精品解析： 辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团 2024-2025学年 下学期八年级数学期中试题

2024-2025学年度下学期 沈阳市虹桥中学教育集团 八年级期中考试 数学学科 命题人：谷鑫钰 审题人：林天赐 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，是因式分解，符合题意； C、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 3. 若，则下列选项不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案，熟练掌握不等式的性质是关键． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； C. ∵，∴ ，故该选项正确，不符合题意； D. ∵且，∴，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 4. 对于命题“如果，那么”．用反证法证明，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反证法，正确理解反证法的意义及步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可． 【详解】解：由于结论的否定为：， 用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立， 故应假设，由此推出矛盾． 故选：A． 5. 在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是( ) A. B. C. 6或9 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．分两种情况：等腰三角形的腰长或底边是6，由三角形三边关系定理进行判断，即可得答案． 【详解】解：如果等腰三角形的腰长是， 等腰三角形的底边长， ，不满足三角形三边关系定理， 等腰三角形的腰长不能是； 如果等腰三角形的底边长是， 等腰三角形的腰长， ，满足三角形三边关系， 等腰三角形的底边长是． 故选：A． 6. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：， 直角三角形， 点是的中点，， ， 故选C． 7. 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．设与交于点，根据旋转角，求得，，根据等边对等角求得的度数，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵将纸片绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴ 故选：B． 8. 阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图． 解决问题：设两个共点力的合力为F，现保持两力的夹角（）不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则（ ） A. 合力F一定增大 B. 合力F的大小可能不变 C. 合力F可能增大，也可能减小 D. 合力F一定减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】解：已知两边及其夹角，可以确定一个平行四边形，即其对角线也确定，而两边夹角不变，某一边不变，另一边减少时，平行四边形的对角线也在减少，两力的夹角（）不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则合力F一定减小． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，理解题意是解题的关键． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．连接MN，与AC，BC分别相交于点D、E，连接AE，当AB=3，AC=5时，△ABE的周长为（　　） A. 9 B. 12 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：在中，， ， 由题意可知，垂直平分， ， 的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题关键． 10. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 二、填空题（本小题共5道题，每题3分，共15分） 11. 正九边形的一个内角等于______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角与外角，根据正九边形的外角和为，求出正九边形的每一个外角，进而得到正九边形的一个内角度数．熟记正多边形的内角与外角性质与关系是解决问题的关键． 【详解】解：正九边形的外角和为， 正九边形的每一个外角都等于， 正九边形的一个内角等于， 故答案为：． 12. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由一次函数图象解不等式，由题意可知关于的不等式的解集是指一次函数图象在的图象上方部分对应的的取值范围，数形结合，在直线右侧，一次函数图象在的图象上方，即可得到答案．熟练掌握由一次函数图象解不等式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数与的图象交于点， 关于的不等式的解集是指一次函数图象在的图象上方部分对应的的取值范围， 如图所示： 在直线右侧，一次函数图象在的图象上方， 故关于的不等式的解集为， 故答案为：． 13. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化—旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出点的坐标是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，利用旋转的性质可得出，的长，再结合图中点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． 由旋转可知：，， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 14. 如图1，是一款汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成的菱形和螺旋杆组成，与地面平行，当螺旋杆绕点Q顺时针旋转时，B，D两点之间的距离变小，A，C两点之间的距离变大，从而顶起汽车如图2，是完全折叠状态下的“千斤顶”（B，A，D在同一条直线上），此时A到地面的距离为．“千斤顶”上升到离地面高度（C到地面的距离）的过程中，的长度缩短了．则连杆的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理在实际生活中的应用等知识点，解题的关键是将具体问题数学化．设菱形的边长为，则菱形上升到离地高度时，长为长为，最后利用勾股定理可求得x的值． 【详解】解：设相交于点O．连杆的长为x，因为四边形是菱形， ∴， 依题意可知． ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴，． 在直角中， ∴ 解得： ∴连杆的长为． 故答案为： 15. 如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作于点，根据题意可得四边形是平行四边形，证明，等面积法求得，勾股定理求得，可得的长，进而即可求解． 【详解】①如图，过点作于点， ， 四边形是平行四边形 折叠 即 ， 四边形是矩形 中， ， 中， ②如图，当时， 同理可得， ， ， 中， 故答案为：或 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握一元一次不等式解集求法步骤，一元一次不等式组解集的求法步骤是解决问题的关键． （1）根据一元一次不等式的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可得到答案； （2）先分别解不等式组中的一元一次不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：（1）， 去分母得， 去括号得， 移项得， ； （2）， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为． 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，请画出； （2）以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出； （3）直接写出以，，为顶点所构成的三角形的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，，顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，，顺次连接即可； （3）利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 以为顶点所构成的三角形的面积 18 已知线段． （1）用尺规作图的方法求作一个菱形，使为菱形的一条对角线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若菱形的对角线、相交于点，，，求菱形的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（）如图，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交线段的垂直平分线于点，连接，则四边形即为所求； （）根据菱形的面积公式计算即可求解； 本题菱形的画法，菱形的性质和面积，掌握菱形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴菱形的面积． 19. 在菱形ABCD中，过点B作于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，求出，利用有一个角是的平行四边形是矩形即可得证； （2）利用勾股定理求出，再根据菱形的性质和勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：在中： ， 设的长为，则， 由勾股定理得： 即：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，以及利用勾股定理求边长．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ （2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【答案】（1）胜12场，负3场 （2）4个 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找到等量关系列方程和找到不等关系列不等式是解题的关键． （1）设该班胜场，则负场，根据在15场比赛中获得总积分为39分列出方程，解方程即可得到答案； （2）设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球，根据共投中27个球，所得总分不少于58分，列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该班胜场，则负场，根据题意，得 . 解这个方程，得 ∴(场) ∴该班胜12场，负3场 小问2详解】 设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球， 根据题意，得 解这个不等式，得 ∴该班这场比赛中至少投中了4个3分球 21. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）证明：， ， 即：， 由旋转知，； 在和中， ， ， ； （3）解：①如图1， 当时，， ，， ， ， 如图2， 当时，， ， 如图3， 当时，， ， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． ②如图： 当时， ， ， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ， ， 旋转角为． 22. 随着人工智能的发展，机器人逐渐被群众所熟知，通过程序的设置，机器人能够根据指令精准地完成一系列动作．如：根据指令，机器人能在平面内完成下列动作：先原地顺时针旋转，再朝着此时面对的方向沿直线行进距离（其中，）．如图，在平面直角坐标系中，机器人“创创”的初始位置是原点，且面对轴的正方向，根据指令，“创创”到达点． （1）在平面直角坐标系中，画出“创创”的行进轨迹和行进终点，并写出点的坐标为______； （2）若“创创”根据第二个指令完成动作后恰好在轴上． ①若，则______； ②若，则______． （3）若“创创”根据第二个指令完成动作后停在点，另一机器人“新新”的初始位置是原点，且面对轴的正方向，根据指令完成动作后停在点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为______．（直接填空） 【答案】（1） （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义可得是等腰直角三角形，则，即可解答； （2）①先计算，根据含角的直角三角形的性质可得，可得答案； ②分两种情况：交点在的左边和右边，取的中点，连接，根据含角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是等边三角形，进而得出，即可得出的度数，即可求解； （3）由题意得：确定机器人“创创”和机器人“新新”的行进轨迹，根据平行四边形的判定，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于，则， 由题意得：，， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 过点作轴于，则， ①如图，由题意得：，， ， ， ，即； 故答案为：； ②根据题意可知：“创创”根据第二个指令完成动作后，可在点的两侧， i）点在点的右侧时，如图，当时，， ， ， 取的中点，连接 则 是等边三角形， 又 ； ii）点在点的左侧时，同理可得：； 综上，的值是或； 故答案：或； 【小问3详解】 如图4，四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了用坐标确定点的位置，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质，新定义-指令的理解和运用等知识，读懂题意，根据题意找到需要的等量关系，运用勾股定理求点的坐标是解题的关键． 23. 如图，点、、分别在正方形的边、、上，与相交于点． （1）如图1，当， ①求证：； ①平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，当，边长，，则的长为________（直接写出结果）． 【答案】（1）①见解析；①见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，则，，通过证得，即可证得结论；②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，．再证明是三角形的中位线即可解决问题； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出，，根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设．则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【小问1详解】 证明：①作交的延长线于点， ∵正方形， ∴，四边形是平行四边形，则，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，． 同①， ， ，， ， ， ， ，即； 【小问2详解】 解：过点作交于点，则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 设．则， 在中，，解得， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理、勾股定理的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期 沈阳市虹桥中学教育集团 八年级期中考试 数学学科 命题人：谷鑫钰 审题人：林天赐 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列变形中，是因式分解是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列选项不一定成立是（ ） A. B. C. D. 4. 对于命题“如果，那么”．用反证法证明，应假设（ ） A. B. C. D. 5. 在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是( ) A. B. C. 6或9 D. 或 6. 如图，公路，互相垂直，公路中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 8. 阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图． 解决问题：设两个共点力的合力为F，现保持两力的夹角（）不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则（ ） A. 合力F一定增大 B. 合力F的大小可能不变 C. 合力F可能增大，也可能减小 D. 合力F一定减小 9. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．连接MN，与AC，BC分别相交于点D、E，连接AE，当AB=3，AC=5时，△ABE的周长为（　　） A. 9 B. 12 C. 7 D. 8 10. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本小题共5道题，每题3分，共15分） 11. 正九边形的一个内角等于______度． 12. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为______． 13. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是 __________． 14. 如图1，是一款汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成的菱形和螺旋杆组成，与地面平行，当螺旋杆绕点Q顺时针旋转时，B，D两点之间的距离变小，A，C两点之间的距离变大，从而顶起汽车如图2，是完全折叠状态下的“千斤顶”（B，A，D在同一条直线上），此时A到地面的距离为．“千斤顶”上升到离地面高度（C到地面的距离）的过程中，的长度缩短了．则连杆的长为____________． 15. 如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）解不等式： （2）解不等式组： 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，请画出； （2）以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出； （3）直接写出以，，为顶点所构成的三角形的面积为______． 18. 已知线段． （1）用尺规作图的方法求作一个菱形，使为菱形的一条对角线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若菱形的对角线、相交于点，，，求菱形的面积． 19. 在菱形ABCD中，过点B作于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长． 20. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加． （1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ （2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 21. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 22. 随着人工智能的发展，机器人逐渐被群众所熟知，通过程序的设置，机器人能够根据指令精准地完成一系列动作．如：根据指令，机器人能在平面内完成下列动作：先原地顺时针旋转，再朝着此时面对的方向沿直线行进距离（其中，）．如图，在平面直角坐标系中，机器人“创创”的初始位置是原点，且面对轴的正方向，根据指令，“创创”到达点． （1）在平面直角坐标系中，画出“创创”的行进轨迹和行进终点，并写出点的坐标为______； （2）若“创创”根据第二个指令完成动作后恰好在轴上． ①若，则______； ②若，则______． （3）若“创创”根据第二个指令完成动作后停在点，另一机器人“新新”的初始位置是原点，且面对轴的正方向，根据指令完成动作后停在点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为______．（直接填空） 23. 如图，点、、分别在正方形的边、、上，与相交于点． （1）如图1，当， ①求证：； ①平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，当，边长，，则长为________（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $