单调递减,又因为h(e)-1,h(1)-o,当x→0时,h(x) 【高二5月联考·数学(B卷)参考答案 第2页(共6页)】 25-X-732B 2lnx-lnx=-(lnx-1)+1,又因为1 xt<e,所以0 lnx 1,则f(x) 1,故C正确;对于D.设 -1,所以- 2 2 r2 2 1一1 (-)2 (11>0,所以g(1)在(1,+co)上单调递增,则g() (十1 (十1){- 71 1-1 【参考答案】ACD 12.【考点定位】考查导数的运算. 【考核目标】考查运算求解能力 【解题思路】因为/(x)-2x+3/(2),所以/(2)-4十3/(2),解得/(2)=-2. 【参考答案】-2 13.【考点定位】考查导数的几何意义 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 【解题思路】/(x)=e十x,令g(x)=e十x-1,g(x)=e+1>0,所以g(x)在R上单调递增,又g(0) -0,所以方程e十x-1一0的解为x=0,所以当点P的坐标为(0,1)时,它到直线y=x-1的距离最小,最 小距离为-1_2. 【参考答案】/2 14.【考点定位】考查特殊数列求和 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力,解决问题能力 【解题思路】第 +1个2为数列a.)第 +1+(1+3+5+..+2-1)-++1项,当 -44时,}+ +l -1981;当-45时,b}++1-2071,所以前2025项有45个2和1980个1,因此S5=45×2+198$$ X1-2070. 【参考答案】2070 15.【考点定位】考查随机变量的分布列与经验回归方程 【考核目标】考查运算求解能力,解决问题能力 【解题思路】第(1)问通过超几何分布求出分布列与期望;第(2)问利用最小二乘法计算出经验回归方程 【参考答案】解:(1)由题意可得乙的所有可能取值为0,1,2, C 5 乙的分布列为; 1 3 ,P ...........................................................................................................4分 .................................... 【高二5月联考·数学(B卷)参考答案 第3页(共6页)】 25-X-732B 2+3+4+5+6 2+3+5+6+9 (2)由题意可得x三 -4.- ②三-5.................分 5 5 ........................ ..分... 4+9+16+25+36-5×16 所以ā-y-6x-5-6.8--1.8. 所以-1.7x-1.8....................... ...................................................... 13分 16.【考点定位】考查数列的通项与求和 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力. 【解题思路】第(1)问通过递推关系探究出数列a)的特征,进而求出其通项公式;第(2)问利用错位相减法 求和. 当n.时........-.)....-........................... .分. ①-②得:S-S- +n-(n-1)=na-(n-1)a-+n-(n-1) 所以a. ...-....)..............分 所以.1............................................分. 所以a.-a--2. 因为a一1,所以a。)是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以a.-1+2(n-1)-2n-1. (2)因为2.a.-(2n-1)2. 所以T.-1×2+3×2+5×2+..+(2n-1)2. 2T.-1×2+3×2+5×2+...+(2-1)21. ................................ 两式相减,...2.... ......2..1..).......................1分 1-2 所以T.-(2n-3)2+1+6. ........................................................... .. 17.【考点定位】考查立体几何与空间向量 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力,空间想象能力 【解题思路】第(1)问利用几何法结合面面垂直的判定定理证明结论;第(2)问建立空间直角坐标系,算出平 面PDE的法向量,进而求出点到面的距离,该问也可以利用纯何法先技出二面角的平面角,计算出翻折 后各线段长度,然后利用等体积法计算点到面的距离 【参考答案】(1)证明:在△ADE中,由余弦定理,得 DE*=AD+AE*-2AD·AEcos 60*-2+1*-2x21x1 -3.................................. 所以AE十DE{-AD,所以AEIDE 将△.Apyt...后..y..y...................................分..... 又PE1BC,DE与BC相交,DEC平面ABCD BCC平面ABCD,所以PE平面ABCD. .................................................. 又PEC平面PDE,所以平面PDE 平面ABCD 【高二5月联考·数学(B卷)参考答案 第4页(共6页)】 25-X-732B (2)解:由(1)知ED1AB,所以分别以直线ED,EB为:轴,y轴,建立如 图所示的空间直角坐标系Exy,则E(0,0,0),D(一③,0,0). C(-3,2,0). ..............................分. 由(1)知DE 平面PEB,所以/PEB为二面角P-DE-B的平面角,则 PEe...6..................................A. B 又DEC平面ABCD,所以平面ABCD.平面PEB. 】r 所以P(0)# 设平面PDE的一个法向量n一(x,y,) n.t-0. 即 则 .ED-o. 令三.-.1.........)................... 1.分 .-③x-0. ..233. 又DC-(o,2.0),所以点C到平面PDE的距离d- |n ............... 03十1 18.【考点定位】考查直线与抛物线 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 【解题思路】第(1)问通过抛物线的定义转化为三角形中的中位线问题进行证明;第(2)问利用向量中的定 比分点结合坐标法计算出B点坐标,进而求出直线方程;第(3)问联立直线与抛物线方程得到韦达定理关系 式,再对斜率关系式进行化简运算,从而证出最终的结果 【参考答案】(1)证明:设点A,B在C的准线上的射影分别为A',B,线段AB的中点为Q 因为PALPB,所以|PQl-1ABBl-(IAFI+IBF)-( A.|+IB|), .... 2分 所以PQ是梯形AAB'B的中位线,所以PQ/AA, 所以P点的纵坐标为. (2)解:由题意得F(1,0),由|AF|-21BF|得AF-2FB 所以(1-x.-y)-2(x-1,y),则x-3-2x,=-2. ................................................ 6分 3一4x. (4-12-8x2. 由 得。 解得 -4x2 1-4r, =士/2. 所以直线BF的斜率为士2/②,则/的方程为y-士2v2(x-1),即2v2x士y-2/2-0. .........分.. (3)证明:设P(-1,m),/的方程为x一/y+1. 12-y十1. 联立 整理得-4y-4-0. _-4r. 显然△>0,y+-4/,y=-4. ................................................................................. 10分 因为--n 所以+&。-n-m(-m)(+1)+(-)(x+1) r十1x十1 (r十1)(x十1) 【高二5月联考·数学(B卷)参考答案 第5页(共6页)】 25-X-732B -m)(+2)+(-m)(+2)2y+(2-m)(y+)-4m-8+(2-n)·4 -4n (+2)(y+2) 7*3+2(y+)+4 -4+8+4 -4m(^*+1) _一n. ................................................................................ 15分 4(2+1) 又2h--n,即2-十b. 所以...成等差数列.............................................................................................. 17分 19.【考点定位】考查函数与导数 【考核目标】考查运算求解能力,推理论证能力 【解题思路】第(1)问利用导数判断函数的单调性;第(2)问利用函数的单调性结合零点存在性定理判断极 值点的个数;第(3)问利用同构思想找出各极值点间的相互关系 【参考答案】解:(1)/(x)=xlnx-2lnx-1-2x(0 x1或x>1). 则g()-12 所以/(x)在(0,1),(1十o)上单调递增 ................ 当x(0,x)时,f(x)<0,函数f(x)单调递减;当xE(x,1)时,f(x)0,函数/(x)单调递增; 所以.u.....................................................分 .............................. 所以....e.).....).oo........................... 当xE(1,x)时,f(x)<0,函数f(x)单调递减;当x(x,+o)时,/(x)0,函数f(x)单调递增 所以/u...........,......................... 10分 所以/(r)在其定义域上存在两个极值点. (3)由(2)知x,是函数/(x)的零点 所以/(x)一Inx- -1=0................................... ... r_-1 2-1--ln1-1-:1 所以/()一/(1). ......................................................... ..分 因为x(0.1),所以一(1,十o),且/(c)在(o,1).(1,+oo)上各存在一个零点x,x, 所以x。-1,即x.x:-1,/(x)所有极值点的乘积为1. ...................................................... 17分 【高二5月联考·数学(B卷)参考答案 第6页(共6页)】 25-X-732B■ ■ 2024-2025学年度第二学期高二5月联考 请有青量同的芳睡这域内作等，糖出便形边框雅宠区威的需案无效 清存格是目的答游区域内作著，算出场形边银用定属运的答率美效 数学答题卡 51车小通瑞分1山射 18本个避请计5 准考旺号 学校 姓名 4444144414 班级 考场 年手参两，市等的年有年有的有年写事卡可有可州 过回台过件色行的达的等告金年行海告海A每得通 上生缺导位线批身角毛表月，卡A单金线城4出准年 面特生主参学非作指中性修年计过年， 贴条形哥区 计中和鞋球卡游发海制料装 填染标例王特： 情总填棒：家文灯四中缺考6记， 选非覆（请用2日船笔填染） 11h11口0回 9C11G1101 争工111回C回 6L112a)Tu可 0E11口tg11D1 T EAT IRI ::3 En 4L山31501 重E4114)n可 市远择抛1请使两05毫米的属色字透签字笔书写) 125分到 145 请在青理日的答雅区健内作器，相出矩形的相幅定区速约苦案无效 请在各量日的客温区罐内作香，罐出组制边棉量定风域的苦南无验！ 清在务量目的苦赠区域内作苦，见出矩形边相刚定区域的苦案天效 高方5月联号-教学第1美其2真13-%-7 请市青塑日均奔晒区域肉作等，相出矩形边概限定区蓝的桥案无效 请在青量同的装址这域内作等，糖出便形边框雅定区威的两案无效 清存格是目的答游区域内作著，算出场形边银用定属运的答率美效 7.华小通满分5： 6年道请什7计 1B队生通请许7计到 请在各抛日的养抛区域内作希，记出矩影边框限定区域的芳案无效 请在备塑其的苦腿区罐内传希，。把出矩形边框雕定区碱的苦案无效！ 清在务量目的苦赠区域内作苦，见出矩形边相刚定区域的苦案天效 高方5月联号-教学第2美其2真135-%-7到