【安徽省县中联盟】2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题（B卷）

2024~2025学年度第二学期高一5月联考 数学(B卷) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：北师大版必修第二册第一章一第五章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1,复数=①一23+D在复平面内对应的，点位于 5 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(k,k一1)，b=(k,2一k),若a⊥b,则实数k= A号 B.1 c D.2 3.c0s A B含 c-1 D. 4.已知单位向量a,b满足|a一3b=22,则|2a一3b= A.42 B.4 C.23 D.3 5.若复数之满足|之=2，则x一4的最大值为 A.2 B.4 C.6 D.8 6.已知a=2cos248°-1，b=cos47cos48°-sin47sin48°，c=tan15°-tan75°+√3tan75tan15°，则 A.ba>c B.c>a>b C.bca D.c>b>a 【高一5月联考·数学(B卷)第1页（共4页）】 25-X-732A 7.在△ABC中，内角A,B.C所对的边分别为a,b,若A-受a=4h,则mB十s血C A.2 B.15 c D.2 8.若函数f(x)的定义域内存在，（红≠），使得)f》-1成立，则称该函数为 2 “完整函数，已知f)=sin(or一吾）一os(aurc+）ow>0)是[受，]上的“完整函 数”，则ω的取值范围为 A.[2,+∞) B.[3,+o) C.[4,+o∞) D.[3,5] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知，2为复数，则下列说法正确的是 A.若1一x2<0,则1<2 B.若刘1=2，则石=2 C.若刘·2=0，则1=0或2=0 D.若||=|2，则戏= 10.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,2b=a2+2c2,则下列说法正确的是 A.a=4ccos B B.tan B=4tan C C.若△ABC是直角三角形，则b=√3c D.若△ABC是锐角三角形，P是线段AC上一点，则Pi·P的最小值为-子Ccos2A 1l.已知sin(a+)cos(a-)=sin(2a十2》，且a,≠经，a+≠kx,k∈Z,则 A.cos (a-B)=2cos (a+B) B.tan etan号 C.tana+3tanB的最小值为2 D.tana十2tan(a十B)十3tanB的取值范围为(-∞，-4v2]U[4√2，十oo) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数x=i十2十3十…十025十i26,则= 13.已知向量a=(m,1),b=(m十1，一2)，若向量a,b的夹角为钝角，则实数m的取值范围 为 14.化简4an10° 1+cos 20 2 【高一5月联考·数学(B卷)第2页（共4页）】 25-X-732A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知复数x=1十i是关于x的方程x2十a.x十b=0(a,b∈R)的一个根，复数1=a十bi. (1)求1： (2)若复数=十(m-1D十(m一2)i(m∈R)为纯虚数，求号 16.(本小题满分15分) 已知ae(0,)8e(o,受)，tan(a+）=7,cos=写 (1)求sin2a的值： (2)求tan(2a-3)的值. 17.(本小题满分15分) 在面积为S的锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(b2+c2-a)sinA=2S. (1)求A: (2)若b=2,O为△ABC外接圆的圆心，记△AOC和△BOC的面积分别为S1,S2,求S一S 的最大值 【高一5月联考·数学(B卷)第3页（共4页）】 25-X-732A 18.(本小题满分17分) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，O是AD的中点，过O点的直线与边AB,AC分别相交 于点P,Q.设AP=mAB(m>0),A=nAC(n>0). (1)若AO=xAB+yAC,求2x-y的值： (2)求4m十n的最小值： (3)若△ABC是边长为1的等边三角形，求OP2+OQ的最小值. 19.(本小题满分17分) 已知向量a=(y),b=(x2,2),定义运算a☒b=(xx2,2),同时定义[(x,y)]=|x十y. (1)若(sinx,cosx)☒(2,4)=(-√3,2)，求实数x的取值集合： (2)若[5sin,-osx8(23)]=0,求amx的值： (3)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x十2)为奇函数，f(x+4)为偶函数，且x∈[0,2] 时，f(x)=x-2,是否存在实数x,使[(2sinπx,f(x)☒(f(x),1一3cos2xx)]=12?若 存在，求出x的值：若不存在，请说明理由 【高一5月联考·数学(B卷)第4页（共4页）】 25-X-732A2024~2025学年度第二学期高一5月联考·数学(B卷) 参考答案、提示及评分细则 1.【考点定位】考查复数的计算及几何意义. 【考核目标】掌握复数的计算及几何意义。 【解题思路】由一2)3+D-5i=1一i,得复数之在复平面内对应的点为1，一1)，位于第四象限.故 5 5 选D 【答案】D 2.【考点定位】考查向量的坐标运算及向量垂直的条件. 【考核目标】掌握向量的坐标运算及向量垂直的条件 【解题思路】因为a16,所以a·b=+(k-1D(2-6)=F十（一十3张-2）=3张-2=0，解得k=号故 选A 【答案】A 3.【考点定位】考查三角恒等变换， 【考核目标】掌握二倍角的余弦公式 4 sin sin sin 8 8 sin7 sin牙 8,故选D 【答案】D 4【考点定位】考查平面向量的运算 【考核目标】掌握平面向量的数量积运算， 【解题思路】由a-3b=22,得(a-3b)2=8,即a2-6a·b+9b2=8,1-6a·b+9=8,所以a·b=3: 所以|2a-3b=√(2a-3b)=/4a-12a·b+9b2=√4-4+9=3.故选D. 【答案】D 5.【考点定位】考查复数的几何意义. 【考核目标】掌握与复数模的相关轨迹问题. 【解题思路】因为=2，所以复数x对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，~一4表示圆上的点 与(4,0)的距离，则距离的最大值为4十2=6.故选C 【答案】C 6.【考点定位】考查三角恒等变换， 【考核目标】掌握二倍角的余弦公式、两角和与差的余弦公式、两角和与差的正切公式 【解题思路】a=2c0s248°-1=c0s96°<0，b=c0s47°cos48°-sin47°sin48°=c0s(47°十48)=c0s95°<0，由 千tan75an=an（-60)=-5,则an15°-tan75°=-√5(1+tan751an15),故c=an15°- tan15°-tan75° tan75°+√5tan75°tan15=-√3(1+tan75°tan15)十√3tan75°·tan15=-√3，显然-√3<-1<cos96°< cos95,即c<a<b.故选A 【答案】A 7.【考点定位】考查解三角形 【考核目标】掌握解三角形的方法， 【高一5月联考·数学(B卷)参考答案第1页（共6页）】 25-X-732A 【解题思路】由余弦定理得a2=+c2-2 occos A=+c2+bc=4bc,所以(b+c)2-bc=4bc,所以(b+c)2 =5x号-女，放+由正张定理品ABC得n年nC品故B计血C 告nA-9×=平放选B 2 【答案】B 8.【考点定位】考查函数新定义及三角函数的性质， 【考核目标】掌握并灵活运用三角函数的性质。 【解题思路】由题知fx)=合sm(ou-哥）-受os(or+）=合sin(or一吾)+号cos(oar-晋) sim(ax一吾+晋）=sino,即fx)=sin r是[受，受]上的“完整函数”，所以存在x:∈[受，]，使 得)士=1成立，即存在∈[受，受]，使得)+)=2成立.又因为f=1,因 2 此fa)=f)=l,即f)=smr在x∈[受，受]上至少存在两个最大值点，所以受-受>≥T=红，解 得>2.当受-受≥2T=红，即w>4时，一定满足题意：若2≤<4，因为x∈[受，受]w>0,所以览≤ <7,又易知<受<2,3x<g<6x:所以只需保证登<2<6x即可，解得3<<4，综上可知> 82 3.故选B. 【答案】B 9.【考点定位】考查复数的计算 【考核日标】掌握复数的乘除、模的计算、共轭复数的概念 【解题思路】取=一2十i,2=i,满足一=一2<0，而虚数不能比较大小，A错误；由一，知刘是 的共轭复数，则=，B正确：设≈=a十bi,=c十di(a,b,c,d∈R),则1·2=(a一bd)十(ad十x)i=0, 则c-=0即ac=d,于是ad=一cd,若c=d=0,则dd=-d成立，此时=0：若c=0, ad+=0,ad=-bc, d≠0，由ac=bd知b=0:由ad=一c知：a=0,此时1=0；同理当c≠0，d=0时，=0；若c≠0，l≠0，由 a2cd=一cd得a2=一，则a=b=0,此时1=0：因此若·2=0，则名1=0或2=0，C正确；取x1=1, 2=i,满足|≈|=|2|，而好=1≠一1=戏，D错误.故选BC 【答案】BC 10.【考点定位】考查解三角形， 【考核目标】掌握解三角形的方法. 【解题思路】由2=a2+2c,得2(a2+c2-?)=a2,由余弦定理得2×2 accos B=a2,即a=4 ceos B,A正 确：由a=4 ccos B及正弦定理，得sinA=4 cos Bsin C,即sin(B十C)=4 cos Bsin C,所以sin Bcos C十 cos Bsin C=4 cos Bsin C,即sin Bcos C-3 cos Bsin C,所以tanB=3tanC,B错误：由上知tanB=3tanC,所 以B.C均不为直角，进面A=受·则1anB=C代入mB=3anC,得amB=3因为B为锐角，所以B =号，C-否，所以b-√Bc,C正确：过B作BD⊥AC,则AD=cOsA.又P在AD之间运动时，P月与P它的 夹角为钝角，因此要求PA·P的最小值，P应在AD之间运动，即|AP|∈(0，ccosA), 又PA·Pi=(-AP)(AB-AP)=-|AP·|AB·cosA+|AP:=|AP|: 1 APlccos A,.当A=cA时，Pi,P取最小值为-coA,D错误.故选AC 【答案】AC 11.【考点定位】考查三角恒等变换、基本不等式. 【考核目标】掌握二倍角的正弦公式、两角和与差的正切公式、利用基本不等式求最值. 【高一5月联考·数学(B卷)参考答案第2页（共6页）】 25-X-732A 【解题思路】因为sin(a十3)cos(a-3)=sin(2a+23),所以sin(a十3)cos(a-3)=2sin(a十)cos(a+). 因为a十3≠kπ，k∈Z,所以sin(a十3)≠0，所以cos(a-3)=2cos(a十3)，A正确：cos acos3十sin asin B- 2 cos acos B-2 sin asin月，3 sin asin=-cos acos又cos acos B≠0，所以tan atan B=3,B正确：tana十 3tan3=tana+3× 1 3tan a ama十品。当ame>0时，ma十a。之2（当且仅当ma=1时取等号），当 tana<0时，tana十 L≤-2（当且仅当tana=-1时取等号），C错误：tana+2an(a+)十3tan= tan a 1 tana+2· tana+ian +3tan 8-tan a+2. 1-tan atan B tana十3tana+3· -tana·3tana 1 =4ana千ang当ana≥0时y 3tan a 4tan a+2 2ana·2=42,当且仅当4ane2即ana号时等号成立：当ana<0时 tan a tan a tan a （-4am)+(-品a)≥2√-4am(品a】 2 =4②，即4an。寸n。4区，当且仅当 2 -4tan a= ,即tana= tan a 号时等号成立.综上，am6十品。c（-0,-4]U[4,反.+o,即 tana十2tan(a十3)十3tan3∈(-o,-42]U[42,+∞)，D正确.故选ABD. 【答案】ABD 12.【考点定位】考查复数的计算. 【考核目标】掌握复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【解题思路】由十i+十i=0,得x=i十十十…+225+i28=506·(i+++i)十i+?=一1十i,所 以交=一1一i 【答案】-1-i 13.【考点定位】考查向量的坐标运算及向量平行的条件. 【考核目标】掌握向量的坐标运算及向量平行的条件， 【解题思路】由a·b=mm+1)一-2<0，得-2<m<1.当a/b时，有m十1=一2m,解得m=一子，此时向 量a,b的夹角为π，所以实数m的取值范围为(-2，-号)U(-号，1). 【答案】(-2，-号)U(-31) 14.【考点定位】考查三角恒等变换， 【考核目标】掌握二倍角的余弦公式、两角和与差的正弦公式。 【解题思路】4an10一V 1+c0s20 1 1+2cos210-1=1 2 4tan1o一V 2 4tan10-cos10°=c0s10 4sin 10 cos10°=os10°-4sin10'c0s10°=c0s10°-2sin20°-c0s10°-2sin(30°-109_3sin10°_5 4sin 10 4sin 10 4sin 10 4sin10° 4 【容案】9 15.【考点定位】考查复数的相关概念及计算. 【考核目标】掌握复数范围内方程的根、纯虚数的概念，复数的除法运算、模的计算 【解题思路】(1)将x=1+i代入方程中，结合复数相等求出a,b的值，从而求得≈1的模；(2)根据复数为纯虚 数求得m的值，再进行复数的除法运算。 【参考答案】解：(1)由题知(1十i)2十a(1十i)十b=0,… 1分 整理得(a十b)十(a十2)i=0, …3分 则 a十二0解得a。2, 5分 a+2=0, 1b=2. 【高一5月联考·数学(B卷)参考答案第3页（共6页）】 25-X-732A 所以刘=一2十2i,…6分 |名=/(-2)十2=22.…7分 (2)由(1)知，2=1+(m-1)十(m一2)i=(m一3)十mi, 因为复数为纯虚数，所以 m-3=0, 解得m=3, 9分 ≠0. 所以2=3i,… 10分 所以譬=-a”-3生-号+ 13分 16.【考点定位】考查三角恒等变换。 【考核目标】掌握二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式，两角和与差的正切公式。 【解题思路】(1)利用两角和与差的正切公式求出tana的值，从而求得sina,cosa的值，再利用二倍角的正 弦公式求得sin2a的值：(2)先求出tan2a的值，再由tan(2a-3)=tan[2a-]求解. 【参考答案】解：(1)由am(a+平)= tana十tan车=7，得tana 3 1-tan atan4 4· …3分 因为a∈(0，受），所以sina=号osa=告… 4 …5分 所以s如2么=2s血ms&=2X号×专-2器 5 7分 (2由a知am&=子，所以an2a=m。 2tan g 2X3 424 19 7· …9分 16 因为c(o,受)，as产号，所以smg-2 5,tan B=2. 44444…t4+…t4+g 12分 所以tan(2a-)=an2a。tanE 9 1+tan 2atan B 15分 1+24×2 7 17.【考点定位】考查解三角形. 【考核目标】掌握解三角形的方法. 【解题思路】(1)利用余弦定理及三角形的面积表示，化简求得A的值；(2)利用余弦定理及二次函数性质求 得S:一-S的最大值 【参考答案】解：1)由S=2sinA及+e2-a)sinA=2S, 得（十2-a2)sinA=bcsin A,…2分 又A∈(0，x),所以sinA>0,…3分 所以十℃2一公=b0,…4分 由余弦定理得cosA=+一a=c一1 2be 2h%2,…… 5分 因为A∈(0，x,所以A=吾 …6分 (2)设△ABC外接圆的半径为R,则OA=OB=OC=R,且2R= 2 sin Bsin B即R- sin B' …7分 因为∠AOC=2∠ABC,∠BOC=2∠BAC= 3 【高一5月联考·数学(B卷)参考答案第4页（共6页）】 25-X-732A 所以S=R·sm∠A0C=合·B·sm2B tan B' …8分 1 3 4 sinB 4 …10分 所以s-8=B(+B)=· 13 4 tan B tan B 4' 11分 0<B<受， 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得否<B<受， E-BK受 所以amB∈（停，+e), ..............0 ............... 12分 令B=0.则s-=)=-r+9=-(-2)+ …14分 所以当x一2时8-S取得最大位号 15分 18.【考点定位】考查平面向量的线性运算及数量积 【考核目标】掌握平面向量的基本定理及数量积运算， 【解题思路】(1)利用向量的平行四边形法则求解：(2)利用向量共线定理及基本不等式求解；(3)将相关向量 表示出来，求出数量积，再利用基本不等式求最值。 【参考答案】解：(I)因为D是BC中点，所以AD=2A+号AC 1分 因为O是AD中点，所以A0-2AD=A店+AC, 2分 又Aò=xA店+yA心，所以x=y= 3分 4分 (2由1)知0-专+衣-市+à， …5分 又0.P,Q三点共线，所以十-， …7分 所以加+=(m+m(品+动)=+十≥2√丹×+号-号（当且仅当-时取等号，可 ，n=子时取等号.… 得m=是 …9分 3)0亦=A市-A0=mA店-(A+AC)=(m-)A店-1AC 0Q-AQ-AO-AC-(1AB+1AC)--1AB+()AC. 10分 因为A=AC=1,∠BAC=60,所以ai.AC-1X1X3-2, 11分 所以O=[(m-})店-}A心]=(m-)）'-(m-)+品=m-30+器 o=[-a+(。-)]=6-(m-)+(u-）=㎡-+是 12分 则1O+1O:=m2+r-子(m十)+冬=(m十n)2-2mm-是(m十)+是 ，…13分 由(2)知n+-1,即m十n=m 【高一5月联考·数学(B卷)参考答案第5页（共6页）】 25-X-732A 又m十≥2Vmm,所以4m≥2√m,解得mm>(当且仅当m=n=是时取等号)，…14分 所以O+à：=(4m)-2m-子×4m+是=16m-5mm+是=16(m是)》'-高 因为片>最所以当m=时，0+0à：的最小值为16(}一是)》广-品-宫 17分 19.【考点定位】考查定义新运算、函数性质、三角函数性质， 【考核目标】灵活运用函数性质、三角函数性质。 【解题思路】利用新定义转化为函数问题、三角函数问题， 【参考答案】解：(1)(sinx,c0sx)②(2,4)=(2sinx,4c0sx)=(-√3,2)，… 1分 sin x=- 所以 2sinx=-3,即 2, 解得x=2kx一交，k仁Z,……3分 4cos x=2, 1 所以实数x的取值集合为{xx=2km一吾，∈Z 4分 (2)因为(W3sinx,-cosx)☒(2v3)=(23sinx,-√3cosx) 所以[(w3sin,x,-cosx)⑧(2，w3)]=|2√3sinx-√3cosx=√3l2sinx-cosx|=√3√(2simx-cosx) =3v4sin'.r+cosr-4sin .rcos r=31+3sin'r-4sin rcos r -1+3si4s0os工-8/+3am4an王=@ sin'x+cos2r tan2x+1 2 …7分 解得tanx=3或tanx=一号 3… (3)不存在实数x,使得[(2sin元x,f(x)②(f(x),1-3cos2πx)]=12.…9分 因为(2sin元x,f(x)⑧(f(x),1-3cos2π.x)=(f(x)·2sin元r,f(x)·(1-3cos2π.x), 所以[(f（x)·2sin元，f(x)·(1-3cos2元x)]=|f(x)·2 sin xx十f(x)·(1-3cos2x.x) =|f(x)川·|2sin元x+1-3cos2πx=|f(x)|·|6sinπx+2sin元x-2.…10分 因为f(x+2)为奇函数，所以f(-x+2)=一f(x+2),即f(x)=-f(4一x), 又因为f(x十4)为偶函数，所以f(一x十4)=f(x十4)，所以f(x)=-f(x十4)=f(.x十8)， 所以f(x)是周期为8的周期函数.………11分 任取x∈[2,4].则4-x∈[0,2]，由x∈[0,2]时，f(x)=x-2,及f(x)=-f(4-x), 得x∈[2,4]时，f(x)=x-2,所以x∈[0,4]时，f(x)=x-2: 任取x∈[4,8]，则8-x∈[0,4]，f(x)=f(8-x)=8-x-2=6-x, 故x∈[0,8]时.f(x)∈[-2,2]， 则当x=0或4或8时，f(x)取最大值2， 又T=8,故x=4k(k∈Z)时，|f(x)川取最大值2. 14分 对于函数y=6 sin十2sin-2=6(sn元+名)》广-号。 当sin元x=一名时，取最小值-号，当sm元x=1时，取最大值6， 故6sim元+2sin元x一2到的最大值为6，此时sin元x=1,元x=2kx+受，k∈乙，…16分 即x=2k+之（k∈D,虽然2×6=12，但是x=4(k∈Z刀与x=2k+2(∈D不能同时成立， 故不存在实数x,使[(2sin元x,f(x)☒(f(x),1-3cos2π.x)]=12.…17分 【高一5月联考·数学(B卷)参考答案第6页（共6页）】 25-X-732A■ ■ 2024~2025学年度第二学期高一5月联考 请在各塑同的答题区域内作答，短出矩形边框啊定区威的落素无效 精在各塑同的苦赠区城内作著，妇出矩形边粗刚定区域的答案无效 数学答题卡 5本小厘调学1口 8本理离计5 学校 蛙名 13 414 4414 4 4 4 班级 考场 ?香两，平车年年得非年有出仁身件号车平有材唐年写用 金的后营的生条粉，马上当海有金得性道与卡名每作e通 意上法州能期4出自性生：4中金来地通山生 事西电中专7内节，中家市球年， 贴条彩科区 线显房月4的门具，单量量鱼得想每售 4南特卡有速卡来特带有特理 填涂标制下曲植： 情楼填峰：节其C下 编考标记：口 该样题（情用2B铅笔填涂） 11.1t021tutn1 3Ct1i97tn时 ◆C42t1tc3.tn1 1 [t0]fE][o] b(3 a te)Ib] 1BC+】I灯c.Ib] 3t1mto 4t4」.E1f间n K E4 EHI C8 In1 套选挥题í请使用05毫米的属色字使整字笔书写) 25分到 s 145分) 请在春缠日的答理区碱内作酒。相州矩形边檀雕定区城的兹案无效！ 清在备量日的苦罐区提肉作等，排出翅制边桶限实区域的苦案光效 清在各楚日的答随区域内作答，易出矩形边想刚定区域的答案天效 两一3月■号：n学等1算1具3)5-X-T35- 请在春塑日岭答塑区国内作荔，烟出蝇形边框丽定区域的落案无效 请在各塑同的答题区域内作，短出矩形边短隔定区威的答素无效 精在各塑同的答赠区城内作著，妇出矩形边粗刚定区域的答素无效 17.4参小置满分15 8本道离女17什： 19本6避离什1？计打 请在各嘴日岭落烟区域内作答。相出炬形边框限定区铺的答案无效 请在客赠用的答鞋区域内作答，范出矩彩边框附定区域的答案无嫩！ 清在各楚日的答随区域内作答，易出矩形边想刚定区域的答案天效 两一3月■号：n学等于算1具3)5-X-T35-1