【安徽省县中联盟】2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题（A卷）

2024~2025学年度第二学期高一5月联考·数学(A卷) 参考答案、提示及评分细则 1.【考点定位】考查复数的计算及几何意义. 【考核目标】掌握复数的计算及几何意义， 【解题思路】由1一2)(3+D_5=1一i,得复数：在复平面内对应的点为1，-1D,位于第四象限.故 5 5 选D. 【答案】D 2.【考点定位】考查向量的坐标运算及向量垂直的条件. 【考核目标】掌握向量的坐标运算及向量垂直的条件。 【解题思路】因为a16,所以a·b=发十（使-1D(2-)=发十（一十3论-2）=3谈-2=0，解得=号.散 选A 【答案】A 3.【考点定位】考查立体图形的直观图， 【考核日标】掌握斜二测画法中有关量的计算. 【解题思路】由图知△OAB中，OA1OB,OA=2,OB=4,所以△OAB的面积为号×2X4=4放选C 【答案】C 4.【考点定位】考查简单几何体的体积 【考核目标】掌握圆锥的体积计算及其侧面展开图。 【解题思路】设园锥的高为h,侧好动=号，解得小-厅，母线长为V下+（了-2，所以圆维的制面展开图 所对应的扇形的圆心角为受=元故选D 【答案】D 5,【考点定位】考查空间直线的位置关系 【考核目标】掌握求异面直线所成角的方法 【解题思路】如图，取AE的中点G,连接FG,CG,则FG∥AB,所以∠CFG就是异面直线AB与CF所成角 或其补角.由题知AB,AC,AD两两垂直，在△ACG中，AG=2,AC-2,所以CG √4+子=平连接CE.在△E巾，BE=E=厅，C=2厄，所以 COS∠CBE= 8+5-5 2 2X5×2/2 片，在△BCF中，CF=8+号-2×22×号× os∠CBE=头，所以CF=T,在△CPG中，os∠CFG= 1+21-12 44 22I x1xV21 214 2 所以异面直线AB与CF所成角的余弦值为2， 21 .故选D. 【答案】D 6.【考点定位】考查解三角形 【考核日标】掌握解三角形的方法。 【解题思路】由余弦定理得a2=?十c2-2 bccos A=b十c2十bc=4bc,所以(b+c)2一bc=4bc,所以(b十c)2= 认=5x等-寻心，放叶(-号由正孩定理品Bc得mmC品放mB叶如C b+c 2 【答案】B 【高一5月联考·数学(A卷)参考答案第1页（共6页）】 25-X-732A 7【考点定位】考查空间点、直线、平面的位置关系 【考核日标】掌握线面垂直的判定和性质。 【解题思路】如图，过点N作NH⊥AB,垂足为H,连接MH.因为MN⊥AB,HN⊥AB, MN∩HN=N,MN,HNC平面MNH,所以AB⊥平面MNH.因为MHC平面MNH, 所以AB⊥MH.因为HN=HB,MH=MH,MH⊥HN,MH⊥HB,所以△BHM≌ △NHM,所以MN=MB=2,所以点M的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆弧，所以DM 的最小值为DB-2=22-2.故选B. 【答案】B 8.【考点定位】考查定义新运算 【考核目标】掌握并灵活运用向量及三角函数相关运算 【解题思路】由0E(倍·受)，知0<os0号.因为a>b1,所以0<舟<1,0<s0<号 因为©a=合ms,所以0<ea<号.0<2(b80)<.因为2e0)是整数，所以2（⊙a)=1,所以 d1,所以<ms0<号，因为ae6-丹os0 2os0,<cos0K<子，所以<2os0<号，即宁<aE6<号，放a⊙b的取值范围为（分，号）人故选C 【答案】C 9.【考点定位】考查众数、中位数、极差、百分位数 【考核目标】掌握众数、中位数、极差、百分位数的概念及计算方法 【解题思路】将这组数据按从小到大的顺序排列为1,1,2,3,5,5,5,6,8，所以众数为5：中位数为5；极差为8 一1=7：9×70%=6.3，所以70%分位数为5，A、C、D正确，B错误.故选ACD. 【答案】ACD 10.【考点定位】考查解三角形， 【考核目标】掌握解三角形的方法。 【解题思路】由2b=a2+2c2,得2(a十2-6)=a2,由余弦定理得2×2 accos B=a2,即a=4 ccos B,A正 确；由a=4 ccos B及正弦定理，得sinA=4 cos Bsin C,即sin(B+C)=4 cos Bsin C,所以sin Bcos C+ cos Bsin C=4 cos Bsin C,即sin Bcos Ca=3 cos Bsin C,所以tanB=3tanC,B错误；由上知tanB=3tanC,所 以B.C均不为直角，进面A=受则amB=回C代人anB=3amC,得1amB=3.因为B为锐角，所以B =吾，C-吾，所以b=Bc,C正确：过B作BD⊥AC,则AD-QosA.又P在AD之间运 动时，PA与PB的夹角为饨角， 因此要求PA·P市的最小值，P应在AD之间运动，即|AP∈(0，ccosA),又P,P成 =(-AP)(AB-AP)=-|AP·|Ai|·csA+|AP1=|AP2-|APIccos A,当|A1=os4 时，PA·P跟最小值为一子cos'A,D错误.故选AC. 【答案】AC 11.【考点定位】考查空间点、直线、平面的位置关系。 【考核目标】掌握球的表面积计算、求二面角的方法、截面积的计算。 D 【解题思路】由AB=2,得正方体ABCD-A1BCD的外接球的半径R= ②+2于2=5，所以正方体ABCD-A,B,CD,的外接球的表面积为4xX(3) =12x,A错误；如图1，在平面ABCD内过点A作BD的平行线，由BP=DQ,BP∥ DQ,知四边形BDQP是平行四边形，所以BD∥PQ.又因为BD∥L,所以PQ∥BD∥L, 所以l是平面APQ与平面ABCD的交线，B正确：如图1，分别取PQ,BD的中点M, (图1) 【高一5月联考·数学(A卷)参考答案第2页（共6页）】 25-X-732A N,连接AN,MN,AM,则AP=AQ,AB=AD,PM=QM,BN=DN,所以AM⊥PQ,AN⊥BD.又PQ∥I∥ BD,所以AM1L,ANL,所以∠MAN是平面APQ和平面ABCD所成的二面角的平面角，则1csO1-微 AN×2PQVE×2×22 2 AMXZPQ ，C正确： 如图2，延长CC使得CT=BP,连接PT交B,C于点E,连接QT交C1D于点F, D 则CT=BP=号，BP=DQ=专，且AQ∥PT,AP∥QT,所以平面APQ截正方体 Q ABCD-ABCD所得截面为五边形APEFQ.又AT⊥PQ,PQ=2VE,AT- √2+(2+号)-2屋，所以△APQ的面积为号×2×-2，五 3 3 3 边形APEFQ的面积为2区+2厘×2=7厘，D错误，故选C (图2) 3 6 【答案】BC 12.【考点定位】考查随机抽样 【考核目标】掌握抽样比、各层总数的计算 【解题思路】女生位抽取的人数为23×0”而=12人 【答案】12 13.【考点定位】考查向量的坐标运算及向量平行的条件. 【考核日标】掌握向量的坐标运算及向量平行的条件。 【解题思路】由a·6=mm十D一2<0，得一2<m<1.当a/b时，有m十1=一2m,解得m=一子，此时向 量a,b的夹角为x,所以实数m的取值范围为(-2，-子)U(-了，1). 【答案】(-2，-3)U(-3,1) 14.【考点定位】考查空间点、直线、平面的位置关系。 【考核目标】掌握线面垂直的判定及性质、利用对称求最短距离问题. 【解题思路】如图，连接PN.因为△PBC,△PAB都为正三角形，M为BP的中点，所 以CM⊥BP,AMLBP,所以BP⊥平面MAC.所以B,P关于平面MAC对称，BT= PT,BT+NT=PT+NT≥PN=,当且仅当P,T,N三点共线时，等号成立，即 BT+VT的最小值为/. 【答案】5 15.【考点定位】考查复数的相关概，念及计算. 【考核日标】掌握复数范围内方程的根、纯虚数的概念，复数的除法运算、模的计算。 【解题思路】(1)将x=1十i代入方程中，结合复数相等求出a,b的值，从而求得1的模：(2)根据复数为纯虚 数求得m的值，再进行复数的除法运算. 【参考答案】解：(1)由题知(1十iD2十a(1十i)十b=0,…1分 整理得(a十b)十(a十2)i=0,… 3分 则/a十b=0, 1a+2=0, 解得a=-2, 5分 b=2, 所以2名=一2十2i,… 6分 ||=/(-2)+22=22.… 7分 (2)由(1)知，2=+(m-1)+(m-2)i=(m-3)十mi, 因为复数为纯虚数，所以m一3=0解得m=3… 9分 m≠0， 【高一5月联考·数学(A卷)参考答案第3页（共6页）】 25-X-732A 所以2=3i,… 10分 2 13分 16.【考点定位】考查用样本估计总体. 【考核目标】掌握由频率分布直方图计算频率、频数、样本平均数、方差 【解题思路】(1)根据直方图各区间的频率和为1求参数α：(2)由平均数的计算公式及直方图求解即可： (3)根据平均数、方差的计算公式求解， 【参考答案】解：(1)由题知：10×0.01+10×0.015十10×0.025+10×2a十10×0.01=1，…2分 解得a=0.020.…4分 (2)平均数为：(0.01×45+0.015×55+0.025×65+0.02×75+0.02×85+0.01×95)×10=70.5分. 8分 (3)设男生成绩的平均数元=70.5，方差S=214.75,女生成绩的平均数y=73,方差S=255.75,总体成绩 的平均数为，方差为S,…10分 则=0+=71.5， ……4…0…………… 12分 s=0[等+G-]+0[s+G-)]=0[21475+(71.5-70.5]+0 [255.75+(71.5 73)]=232.65. 所以总体成绩的平均数和方差分别为71.5和232.65.… …15分 17.【考点定位】考查解三角形. 【考核目标】掌握解三角形的方法。 【解题思路】(1)利用余弦定理及三角形的面积表示，化简求得A的值：(2)利用余弦定理及二次函数性质求 得S:一S的最大值， 【参考答案】解：)由S=2 lesin A及(+2-a)sinA=25, 得(b十C2-a2)sinA=bcsin A,… 2分 又A∈(0，x),所以sinA>0, 3分 所以十c2-a2=c,… 4分 由余弦定理得0sA=+一心=冬=】 2bc 》1+“…*4…………… 5分 因为A∈0，元，所以A=子 6分 (2)设△ABC外接圆的半径为R,则OA=OB=OC=R,且2R b 2 sinB-sinB,即R- sin B' …7分 因为∠AOC=2∠ABC,∠BOC=2∠BAC=2 3 所以S=R,sm∠A0c-·品B·m2B= tan B' …8分 4 …10分 34 sinB 所以s-sB(+B)=具·BB。 1 11分 0KB受， 因为△ABC为锐角三角形，所以 0<-BK登 解得吾<B受， 所以mB(停，+） 12分 【高一5月联考·数学(A卷)参考答案第4页（共6页）】 25-X-732A B=xe0).则s-s=f)=.r+一=(x25)+得 食、 14分 所以当x=2时，S一S取得最大值号 15分 18.【考点定位】考查平面向量的线性运算及数量积 【考核目标】掌握平面向量的基本定理及数量积运算 【解题思路】(1)利用向量的平行四边形法则求解：(2)利用向量共线定理及基本不等式求解：(3)将相关向量 表示出来，求出数量积，再利用基本不等式求最值， 【参考答案】解：(I)因为D是BC中点，所以AD=号A+AC, 1分 因为O是AD中点，所以A=2AD=AB+AC, 2分 又A0=xA店+yAC,所以x=y= 3分 所以2y=-=子 4分 (2)由(1)A0-A+AC-A市+A0, 5分 又0.P,Q三点共线所以十拉， 7分 所以4m十=(4m+(十)=+十>2√只×品+号=是（当且仅当兴=品时取等号，可 得m=，=子时取等号)。 …9分 (3)O=A2-A0=mA店-(AB+AC)=(m-子)A店-AC =à-ò=m花-(+花)=-A市+(-是)花， …10分 因为A=AC=1,∠BAC=60,所以AB·AC-1X1X号=号， 11分 所以o=[(m-子)-子]=-(m-子)》'-(m-子)+品=㎡-职+， =[-+(m-)]=6(。-)+(-)广=-婴+品， 12分 则1O+=m+i-子(m+m+是=(m+m-2m-是(m++ ,…13分 由（2知十动-1，即m+n=4nn 又m十n≥2m,所以4切m>2√m,解得mm≥子（当且仅当m=1=之时取等号)， 14分 所以O+0e=(4m)-2m一子×4m+是=16(m)P-5m+是=16(m最）'-高 因为>最所以当m=子时.O+6à：的最小值为16（一是）°-高-日 …17分 19.【考点定位】考查空间点、直线、平面的位置关系. 【考核目标】掌握线面垂直的判定、求二面角及线面角的方法. 【解题思路】(1)由勾股定理得到AB⊥AB,BC⊥AB即可求证：(2)取BC的中点D,证明∠ADC1是二面角A -BC-B1的平面角，即可求解：(3)过点A作AH⊥CD,交CD的延长线于点H,证明点P到平面BB1CC 的距离为AH,直线B即与平面BB,CC所成角的正弦值为部，分析B即的最大，最小值，即可求解。 【参考答案】(1)证明：在△ABA中，AB=3,AA=5,AB=4,所以AA=AB+AB,所以AB⊥A1B, …1分 【高一5月联考·数学(A卷)参考答案第5页（共6页）】 25-X-732A 在△A1BC中，BC=3,A1C=5,A1B=4,所以AC2=BC+A1B,所以BC⊥AB,…2分 又AB,BCC平面ABC,AB∩BC=B,所以AB⊥平面ABC.…3分 (2)解：如图，连接BC1,取BC的中点D,连接AD,C1D,AC. 因为AB⊥平面ABC,平面ABC∥平面ABC,ACC平面ABC,所以AB⊥AC, 因为AB=4,A1C=3,所以BC=5,…4分 因为AB=AC=3,CC1=BC1=5,D是BC的中点，所以AD⊥BC,CD⊥BC, 所以∠ADC是二面角A一BC-B1的平面角.…5分 在等边△ABC中，AB=3,BD=CD,所以AD=3至 2” …6分 在△cC中，因为G=5,CD=号，所以GD=VCC-CD-√25-耳= 2 …7分 在平行四边形AA,CC中，cos∠AAC-十5-5=3 2×3×5 101 所以cOs∠AA,C=- AG-√3+5-2x3X5x(-高)=B, …8分 ()+()-() 在△ADC中，cos∠ADC1 33 2x39×身 9T1 所以sin∠ADC=V-os∠ADC=8厘 91 故二面角A-BC-B1的正弦值为8可 91 9分 (3)解：如图，过点A作AH⊥C1D,交CD的延长线于点H. 因为BC⊥AD,BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CDC平面ACD,所以BC⊥平 面ACD. 因为AHC平面ACD,所以AH⊥BC 10分 又AH⊥CD,BCNC D=D,BC,CDC平面BBCC, 所以AH⊥平面BB,CC,sin∠ADH=sin∠ADC,=8 91, 所以AH=ADsin∠ADH=33×8=122 2 91 91 ……12分 因为AA1∥BB,BB,C平面BB1CC,AA1亡平面BBCC,所以AA1∥平面BB1CC 又因为点P在棱AA上，所以点P到平面BB,CC的距离为AH=122至 91 所以直线BP与平面B,CC所成角的正孩值为提=1票 9BP,…15分 当BP⊥AA时，BP最短，为3X4=12, 55 可得直线BP与平面BB,CC所成角的正弦值的最大值为22邵=52驱 91×号 91 当点P与A1重合时，BP最长，为4， 可得直线BP与平面BB,CC所成角的正弦值的最小值为22距=32驱 91×4 919 故直线BP与平面BB,CC所成角的正弦值的取值范围为 3/2735/273 9191 …17分 【高一5月联考·数学(A卷)参考答案第6页（共6页）】 25-X-732A2024~2025学年度第二学期高一5.月联考 在各的答域沟作等,出形边梳阻定区的无效 在各的答题内作答,出形达定域的答实效 数学 答题卡 15.4413}1 1格体%满15 学校 姓名 考场 .意实,上如直有,文是 , 。 - 士.、、过 贴条形哥区 。 rn t 填涂标例 正区: :记。 选择题(请用2B铅填) r。] 16口] 11 ,□11-1101 3111 1]-] 1□】( 在}p nD口tD 考选择题1请使期05要染的黑色字读答字第写 10 105 1-5 请在各的区等,超铅定区的无效 请在各题目的题区技内作答,出铅料边区的答案无数 请在各题的区域内作苦,出笔形边区域的答无效 高一5号数 第1页(共2页)25-X-7 在各题目的答断区域内答,是形边梳险定区结的答客无效! 在各的答域沟作等,越出形边梳阻定区的突无 在各的答题内作答,出形达定域的答实效 -7.(15% 156满17% 14617初 请在各目的答陪区为答,担出边指区结的答无的 请在各精的区内作等,出边区的等客无 请在各题的区域内作苦,出笔形边区域的答无效 高一5号数 第:页(共2页)25-X-72024~2025学年度第二学期高一5月联考 数学(A卷) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第九章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.复数=1一2)(3+在复平面内对应的点位于 5 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(k,k一1)，b=(k,2一k),若a⊥b,则实数k= A号 B.1 c号 n号 3.如图，△OA'B是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，其中OA'=OB'=2,则 △OAB的面积是 A.1 B.2 C.4 A D.8 4.某圆锥的体积为号，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为 A晋 B c等 D.元 5.已知正三棱锥A-BCD的底面BCD是边长为2V2的等边三角形，侧棱AD=2,点E是棱 AD的中点，点F是BE的中点，则异面直线AB与CF所成角的余弦值为 A.217 17 c D.2②1 21 【高一5月联考·数学(A卷)第1页（共4页）】 25-X-732A 6.在△ABC中，内角A,BC所对的边分别为a,6c,若A=要a2=4c,则sinB+血C B.V15 4 D. 7.如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点N在线 段BF上运动，点M在正方形ABCD内运动，MN=2,且始终保持MN⊥AB,则DM的最小 值为 A.√2-1 B.2√2-2 c号 8.对任意两个非零向量m,n,定义新运算：m④n=mcos(m,m,(m,m>表示向量m,n的夹 n 角.若非零向量a,b满足a>b,向量a,b的夹角0∈（需，受），且2(b④a)是整数，则a④b 的取值范围为 A(合) &(1,) c(合)】 D.(受3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.现有一组样本数据1,3,1,5,5,6,8,2,5，则这组数据的 A.众数为5 B.中位数为3 C.极差为7 D.70%分位数为5 10.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,2b=a2+2c2,则下列说法正确的是 A.a=4ccos B B.tan B=4tan C C.若△ABC是直角三角形，则b=√3G D.若△ABC是锐角三角形，P是线段AC上一点，则Pi·P的最小值为-ccos2A 11.如图，正方体ABCD-A1B,CD1的棱长为2，P,Q分别是棱BB1,DD1上 的点（不包括端点），且BP=DQ,则下列说法正确的是 Q A.正方体ABCD-A,BCD的外接球的表面积为8π B.若平面APQ与平面ABCD的交线为I,则PQ∥1 C若平面APQ与平面ABCD所成的二面角为0，△APQ的面积为S,则1cs01=号 D.若BP=2PB,则平面APQ截正方体ABCD-A,B,CD所得截面的面积为√I7 【高一5月联考·数学(A卷)第2页（共4页）】 25-X-732A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容 量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取 人 13.已知向量a=(m,1),b=(m十1，一2)，若向量a,b的夹角为钝角，则实数m的取值范围 为 14.如图，已知正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，M,N分别是BP,BC的中点，T是△AMC所 在平面内的一点，则BT+NT的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知复数z=1+i是关于x的方程x2十a.x十b=0(a,b∈R)的一个根，复数1=a十bi (1)求1： (2)若复数2=1十(m一1)十(m一2)i(m∈R)为纯虚数，求 16.(本小题满分15分) 为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情 怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛.共有100 名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在[40,100]内，将60名男生 的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100],并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值： (2)根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成 频率 组距 绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；0.025 (3)已知这60名男生成绩的方差为214.75,40名女生成绩0.015 0.010 的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生 成绩的平均数和方差. 0405060708090100成绩/分 【高一5月联考·数学(A卷)第3页（共4页）】 25-X-732A 17.(本小题满分15分) 在面积为S的锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(b+c2一a2)sinA=2S (1)求A: (2)若b=2,O为△ABC外接圆的圆心，记△AOC和△BOC的面积分别为S1,S2,求S1一S2 的最大值， 18.(本小题满分17分) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，O是AD的中点，过O点的直线与边AB,AC分别相交 于点P,Q.设AP=mAB(m>0),AQ=nAC(n>0). (1)若AO=xAB+yAC,求2x-y的值： (2)求4m十n的最小值： (3)若△ABC是边长为1的等边三角形，求OP2+OQ的最小值， 19.(本小题满分17分) 如图，在三棱柱ABC-A,B1C中，底面ABC是边长为3的等边三角形，AA,=AC=5, AB=4. (1)证明：AB⊥平面ABC: (2)求二面角A-BC-B1的正弦值： (3)若点P是棱AA,上的动点（包括端点），求直线BP与平面 BB,CC所成角的正弦值的取值范围， 【高一5月联考·数学(A卷)第4页（共4页）】 25-X-732A