复习05 几何体的外接球与内切球（八大考点）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

复习05 几何体的外接球与内切球 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 长方体及墙角模型 1.长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 2.满足以下图形特征可补成长方体 图形特征 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 三棱锥的四个面均是直角三角形 图示 知识点 2对棱相等模型及共斜边模型 1.若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 2.若三棱锥中，有两个直角三角形有公共的斜边，则斜边的中点即外接球的球心，该斜边球的直径 知识点3 柱体模型及线面垂直模型 1.柱体模型：外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径）； 2.线面垂直模型一般可补成柱体模型进行求解 知识点4 正锥体模型 正锥体模型解题步骤：①取底面的外心，则三点共线；②先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；③在利用勾股定理：，解出. 知识点5面面垂直模型及二面角模型 ①若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 ②若已知两个平面的夹角，多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 知识点6内切球模型 内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法：(为几何体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径) 考点一：长（正)方体及墙角模型 例1．棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．在长方体中，底面为正方形，，其外接球的体积为，则此长方体的表面积为 . 变式1-2．已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球O的表面上，若该三棱锥的体积与球O的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．如图，在边长为4的正方形中，点，分别为，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的外接球体积为（ ）        A． B． C． D． 考点二：对棱相等模型及共斜边模型 例2．如图，四边形 中， ，将三角形 沿着对角线 翻折，使得点 至点 ，形成三棱锥 ，已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为 ． 变式2-3．在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ． 考点三：柱体模型 例3．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，，.则此直三棱柱的体积是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为 ，体积为 ． 变式3-2．已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为 . 变式3-3．已知正三棱柱的底面边长为6，三棱柱的高为4，则该三棱柱的外接球的表面积为 . 考点四：线面垂直模型 例4．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，平面，,则其外接球的半径为 ． 变式4-2．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，，则球O的体积是 . 变式4-3．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若三棱锥的体积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为 . 考点五：正锥体模型 例5．已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（   ） A．9π B．4π C． D．3π 变式5-2．已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 . 考点六：面面垂直模型 例6．已知三棱锥，平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．如图，在中，，，为的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 变式6-3．三棱锥中，平面平面ABC，且侧面PAB是边长为2的等边三角形，底面ABC是以C为直角的直角三角形，则该三棱锥外接球的半径为 ． 考点七：二面角模型 例7．设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为（    ） A．2 B． C． D．4 变式7-1．已知平面四边形中，，将沿对角线折起，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（多选）已知直三棱柱中，，，点为的重心，延长交平面于点，设二面角的大小为，且，则（    ） A． B． C． D．直三棱柱外接球体积为 变式7-3．在四棱锥中，已知平面平面，，若二面角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为 ． 考点八：内切球 例8．已知三棱锥的底面为直角三角形，且.若平面，且，，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，记球的体积和表面积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 变式8-1．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 变式8-2．已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 变式8-3．已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（   ） A． B． C． D． 1．已知三棱锥的底面为直角三角形，且.若平面，且，，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，记球的体积和表面积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 2．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面半径为1cm，高为，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的体积为（    ） A． B． C． D． 5．在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．四棱锥的底面为正方形，底面，，四棱锥的顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（    ） A．3 B． C．1 D． 7．取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”．图中“四角反棱柱”的棱长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D．3 11．已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（    ） A． B． C．2 D．3 12．已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为 . 13．三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是 . 14．一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为 ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习05 几何体的外接球与内切球 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 长方体及墙角模型 1.长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 2.满足以下图形特征可补成长方体 图形特征 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 三棱锥的四个面均是直角三角形 图示 知识点 2对棱相等模型及共斜边模型 1.若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 2.若三棱锥中，有两个直角三角形有公共的斜边，则斜边的中点即外接球的球心，该斜边球的直径 知识点3 柱体模型及线面垂直模型 1.柱体模型：外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径）； 2.线面垂直模型一般可补成柱体模型进行求解 知识点4 正锥体模型 正锥体模型解题步骤：①取底面的外心，则三点共线；②先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；③在利用勾股定理：，解出. 知识点5面面垂直模型及二面角模型 ①若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 ②若已知两个平面的夹角，多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 知识点6内切球模型 内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法：(为几何体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径) 考点一：长（正)方体及墙角模型 例1．棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】球的直径即为正方体的体对角线，设球的半径为，则， 所以球的表面积为. 故选：B. 变式1-1．在长方体中，底面为正方形，，其外接球的体积为，则此长方体的表面积为 . 【答案】64 【详解】设外接球的半径为，因为外接球的体积为，所以，所以. 设底面正方形边长为，因为长方体外接球的球心在体对角线中点， 球直径为长方体体对角线，所以，所以， 所以长方体的表面积为. 故答案为：. 变式1-2．已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球O的表面上，若该三棱锥的体积与球O的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该正三棱锥为，侧棱， 因其侧面均为直角三角形，则两两垂直，故的边长均为， 则该正三棱锥的体积为. 因两两垂直，则该三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球， 而正方体的外接球直径等于该正方体的体对角线长度，故球O的半径， 则球的表面积，依题意有，解得. 故选：D. 变式1-3．如图，在边长为4的正方形中，点，分别为，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的外接球体积为（ ）        A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，且， 于是四面体可以补形成以为相邻三条棱的长方体，该长方体与四面体的外接球相同， 设四面体的外接球的半径R，则2R为长方体的体对角线长， 即， 所以四面体的外接球体积为. 故选：A 考点二：对棱相等模型及共斜边模型 例2．如图，四边形 中， ，将三角形 沿着对角线 翻折，使得点 至点 ，形成三棱锥 ，已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，在中，，则中点即为球的球心， 连接，则，即球的半径为1， 所以球的表面积为. 故选：B 变式2-1．已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将四面体放入长方体中，如图， 则四面体的外接球，即为长方体的外接球， 设长方体中，则， 三式相加得，故， 所以四面体的外接球半径为， 故四面体的外接球表面积为. 故选：B 变式2-2．在矩形中，，，以对角线为折痕将进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】 如图，在矩形中，，，则， 取中点，连接，则， 故点为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为1， 故外接球的表面积为. 故答案为：. 变式2-3．在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】由题意知，将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，如图所示， 设长方体的长、宽、高分别为，，， 则，解得， 所以长方体的体对角线长为， 所以外接球的直径为，即， 所以四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 考点三：柱体模型 例3．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，，.则此直三棱柱的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由，得， 由正弦定理得是外接圆的半径），， 又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，则球的半径为， 因此球的表面积为，解得. 所以该直三棱柱的体积是 故选：D 变式3-1．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为 ，体积为 ． 【答案】 【详解】设球的半径为，球心为的外接圆圆心，外接圆半径为， 根据直三棱柱的结构特征和球的性质，可知及构成以为斜边的直角三角形，且． 在中，因为故, 由正弦定理，得，即． 从而， 所以球的表面积，体积． 故答案为：. 变式3-2．已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】设正六边形，的中心分别为，，连接， 则正六棱柱外接球的球心为的中点， 该正六棱柱的外接球的半径为， 因为正六棱柱的体积为，， 所以，解得，又， 所以，从而. 故答案为：. 变式3-3．已知正三棱柱的底面边长为6，三棱柱的高为4，则该三棱柱的外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】因为正三棱柱的底面边长为6， 所以底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径.    又由三棱柱的高为4，则球心到圆O的距离， 因此球半径R满足：，即有， 所以外接球的表面积. 故答案为： 考点四：线面垂直模型 例4．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设的外接圆半径为， 则，所以， 平面，且， 设三棱锥外接球半径为， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：B． 变式4-1．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，平面，,则其外接球的半径为 ． 【答案】 【详解】设H为底面正的中心，取中点，过点H作,且，连接, 由于平面，所以平面,故, 由于,所以四边形为正方形， 故，因此, 因此为外接球的球心， 如图，设外接球的半径为R，由题可知， 则, 故答案为：    变式4-2．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，，则球O的体积是 . 【答案】 【详解】根据余弦定理得，故， 根据正弦定理得，故，其中为三角形外接圆半径， 设为三棱锥外接球的半径，则，故， 则球的表面积. 故答案为： 变式4-3．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若三棱锥的体积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为 . 【答案】 【详解】如图所示，取的中点，过作，且， 因为平面，所以平面. 因为，所以，所以， 所以是三棱锥外接球的球心，为球的半径. 因为，所以. 因为，所以球的半径， 当且仅当时，等号成立，此时，所以，故所求表面积的最小值为. 考点五：正锥体模型 例5．已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， 若球心在三棱锥内，设为底面的外接圆的圆心. 球的半径为，则. 因为，所以，解得. . 若球心在三棱锥外，则， 同理由解得，此时，不符合题意. 故选：A. 变式5-1．已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（   ） A．9π B．4π C． D．3π 【答案】A 【详解】正四棱锥的外接球的球心在它的高上， 由已知得，得， 易知正四棱锥底面外接圆半径， 球的半径为，由球的性质得，解得， 所以球O的表面积为. 故选：A． 变式5-2．已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正六棱锥得，底面为正六边形，设底面的中心为，连接， 则，底面，为正六棱锥的高， 所以， 因为正六棱锥的体积为，所以，即， 故点为外接球的球心，半径为2， 故外接球的体积， 故选：C． 变式5-3．半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 . 【答案】 【详解】如图所示，设的中点为，连接并延长交球于点，则， 在直角中，可得，所以， 所以， 所以， 则球的体积为， 正四棱锥的体积为， 所以该球与该内接正四棱锥体积之比为. 故答案为：. 考点六：面面垂直模型 例6．已知三棱锥，平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设的外接圆圆心分别为，三棱锥外接球球心为， 过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为三棱锥外接球的球心. 取中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以，同理，， 因为平面，所以，故四边形为矩形. 因为的外接圆半径，即， 所以. 因为的外接圆半径，即， 所以，即球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：B. 变式6-1．已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，因平面平面，，的外心为边的中点， 则三棱锥的外接球球心即为外接圆圆心，设外接球半径为. 在中，，,故由余弦定理可得， ， 即，由正弦定理，，则， 即三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为． 故选：D． 变式6-2．如图，在中，，，为的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】在中，，，为的中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 且， 平面，又， 取的中点，连接，则， 过作，则平面， 设三棱锥的外接球球心为，则球心必位于上，如图： 设其半径为，则， ，，解得， 三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为： 变式6-3．三棱锥中，平面平面ABC，且侧面PAB是边长为2的等边三角形，底面ABC是以C为直角的直角三角形，则该三棱锥外接球的半径为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，三棱锥即三棱锥，作图如下，    取中点，设为外接圆圆心， 为边长为的等边三角形， 在上，且， ， 又为以为斜边的等腰直角三角形，所以， 在中，， 面面，面面，面，面，面，， 在中，， 故， 即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径. 故答案为：. 考点七：二面角模型 例7．设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【详解】∵PA，PB，PC两两垂直，所以可以把三棱锥补成一个长方体，如图，是该长方体同一顶点处的三条棱， 长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径， 由得， 所以， 作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，同理， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 由得，而， 又， 所以，所以， ， 故选：C． 变式7-1．已知平面四边形中，，将沿对角线折起，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，取的中点，的中点，连接，， 设点为三棱锥的外接球的球心，过点作平面， 连接，，设，球的半径为， ，， 为中点，，， 又平面， 二面角的平面角为， ，，， ， ， ， ， 解得， ， 三棱锥的外接球的表面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查了三棱锥外接球问题，考查空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.解决本题的关键是利用空间中线面关系结合空间向量数量积的运算律，将外接球的半径转化为向量模长求解，设球心到平面的距离为，将向量拆分成，并确定其中两两向量之间的数量积，利用向量运算得，结合球的几何性质列方程求解半径即可. 变式7-2．（多选）已知直三棱柱中，，，点为的重心，延长交平面于点，设二面角的大小为，且，则（    ） A． B． C． D．直三棱柱外接球体积为 【答案】ACD 【详解】连接并延长交于点O，连接， 因为点为的重心，所以O为的中点， 因为，所以， 所以，， 又平面， 所以平面，所以， 若，又由已知， 可得，所以A正确； 若，即， 因为平面，平面， 所以，因为平面， 平面，又平面， 则，由已知为等腰直角三角形， 所以为的中点，与为的重心矛盾，B不正确； 补形为长方体，可以得到点N恰为长方体的中心， 则， 因为，所以，， 所以，， 所以，C正确； 外接球半径为，所以外接球体积为，故D正确． 故选：ACD. 变式7-3．在四棱锥中，已知平面平面，，若二面角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【详解】分别取、的中点、，连接． 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，平面，所以，， 因为， 所以，所以， 因为分别为的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的球心在直线上，由知在线段的延长线上． 设，则，即，所以， 所以三棱锥外接球的半径为，表面积为， 因为，，即， 所以、、、四点共圆， 所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 故四棱锥外接球的表面积为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 考点八：内切球 例8．已知三棱锥的底面为直角三角形，且.若平面，且，，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，记球的体积和表面积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为直角三角形且，则， 又平面，平面，则， 而平面，于是平面，又平面， 因此，取中点，连接，则， 从而点即为球的球心，设三棱锥外接球的半径为， 则，即，所以， 则.        故选：B 变式8-1．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，，所以，， 又平面，平面，， 所以平面， 设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为， 假设正八面体的棱长为， 则，，， ，， 因，则，且为正八面体的中心， 则点到平面的距离为内切球半径， 因为，即， 即，所以， 所以. 故选：C. 变式8-2．已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】球表面积为，则该球半径为， 设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为， 则此圆锥的轴截面面积为 ，解之得， 则该圆锥的侧面积为 故选：B 变式8-3．已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作出圆台的轴截面， 要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与，，相切的球，    设圆的半径为，则， 因为，所以， 作，因为，所以， 而，由勾股定理得， 则，且， 而， 即得到，解得， 设圆台内正方体的棱长最大值为，则， ． 故选：B. 1．已知三棱锥的底面为直角三角形，且.若平面，且，，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，记球的体积和表面积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为直角三角形且，则， 又平面，平面，则， 而平面，于是平面，又平面， 因此，取中点，连接，则， 从而点即为球的球心，设三棱锥外接球的半径为， 则，即，所以， 则.        故选：B 2．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知球直径为长方体的体对角线，故半径为， . 故选：B. 3．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 4．已知圆锥的底面半径为1cm，高为，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线作圆锥的截面，如图， 则是圆锥的轴截面，矩形为正方体的对角面， 设正方体的棱长为，则， 设是圆锥底面圆心，则，， 由，得，则，解得， 所以这个内接正方体的体积为. 故选：B 5．在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 6．四棱锥的底面为正方形，底面，，四棱锥的顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】，交于点，则是中点，取中点，连结， 因为底面，所以底面， 因为是正方形的中心，所以外接球的球心在直线上， 而到的距离相等，则点到的距离相等，故为外接球的球心， ， 所以由球的体积可得，解得. 故选：C. 7．取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”．图中“四角反棱柱”的棱长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由题意可知旋转角度为，设上下正四边形的中心分别为，， 连接，则的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点， 因为棱长为4，可知，，． 过点B作于点C，则，，四边形为矩形，即，， 则， 即该“四角反棱柱”外接球的半径， 故该“四角反棱柱”外接球的表面积为， 故选：A． 8．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 9．在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，在中，由余弦定理，， ，， 设的外接圆半径为，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A.    10．已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由平面，平面，则，， 由，可将三棱锥补全为一个长方体，如下图示， 则球心为该长方体体对角线的中点，则球的半径， 易知中，，若为的中点，连接， 显然，且都在平面内，则平面， 又平面，所以平面平面，故在平面的投影在上， 所以是与平面的夹角，而， 则， 所以，则球心到平面的距离为. 故选：B 11．已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为， 因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为， 取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上， 如下图所示： 根据线面角的定义知，则，因为，， 所以，在中，， 所以，解得或，即. （若球心O在的延长线上时，，求得，此时） 故选：D. 12．已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为 . 【答案】 【详解】 如图为圆柱上下底面圆圆心，已知圆柱的底面半径，由其体积为， 可得， 该圆柱的外接球记为球，则为的中点， 根据勾股定理有：，即外接球的半径为， 所以该外接球的表面积为， 故答案为：. 13．三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是 . 【答案】 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 故答案为： 14．一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为 ． 【答案】 【详解】把正四棱台还原成正四棱锥，过该正四棱锥底面一组对边中点及顶点的平面 截该棱锥及棱台分别得等腰和等腰梯形，过作于，如图， 则等于正四棱台的高9，， 于是，是正三角形，其内切圆半径， 因此正四棱台还原成正四棱锥的内切球半径为4，该球是与正四棱台侧面及下底面都相切的球， 即为正四棱台型的木块削成的最大球，所以所求最大体积为. 故答案为： 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$