四川省部分学校2026-2027学年高三上学期9月联考数学试题

高2027届 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，，则（ ） A． B． C．， D． 3．已知，，是平面上的非零向量，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．已知F为抛物线的焦点，点，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ） A． B． C． D． 6．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种． A．216 B．360 C．432 D．672 7．已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，…，，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A．76 B．38 C．19 D．0 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ） A．曲线W围成的封闭图形面积为 B．若圆与曲线W有8个交点，则 C．与的公切线方程为 D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球⋯⋯设第n层有个球，则（ ） A． B．是等差数列 C．为偶数 D． 11．双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布•伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A． B．点在C上，则 C．点N在椭圆上，若，则 D．过作x轴的垂线交C于A，B两点，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记为等差数列的前n项和．若，则公差__________． 13．在中，，，则的最小值为__________． 14．已知函数．若的最小值为0，则实数a的最小值是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S且满足． （1）求角A的大小； （2）若的平分线交于点D，且，，求的面积． 16．（15分）某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏．为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： （1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为X，求和； （2）据另一项调查显示，80％的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60％的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率． 17．（15分）四棱锥，面，，，，，，M是中点． （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面夹角的正弦值； ②在线段上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知函数，且． （1）求a； （2）已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； （3）证明：对任意的，均有． 19．（17分）平面直角坐标系中，，，，，其中，直线与直线交于点Q，Q的轨迹为椭圆的一部分． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为的直线l与E交于A，B两点， ①若，求实数的取值范围； ②已知点，直线，与E分别交于另一点为C，D，令直线的斜率为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届 数学参考答案 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】ACD 10．【答案】ABD 11．【答案】ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】2 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）； （2）． 【详解】（1）由余弦定理，得， 所以， 2分 又，所以，可得， 4分 所以，，则． 6分 （2）由， ， 即，则， 8分 由余弦定理有，即， 所以，可得， 10分 所以，则，可得， 12分 所以． 13分 16．【解】（1）第一步：记“一位参加活动的游客低碳出行”为事件A， 根据题中的表格求出记“低碳出行”为事件A，估计． 2分 第二步：确定随机变量X服从二项分布，根据公式求出及， 则， 4分 ， 6分 ． 8分 （2）第一步：记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B， 并求出，，． 由（1）知，则有， 9分 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B， 由题意，， 11分 第二步：根据全概率公式求出， 所以． 15分 17．【解析】（1）取中点N，为中点， ，且， 又，， ，且， ∴四边形为平行四边形，即， 3分 平面，平面， 平面． 5分 （2）①平面，且， 则以点A为坐标原点，，，方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， 6分 ，，，， 7分 易知平面的一个法向量为， 8分 设平面的法向量为，则，令，则， ， 10分 ∴平面与平面所成角的正弦值为． 11分 ②存在点Q满足题意，易知，， 假设存在点Q满足题意，设，， ，， 12分 设平面的法向量为， 则，令，则， 13分 所以点D到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即． 15分 18．【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【详解】（1）由得， 令，，则， 1分 ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； 2分 ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故，令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得． 5分 （2）由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证． 因为，令，则需证， 8分 即证． 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证． 10分 （3）由（1）知，且， 当时，，即； 12分 令，则． 14分 要证，即证， 因为，所以， 而， 得证． 17分 19．【答案】（1） （2）①；② 【详解】（1）由题意可得，直线的方程为； 直线的方程为，即； 两式相乘得，化简得； 故结合题意可知椭圆E的方程为． 4分 （2）①由于直线l的斜率k大于0． 故设直线l的方程为，，，，， 由得， 需满足，解得， 则，， 6分 而，， 由，可得 ， 8分 由于，故，则，则， 故，即． 10分 ②由于A，B，P三点共线，所以，即， 整理得，设直线（斜率不为0）的方程为， 联立，得，， 则， 12分 又，， 故， 所以， 同理可得，， 14分 则， 将代入上式，得， 故． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $