精品解析：黑龙江省哈尔滨市群力经纬中学2024一2025学年下学期九年级五月份数学模拟测试

群力经纬中学2024—2025学度下学期 九年级五月份数学模拟测试 考试须知：本次考试为闭卷考试形式，考试时间为120分钟，试卷总分为120分，请同学们认真阅读试题，并在相应的位置上填写出答案． 一、选择题：（共10题，每题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（ ） A. a米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图（1）PT与相切与点T，PB与相交于AB两点，可证明，从而有．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与相交于A、B、C、D四点，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在一个不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外，小球无其它差别．从中随机摸出两个小球，恰好一红一绿的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 小李驾驶汽车以千米/小时的速度匀速行驶小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶．已知行驶路程（单位：千米）与行驶时间（单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 葫芦岛市2019年毕业生约23000名，数23000用科学记数法表示为_____． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是_________． 13. 已知，化简二次根式的正确结果是_______________． 14. 已知，，则的值为______ ． 15. 不等式组的整数解的个数是_________． 16. 定义：，若，则________． 17. 如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为_____． 18. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为_____． 19. 纸片中，，将它折叠使与重合，折痕交于点，则线段的长为________． 20. 如图，等腰中，，，于点，点E在边上，点在的延长线上，若，，则的长为________． 三、解答题（本题共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段端点在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出一个以线段为一边的平行四边形（点、点在小正方形的顶点上），并且平行四边形的面积为9． （2）在方格纸中画出以为斜边的直角三角形（点在小正方形的顶点上），并且三角形的面积为5，连接，请直接写出线段的长． 23. 为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表： 学生最喜爱的节目人数统计表 节目 人数（名） 百分比 最强大脑 朗读者 中国诗词大会 出彩中国 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）______，_____，____； （2）补全上面的条形统计图； （3）若该校共有学生5000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过点O且垂直于AC，分别与边AD，BC交于点F，E． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AD＝3，CD，且∠ADC＝45°，直接写出四边形AECF的面积． 25. 实验中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买100个A型放大镜和150个B型放大镜需用1500元；若购买120个A型放大镜和160个B型放大镜需用1720元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元； (2)学校决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过570元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？ 26. 已知内接于圆，点为弧上一点，连接交于点，． （1）如图1，求证：弧弧； （2）如图2，过作于点，交圆点，连接交于点，且，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，圆上一点与点关于对称，连接，交于点，点为弧上一点，交于点，交的延长线于点，，的周长为20，，求圆半径． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，交轴正半轴于点，顶点为，对称轴交轴于点． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，点为抛物线在第一象限上一点，连接交对称轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连接，点为上一点，连接，，，若，求点横坐标的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 群力经纬中学2024—2025学度下学期 九年级五月份数学模拟测试 考试须知：本次考试为闭卷考试形式，考试时间为120分钟，试卷总分为120分，请同学们认真阅读试题，并在相应的位置上填写出答案． 一、选择题：（共10题，每题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：由题意可知：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查相反数的定义及无理数的认识，属于基础题，熟练掌握相反数的概念即可求解． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方法则逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 【详解】解：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 4. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据题意，判断函数图象所在象限，再根据所在象限得到的取值范围，进而求解，即可解题． 【详解】解：当时，有， 反比例函数图象在二、四象限， ， 解得， 故选：D． 5. 下图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断． 【详解】解：俯视图是从物体上面看所得到的图形， 从物体上面看，是一个矩形中包含2个三角形和2个梯形， 故选B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 6. 如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（ ） A. a米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】过作，垂足为，在和中分别求得的值，然后由即可获得答案． 【详解】解：过作，垂足为，如下图， 由题意有：，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴米． 故选：D． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，正确理解俯仰角是解题关键． 7. 如图（1）PT与相切与点T，PB与相交于AB两点，可证明，从而有．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与相交于A、B、C、D四点，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作⊙O2的切线PT．推出PT2＝PA•PB，PT2＝PC•PD，推出PA•PB＝PC•PD，由此即可解决问题． 【详解】解：作⊙O2的切线PT，连接， 由题意得：PT2＝PA•PB，PT2＝PC•PD， ∴PA•PB＝PC•PD， ∵PA＝2，PB＝7，PC＝3 ∴2×7＝3PD， ∴PD＝， ∴CD＝PD−PC＝−3＝， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用结论解决问题． 8. 如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设扩展的宽度为， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 在一个不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外，小球无其它差别．从中随机摸出两个小球，恰好一红一绿的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的小球恰好一红一绿的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的小球恰好一红一绿的结果有8种， ∴两次摸到的小球颜色不相同的概率是， 故选：D． 10. 小李驾驶汽车以千米/小时的速度匀速行驶小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶．已知行驶路程（单位：千米）与行驶时间（单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：速度=路程÷时间，根据图象可得：路程=137-50，时间=3-1.5，则v=(137－50)÷(3－1.5)=58. 考点：函数图象的性质. 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 葫芦岛市2019年毕业生约23000名，数23000用科学记数法表示为_____． 【答案】2.3×104 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：数23000用科学记数法表示为2.3×104． 故答案为2.4×104． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥1． 【解析】 【详解】解：由题意得，x﹣1≥0且x≠0，解得x≥1且x≠0，所以，x≥1． 故答案为x≥1． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件；分式有意义的条件． 13. 已知，化简二次根式的正确结果是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意：-a3b≥0，即ab≤0， ∵a＜b， ∴a≤0＜b； 所以原式=|a|=-a． 14. 已知，，则的值为______ ． 【答案】－30 【解析】 【分析】首先把利用提取公因式法及完全平方公式法分解因式，然后代入已知条件即可求解． 【详解】解：原式 ，， 原式 ． 故答案为． 【点睛】本题考查了提公因式法及公式法分解因式及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15. 不等式组的整数解的个数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，判断解集内整数的个数 【详解】解不等式得：x≤4 解不等式得：x＞ ∴＜x≤4 ∴整数解有：－2、－1、0、1、2、3、4共7个 故答案为：7 【点睛】本题考查求不等式的整数解，解答过程和解不等式是完全相同的过程，最后只需分析解集中的整数解即可 16. 定义：，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次方程，平方差公式和多项式乘以多项式，根据题中定义得到关于x的一元一次方程，进而求解即可． 【详解】解：，， ，即， 解得， 故答案为：3． 17. 如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为_____． 【答案】6+π． 【解析】 【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积． 【详解】解：如图， 当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时， 过圆形纸片的圆心O作两边的垂线，垂足分别为D，E， 连接AO， 则Rt△ADO中，∠OAD＝30°，OD＝1，AD＝， ∴S△ADO＝OD•AD＝， ∴S四边形ADOE＝2S△ADO＝， ∵∠DOE＝120°， ∴S扇形DOE＝， ∴纸片不能接触到的部分面积为： 3（﹣）＝3﹣π ∵S△ABC＝×6×3＝9 ∴纸片能接触到的最大面积为： 9﹣3+π＝6+π． 故答案为6+π． 【点睛】此题主要考查圆的综合运用，解题的关键是熟知等边三角形的性质、扇形面积公式. 18. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为_____． 【答案】2.5 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵EO是AC的垂直平分线， ∴AE=CE， 设CE=x，则ED=AD-AE=4-x， 在Rt△CDE中，， 即， 解得x=2.5， 即CE的长为2.5， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键． 19. 纸片中，，将它折叠使与重合，折痕交于点，则线段的长为________． 【答案】6或10 【解析】 【分析】如下图，过点A作BC垂线交BC于点D，△ABD是含有30°的直角三角形，已知AB，则可得到AD的长；根据折叠的性质，可得△BCM是正三角形，设MB=x，则可得到DC=x-8；在Rt△ADC中，利用勾股定理可得到一个关于x的方程，解得结果即为BM长，进而得出MA长 【详解】情况一：如下图，△ABC是锐角三角形，过点A作BC垂线交BC于点D ∵∠B=60°，AB=16，AD⊥BC ∴在Rt△ABD中，BD=8，AD= ∵△MCN是△MBN折叠得到，∴∠MCB=∠B=60° ∴△MBC为正三角形，∴MB=BC 设MB=x，则BC=x，DC=x-8 ∵AC=14 ∴在Rt△ADC中，，即 解得：x=6(舍)或x=10，∴AM=6 情况二：如下图，当△ABC是钝角三角形，过点A作BC垂线交BC于点D 同理，BD=8，AD=，△MBC为正三角形 设MB=x，则BC=x，CD=8－x ∵AC=14 ∴在Rt△ADC中，，即 解得：x=6或x=10(舍)，∴AM=10 综上得：AM=10或AM=6 故答案为：6或10 【点睛】本题考查勾股定理和折叠的性质，解题的关键是设未知边为x，寻找直角三角形，利用勾股定理建立等式方程 20. 如图，等腰中，，，于点，点E在边上，点在的延长线上，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过F点作于M，于N，根据角平分线的性质可得．根据“四边形内角和等于”可求得，则，由此可得，再根据ASA证明，则可得，再求得，在中，求出、的长．最后在中根据勾股定理即可求出的长，也就可知的长． 【详解】 如图，过F点作于M，于N， ∵中，，， ∴平分， 即平分， 且． 又∵四边形中， ． 又， ， ， 即． 又， ， ， 是等边三角形， ． 作于H， 则， ， ． ， ， ． 中， ， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线并且证明出是等边三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算，求特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段端点在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出一个以线段为一边的平行四边形（点、点在小正方形的顶点上），并且平行四边形的面积为9． （2）在方格纸中画出以为斜边的直角三角形（点在小正方形的顶点上），并且三角形的面积为5，连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 四边形即为所作， （2） 即为所作， 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的定义以及平行四边形的面积为9画出图形即可； （2）根据直角三角形的定义以及三角形的面积为5画出图形即可，再由勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：如图，，边上的高为3， ； 【小问2详解】 解：如图，，，， ，， ， 为直角三角形，， 即为所作，． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，勾股定理、勾股定理逆定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 23. 为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表： 学生最喜爱的节目人数统计表 节目 人数（名） 百分比 最强大脑 朗读者 中国诗词大会 出彩中国 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）______，_____，____； （2）补全上面的条形统计图； （3）若该校共有学生5000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名． 【答案】（1）； （2）图形如下： （3）人． 【解析】 【分析】（1）读取“出彩中国”的数据，可得到样本容量x的值，再利用样本容量×百分比=人数的公式，分别计算a、b、c的值； （2）根据求出的c的值绘制图形； （3）诗词大会百分比×总人数即可 【详解】（1）读取“出彩中国”的数据，10人对应的比例为20% ∴样本容量x=10÷20%=50人 a=50×10%=5人； b%=15÷50=30%，b=30 c=50×40%=20人 （2）略 （3）喜爱《中国诗词大会》的人数约为：5000×40%=2000人 【点睛】本题考查调查统计，解题关键是通过残缺图表信息，先求解出样本容量，后续再根据题干要求相应求解 24. 如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过点O且垂直于AC，分别与边AD，BC交于点F，E． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AD＝3，CD，且∠ADC＝45°，直接写出四边形AECF的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形，对角线，相交于点， ，，． ． ． ． ，且，互相平分， 四边形AECF为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形、平行线的性质得出，，，进而得出，由全等三角形的判定（角边角）得出，再利用全等三角形的性质得出，最后根据菱形的判定及已知即可证明． （2）设辅助线于点，利用勾股定理得出的值，由（1）已知四边形AECF为菱形，根据菱形的性质设，则，，利用勾股定理建立等式求解得出值，最后利用菱形的性质及三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，作于点， AD＝3，CD，且∠ADC＝45°，， ． ，是等腰直角三角形． ，即， ，． 由（1）已知四边形是菱形， ． 设，则，， ，即， 解得． ． ． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的理解与综合应用能力．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．菱形四条边都相等．两角及其夹边分别相等的三角形全等．平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的两条对角线互相平分．两全等三角形的对应边相等，对应角相等．灵活利用菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据勾股定理建立等式关系是解本题的关键． 25. 实验中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买100个A型放大镜和150个B型放大镜需用1500元；若购买120个A型放大镜和160个B型放大镜需用1720元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元； (2)学校决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过570元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？ 【答案】（1）每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为9元，4元；（2）最多可以购买54个A型放大镜. 【解析】 【分析】（1）根据题意设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题； （2）由题意设购买A型放大镜a个，列出不等式并进行分析求解即可解决问题． 【详解】解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：， 解得：. 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为9元，4元. （2）设购买A型放大镜a个，根据题意可得：， 解得：. 答：最多可以购买54个A型放大镜. 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式进行分析解答． 26. 已知内接于圆，点为弧上一点，连接交于点，． （1）如图1，求证：弧弧； （2）如图2，过作于点，交圆点，连接交于点，且，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，圆上一点与点关于对称，连接，交于点，点为弧上一点，交于点，交的延长线于点，，的周长为20，，求圆半径． 【答案】（1）∵∠CED是△BEC的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA ∵∠ABC=∠ABD+∠EBC 又∵∠CED=∠ABC ∴∠ABD=∠ACB ∴弧AB=弧AD （2）∠CAG=45°； （3）r= 【解析】 【分析】（1）证∠ABD=∠ACB可得； （2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合，证△ALE≌△AHE，利用勾股定理逆定理推导角度； （3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD.先证△AEN≌△QUD，再证△NVE≌△RKU，可得到NV=KR=DK，进而求得OB的长. 【详解】（1）略 （2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合 ∵△ALB是△AHD旋转所得 ∴∠ABL=∠ADB，AL=AH 设∠CAG=a，则∠CBG=a ∵BG⊥AC ∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a ∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a ∴∠LAE=∠EAH=a ∵LA=AH，AE=AE ∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH ∵HD=LB， ∴△LBE为直角三角形 ∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45° ∴∠CAG=45° （3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD 由（2）得∠BAD=90° ∴点O在BD上 设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n ∴∠AEN=2n ∵SQ⊥AC ∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD ∵QU=AE ∴△AEN≌△QUD ∴∠QUD=∠AEN=2n ∴UD=UR=NE， ∵△ANE的周长为20 ∴QD+QR=20 在△DQR中，QD=7 ∵∠ENR=∠UDK=∠R=n ∴△NVE≌△RKU ∴NV=KR=DK= ∴BN=5 ∴BD=12，OB=6 【点睛】本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，交轴正半轴于点，顶点为，对称轴交轴于点． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，点为抛物线在第一象限上一点，连接交对称轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与之间的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连接，点为上一点，连接，，，若，求点横坐标的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）代入点(0，0)，先求出a的值，然后将二次函数配成顶点式，求出点D坐标； （2）过点P作x轴垂线，交x轴于点K，ED交x轴于点B；设点，△PKO∽△EBO，可得到EB的长，加上BD的长即为ED的长； （3）如下图，连接AG、AE，过点B、G分别作AG、x轴垂线，交于点M、N.先利用Rt△BGM求得BM、GM的长，在利用Rt△ABM得到tan∠BAG，然后结合Rt△ANG得到AN、GN的长，从而推导出ON的长，接着便可证△OGB是直角三角形，从而推导出∠EOB=30°，得出结论 【详解】（1）∵抛物线过点(0，0)，代入抛物线得： 0=0-0+28a-7，解得： 则抛物线为： ∴ （2）如下图，过点P作x轴垂线，交x轴于点K，ED交x轴于点B 设 ∴PK=，OK=t ∵ ∴ ∴OB= ∵PK∥EB，∴△PKO∽△EBO ∴，即： 解得： ∴ （3）如下图，连接AG、AE，过点B、G分别作AG、x轴垂线，交于点M、N 设，∠GEA=120° ∵EB是AO的垂直平分线,∴EA=EO,∴ ∴在△GEA中，∠EGA=∠EAG= ∴∠BGA=30° ∵抛物线解析式为： 可得：AB=2，OB=2 ∵BG=2，∴在Rt△BGM中，BM=，GM=3 ∴在Rt△ABM中，MA=5 ∴ ∵AG=3+5=8 ∴在Rt△AGN中，GN=，AN= ∴NB=AN-AB=，∴ON=OB-BN= ∴在Rt△ONG中，OG=4 ∴在△OGB中，三边满足勾股定理逆定理，即∠BGO=90° ∴， ∵，OB=2，∠EOB=30° ∴EB=OB，即(t-14)= 解得： 【点睛】本题是二次函数和三角函数的综合，解题关键是利用二次函数的性质，得到线段的长度，然后利用三角函数和勾股定理推导求得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $