2025年湖南省初中学业水平考试数学试卷（一）

2025年湖南省初中学业水平考试数学试（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.－｜－2025｜的相反数是（ ） A．2025 B．－2025 C． D．－ 2.剪纸是中国的一项民间艺术，人们将剪好的图案贴在门、窗、灯笼等上面，以表达喜乐感情及生活感受，因此，我们又称剪纸为“剪画”或“窗花”.剪纸图案的取材既美观又富情趣，在中国民间广为流传.以下是某中学剪纸社团的部分作品，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3.下列运算正确的是（ ） A．x8÷x2＝x4 B．x2•x4＝x8 C．2x3+3x3＝5x3 D.（x2y）2＝x4y 4.2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》凭借精彩绝伦的剧情、震撼的视觉效果以及蕴含的深厚中国传统文化底蕴，在全球电影市场掀起热潮，截至2025年2月25日，该电影的全球票房成绩斐然，高达 138亿元人民币，是中国文化走向世界、打动人心的有力见证.电影《哪吒 2》的全球票房 138亿用科学记数法可以表示为_____.（ ） A．13.8×109 B．1.38×109 C．1.38×1010 D．1.38×1011 5.下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 6.利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 7.在一个不透明的袋子里装有3个红球、2个蓝球，这些球除颜色外完全相同.小明从袋中随机取出一个球，记录颜色后放回袋中，重复此操作两次.两次取出的红球颜色相同的概率？（ ） A. B. C. D. 8.定义:若两个二次函数图象的顶点关于原点对称且开口方向相反，我们称其中一个二次函数是另一个二次函数的“逆关联函数”.例如:二次函数y =(x -1)²+2，其顶点坐标为(1,2)，它的“逆关联函数”顶点坐标应为(-1,-2)，且开口向下，即y =- (x +1)²- 2.已知二次函数y = 2(x - 3)² +4,那么它的“逆关联函数”是( ) A. y =- 2(x +3)² - 4 B. y = 2(x +3)² -4 B. y =- 2(x - 3)² -4 D.y = 2(x- 3)²-4 9.已知⊙O的半径为5，弦AB的长为5，点C是弦AB所对优弧上一点(不与A、B重合)，连接AC、BC，则∠ACB的度数为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 10.请你用描点法画出y=|x-4|-3|x+5|的图象,给出下列结论:①此函数有最大值,最大值为9;②当x>-5时,y随x的增大而减小;③不等式2|x-4|-6|x+5|≤-28的解集为X≤-25或x≥3;④若二次函数y2=-x2+k与y的图象至多有一个交点,则 k<-15,其中正确的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题:本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.因式分解：= . 12.计算：= . 13.“长安一片月，万户捣衣声.”古时人们常需在特定时节赶制衣物，有一制衣坊，若熟练裁缝单独完成一批衣物需x天，新手裁缝单独完成则需比熟练裁缝多5天，两人合作4天可完成这批衣物的.依题意可列分式方程: . 14.如图，在 2024 年 2 月，巴黎奥运会主办方公布了珠宝商 Chaumet 设计的奥运奖牌，我们可以看到，奥运会和残奥会的奖牌中间镶嵌着一个六边形铁块，这块重 18 克的铁可不是普通的铁，而是真实的埃菲尔铁塔的旧建材.这个六边形铁块的内角和为 15.若关于的一元二次方程3x2-7x+k=0的两根x1、x2满足x1+x2=4，则k= . 16.在平面直角坐标系xoy中，一次函数y = kx+b (k ≠0) 的图象与y轴交于点A(0,3)，且与反比例函数y =(m≠0) 的图象在第一象限内相交于点B(2,n)，若点P是x正半轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为 . 17.一天，小湘在∠MAN 中按以下步骤作图: ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与 AM，AN 交于点 B，C； ②分别以 BC 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧在∠MAN 内部 交于点 P，作射线 AP； ③再以点 P 为圆心，AP 长为半径作弧，分别交 AM，AN 于点 E，F，连 接EF交 AP 于点 D 并作射线 EP 交 AF 于点 G. 作完图后，小湘提出了一个问题: 若∠AFE=67.5°，则∠AFE= . 18. 如图，在 ABC中， CA=CB，∠ACB=，点D在AB上，连接CD，作等腰直角 CDE,∠CDE=连接CE，交AB于点，若AF=8，BD=6，则DF的长为______. 3、 解答题:本题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.计算：（）-2+|-|－2+（2025+）0 20.先化简（）÷,当=2时求分式的值. 21.某学校为丰富八年级考生课后服务的课堂内容计划新增“乐”动思维、“视听”达人，“篮”舍“篮”分，“乒”尽全力，汇聚“艺”堂五门兴趣课程.为了解考生对五门课程的喜好情况，随机抽取了部分考生进行问卷调查（要求每位考生只能选取其中一门课程），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图. 根据图中信息完成下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是_____； (2)请补全条形统计图； (3)求出扇形统计图中“乒”尽全力所对应的扇形的圆心角的度数； (4)请你估计该校参加调查的1500名考生中喜欢“视听”达人的考生人数． 22.‌‌湄水河是‌湖南省‌娄底市‌双峰县的母亲河，位于双峰县城中路大汉龙廷西北侧约30米处.‌这条河流是双峰县的重要水资源，为当地居民提供了生活和农业用水，同时也是双峰县的重要景观之一.如图，某数学兴趣小组成员在河东岸点B处观测河对岸的河边水文塔点A，测得点A在点B北偏西22.50的方向上，沿河岸向北前600m到达点C处，测得点A在点C北偏西450的方向上． (1)求的长； (2)求‌‌湄水河此段的宽度．（结果精确到0.1，参考数据：，） 23.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产一件甲产品需要材料2千克，材料3千克；生产一件乙产品需要材料4千克，材料2千克.现工厂材料100千克，材料120千克.设生产甲产品件，生产乙产品件. （1）求，应满足的二元一次方程组； （2）若甲产品每件利润为30元，乙产品每件利润为40元，求总利润关于，的函数表达式，并求出当，分别为多少时，总利润最大，最大利润是多少？ 24.如图1 ,AB 是⊙O 的直径 ,D 是 AC 上的点,弦 BD 和 CE 交于点 F ,且 DF=DC ,EH 是⊙O 的切线 ,EH∥AB ,连结 AC ,AE ,BE. 图 1 备用图 (1)求证:EB=EF; (3)若 CE= ,BC=6 ,求直径 AB 的长 . 25.如图1,四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形,其中点E在CB的延长线上, 点G在AB的延长线上,点H在BC边上,连接BD、DH、HF,已知AB=4,∠ABC=1200,EB=CH. (1)求证:△DCH≌△HEF (2如图2,当H为BC中点时,连接AF,求AF的长. (3)如图3,将菱形BEFG顺时针旋转120°,使点E在BD上,点F在AB上, 点G在BC的延长线上连接EH,CF,若EH⊥BC,请求出CF的长. 26.一条抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0，c≠0)与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 位于点 B 左边)，与 y 轴交于点 C. (1)有一圆⊙D 同时经过 A，B，C 三点，并与 y 轴交于点 E(不与点 C 重合)，过点 D 作 DH⊥AB 交 AB 于点 H，连接 AC，BC，BD，OD，如图1 所示(a＜0＜c).此时恰好满足 SᐃBDH =2SᐃODH ①令 y=0，可以得到一元二次方程 ax2+bx+c=0，请求出该一元二次方程根的判别式的值； ②证明: ∠ACO +∠ABD =45 °. (2)有一圆⊙D 同时经过 A、B、C 三点，AB 为⊙D 的直径.过抛物线顶点 P 作 PM⊥x 轴于点 M ，PN⊥y 轴于点 N，连接 AC .若tan∠ACO =，ac＜0，请求出的值. 图 1 备用图 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分共10小题） 1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.A 9.A 10.C 二、填空题（每小题3分共8小题） 11.x(x-3y)2 12. 13. 14.720° 15. 16.（,0） 17.45° 18.10 三、解答题（本大题共有8个小题，第19、20题6分；第21、22题8分；第23、24题9分；第25、26题10分） 19.解：原式=4+-2 +1 .................. （4分） =5 .................. （6分） 20.解：原式= .................. （2分） = ....................（4分） 把x=2代入得 = = 5 ................ （6分） 21.（1）500人 .................. （2分） （2）如图所示 ..................（4分） （3）解：3600 答：扇形统计图中“乒”尽全力所对应的扇形的圆心角的度数为1080 .............. ... （6分） （4） = 360（人） 答：该校参加调查的1500名学生中喜欢“视听”达人的学生人数为360人。 .............. ... （8分） 22.解：（1）过点A作，交的延长线于点 由题意得，∠ABC=22.50，∠ACD=450，BC=600m 则∠BAC=∠ACD-∠ABC=22.50，.............. ...（1分） 即可得AC=BC=600m .............. ... （2分） 答：AC的长为600m. .............. ... （3分） （2）由（）得AC=BC=600m ， 在中，450= = = .......................... ... （5分） 解得AD=300m≈424.2m，.................................. ... （7分） 答：湘江此段的宽度约为424.2m. .......................... ... （8分） 23.(1)根据、材料的用量可列方程组： ............ （3分） (2)设总利润=30+40 ..................................... ...（4分） 由2+4=100可得=50-2，将其代入中： =30（50-2）+40=1500-60+40=1500-20...................... （5分） 因为=50-2≥0，≥0，所以0≤≤25........................... （6分） 又因为=1500-20中，-20<0，随的增大而减小 所以当=0时，W有最大值 此时=50-2×0=50，MAX=1500-20×0=1500（元）.................... （8分） 即当生产甲产品50件，乙产品0件时， 总利润最大，最大利润是1500元................................. （9分） 22. (1)证明: ∵ DF=DC， ∴∠DCF=∠DFC， ∴∠DCF=∠BFE. ∵ DE= DE ∴∠DCF=∠FBE, ∴∠BFE=∠FBE, ∴.EB=EF ....... ..................................3分 （2） (解法,1)如图1,过点E作EM⊥AC于点M,过点E作EN⊥CB交CB的延长线于点N. ∴∠AME=∠N=90°∵CF平分∠ACB,EM⊥AC, EN⊥CB, ∴EM=EN. 又∠AEB=90°,∠OBE=45°， ∴∠OAE=180°-∠AEB -∠OBE=45°， :∠OAE=∠OBE, ∴ AE=BE. 在 Rt△AME和 Rt△BNE中， ∴Rt△AME≌Rt△BNE(HL). ∴AM=BN. ∵EM⊥AC,EN⊥CB,EM=EN， ∴四边形EMCN是正方形. 在正方形EMCN中，CE= ∴CM=CN= CE=7 AM=BN=CN-BC=7-6=1， ∴AC=CM+AM=7+1=8. 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 =10. ∴直径 AB的长为 10. （解法2）如图2,将△BCE 绕点 E 逆时针旋转 90°得到△AC′E. 设∠FBE=x,∠CBF=x-45°, ∴∠CBE=∠CBF+∠FBE=2x-45°, ∵∠CBE+∠CAE=180°, ∴∠CAE=180°-∠CBE=225°-2x. 由旋转的性质得∠C′AE=∠CBE=2x-45°, C′E=CE=7,∠C′EC=90°,AC′=BC=6 ∴∠C′AE+∠CAE=2x-45°+225°-2x=180°, ∴C′,A,C 三点共线. ∵C′E=CE=7 ,∠C′EC=90°, ∴CC′= CE=14. ∴AC=CC′-AC′=14-6=8. 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 =10. ∴直径 AB 的长为 10. 25.解：(1)证明:∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形 ∴AB//CD,EF//BG,EB=EF,BC=CD ∵点G在AB的延长线上,EB=CH ∴EF//CD,EF=CH ∴∠E=∠C,EH=CB 即 EH=CD 在△DCH和△HEF中 ∵DC=HE ∠C=∠E CH=EF ∴△DCH≌△ HEF(SAS)...........................................（3分） （2） 如 图 2 , 设FH交AG于点P , 连 接 BF ∵ ∴△DBC是等边三角形 ∵BH=CH ∴DH⊥BC ∴ 由（1）得△DCH≌ △HEF ∴∠EFH= ∵AG//EF ∴ ∴FP⊥AP ∵ ∴ΔBFG是等边三角形 ∴ ∵AB=BC=4 ∴PB=1 ∴PA=4+1=5 ∵FG=BG=2 ∴ ∴.......................................（6分） （3）如图3．作FM⊥BG于点M，则CMF＝90° ∵EH⊥BC，即EH⊥BG ∴EH//FM ∴ 四边形FMHE是矩形 ∴EH=FN ∵ ∴ΔBFE是等边三角形 ∴BE=BF ∴RtΔEHB≌ RtΔFMB(HL) ∴ ∵ EB=CH ∴ ∴ ∴............................（10分） 26.（1）①解：∵ ∴,而c˃0 ∴B（c,0） ∵C（0,c）,CO⊥BO, ∵S=2S,DH⊥AB ∴OH=BH=AH, ∴OA=OB=,即A（- ，0） 设表达式为y=a（x+）(x-c),将C（0，c）代入 得C=a(0+)(0-c),则ac=-3符合题意， ∴a=-,故表达式为y=- (x+)(x-c) = - +2x+c ∴b=2 ∴=-4ac=4-4x(-)xc=4+12=16.............................（3分） ②连接BE,DE ∵∠BCE=45°， ∴∠BDE=90°，而BD=DE ∴BDE为等腰直角三角形 ∴∠EBD=45°,而∠OBC=45° ∴∠ABE=∠CBD,又∠ACE=∠ABE, ∴∠ACO+∠ABD=45° .....................................（5分） ⑵ 连接BC,易证∠ACO=∠ABC ∴== ∴BO=2CO=4AO,由于ac˂0， ①当a˃0，c˂0时，A(),B(-2c,0),C(O,c) 设表达式为y=（x - ）(x+2c), 将C代入得C=a(0)(0+2c) ∴ac=-1 ∴表达式为y=- (x - )(x+2c) =- - x+c ∴b= - ∵P(-,) ∴PM = , PN= - ∴= = .............................................（7分） ②当a˂0,c˃0时，A(- ,0)，B(2c,0),C(0,c) 设表达式为y=a（x+）(x-2c),将C(0,c)代入 得C=a-2c) 即ac=-1 ∴表达式为y= - (x+)(x-2c) =- +x+c ∴b= ∵P(-,) ∴PM = , PN= - ∴= = 综上所述，的值为...........................................（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $$