预习05 坐标法、直线的倾斜角与斜率（5知识点+7题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习05 坐标法、直线的倾斜角与斜率 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：数轴上、平面直角坐标系的基本公式 1．数轴上的基本公式 如果数轴上点，线段的中点为，则（1）向量的坐标为； （2）；（3）． 2．平面直角坐标系的基本公式 已知是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则（1）；（2）（3） 知识点 2 ：直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点 3 ：直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 3．直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 知识点 4 ：直线的方向向量 1．定义：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，则称向量为直线的一个方向向量，记作 2．性质：（1）如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定共线． （2）如果是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量． （3）若为直线的倾斜角，则一定是直线的一个方向向量． （4）如果已知为直线的一个方向向量，则当时，直线的斜率不存在，倾斜角为；当时，直线的斜率是存在的，直线的斜率，即． 知识点 5 ：直线的法向量 1．定义：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线垂直，则称向量为直线的一个法向量．记作． 2．一条直线的方向向量与法向量互相垂直．特别地，当不全为0时，向量与互相垂直，其中一个是直线的方向向量，另一个时直线的法向量． 【题型1 坐标系中基本公式的应用】 1．已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 2．已知，则线段的中点坐标为 . 3．已知是的三个顶点，求这个三角形边上中线的长. 4．已知，且，求a的值． 【题型2 求直线的倾斜角】 5．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 7．已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【题型3 求直线的斜率】 8．经过点、的直线的斜率为 . 9．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为(    ). A． B． C． D． 10．过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 11．过两点的直线的倾斜角为，求的值为 ． 12．已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 13．设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【题型4 倾斜角和斜率之间的变化关系】 14．如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 15．如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 16．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知直线过点，，若的倾斜角的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5 斜率公式的应用】 20．若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 21．台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 22．经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 23．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型6 直线与线段相交求斜率（倾斜角）范围】 24．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 26．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 27．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 28．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【题型7 直线的方向向量和法向量】 29．经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．8 B． C． D．2 30．（多选）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 31．（多选）已知直线l经过点，.则下列结论中正确的是（    ） A．直线l的斜率是 B．直线l的倾斜角是 C．直线l的方向向量与向量平行 D．直线l的法向量与向量平行 32．已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为 33．若是直线的一个法向量，则直线的斜率为 ，倾斜角的大小为 ． 一、单选题 1．点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） ①直线的倾斜角的取值范围是； ②平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ③直线的倾斜角越大，其斜率就越大. A．① B．②③ C．①③ D．①② 3．过点和点的直线的倾斜角为（   ）． A． B． C． D． 4．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 6．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 7．若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 8．过曲线上一点作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，若直线过原点，则其斜率为（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．（多选题）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 10．若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知三边AB，BC，CA的中点分别为，，，则顶点A的坐标为 ． 12．直线过点，，则直线的倾斜角为 13．已知点，若点在线段上，则的取值范围为 . 四、解答题 14．已知是平行四边形的三个顶点，请确定该平行四边形第四个顶点的坐标，并求出平行四边形两对角线的平方和． 15．已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 16．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 17．如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．    11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习05 坐标法、直线的倾斜角与斜率 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：数轴上、平面直角坐标系的基本公式 1．数轴上的基本公式 如果数轴上点，线段的中点为，则（1）向量的坐标为； （2）；（3）． 2．平面直角坐标系的基本公式 已知是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则（1）；（2）（3） 知识点 2 ：直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 知识点 3 ：直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 3．直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 知识点 4 ：直线的方向向量 1．定义：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，则称向量为直线的一个方向向量，记作 2．性质：（1）如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定共线． （2）如果是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量． （3）若为直线的倾斜角，则一定是直线的一个方向向量． （4）如果已知为直线的一个方向向量，则当时，直线的斜率不存在，倾斜角为；当时，直线的斜率是存在的，直线的斜率，即． 知识点 5 ：直线的法向量 1．定义：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线垂直，则称向量为直线的一个法向量．记作． 2．一条直线的方向向量与法向量互相垂直．特别地，当不全为0时，向量与互相垂直，其中一个是直线的方向向量，另一个时直线的法向量． 【题型1 坐标系中基本公式的应用】 1．已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【答案】C 【详解】解：因为点，，所以， 所以，则. 故选：C. 2．已知，则线段的中点坐标为 . 【答案】 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： 3．已知是的三个顶点，求这个三角形边上中线的长. 【答案】 【详解】由题意， 在中， 设的中点为，则 ， 从而可知所求中线长为 .    4．已知，且，求a的值． 【答案】 【详解】解：因为且，所以，解得 【题型2 求直线的倾斜角】 5．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因直线与轴垂直，故其倾斜角为. 故选：C. 6．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 【答案】D 【详解】根据题意，画出图形，如图所示： 因为，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意， 通过画图（如图所示）可知： 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：D． 7．已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 【题型3 求直线的斜率】 8．经过点、的直线的斜率为 . 【答案】 【详解】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 9．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 10．过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为直线过两点､，且倾斜角是， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 解得. 故选：A. 11．过两点的直线的倾斜角为，求的值为 ． 【答案】． 【详解】解：因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：． 故答案为： 12．已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 13．设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【答案】或 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 【题型4 倾斜角和斜率之间的变化关系】 14．如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 15．如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 16．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 17．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 18．已知直线过点，，若的倾斜角的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设有即， 故选：B. 19．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意，     因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 即直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D． 【题型5 斜率公式的应用】 20．若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得． 故选：B. 21．台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 22．经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【答案】 【详解】根据题意，即， 且斜率， 即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 23．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 【题型6 直线与线段相交求斜率（倾斜角）范围】 24．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 25．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 26．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 27．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】当直线过点时，，直线过点时，， 当直线与线段的交点在之间时， 设这个交点分的比为， 由定比分点向量公式有， 点的坐标为， 又直线过点，， ，又点在线段上，， ，解得或， 实数的取值范围是. 28．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 【题型7 直线的方向向量和法向量】 29．经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由已知， 由题知，解得. 故选：C. 30．（多选）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意，，解得，则， 设倾斜角为，则，解得或. 故选：BC 31．（多选）已知直线l经过点，.则下列结论中正确的是（    ） A．直线l的斜率是 B．直线l的倾斜角是 C．直线l的方向向量与向量平行 D．直线l的法向量与向量平行 【答案】AD 【详解】A：由题意，知直线l的斜率是，故A正确； B：直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误； C：直线l的一个方向向量为，因为， 所以直线l的一个方向向量与向量不平行，故C错误； D：直线l的一个法向量为，因为， 所以直线l的一个法向量与向量平行，故D正确. 故选：AD 32．已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为 【答案】 【详解】由题意可得， 因为直线的一个方向向量坐标为， 所以，即，解得， 故答案为： 33．若是直线的一个法向量，则直线的斜率为 ，倾斜角的大小为 ． 【答案】 【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，可得 则直线的倾斜角的大小为. 故答案为：；. 一、单选题 1．点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设的坐标为，分析可得为的中点，由中点坐标公式可得，解可得、的值，即可得答案. 【详解】根据题意，设的坐标为， 点与关于点的对称， 为的中点， 根据中点坐标公式可得：， 解可得， 即的坐标为 故选：A. 【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，注意分析点为中点，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．下列说法正确的是（    ） ①直线的倾斜角的取值范围是； ②平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ③直线的倾斜角越大，其斜率就越大. A．① B．②③ C．①③ D．①② 【答案】D 【详解】对于①，直线的倾斜角的范围为，①正确； 对于②，平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为时没有斜率，②正确； 对于③，倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，③错误. 故选：D. 3．过点和点的直线的倾斜角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点和点的直线的斜率为 设倾斜角为，， 所以. 故选：C. 4．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线的一个方向向量为， 则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 5．直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以， 则. 故选：D 6．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 7．若将直线沿轴正方向平移3个单位长度，再沿轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位置，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设是直线上任意一点，则平移后得点，于是直线的斜率. 故选：A. 8．过曲线上一点作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，若直线过原点，则其斜率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，过点作轴的平行线，交于点， 过点作轴的平行线交于点，由题意可得， 解得或，经检验，不符合，故其斜率为． 故选：B 二、多选题 9．（多选题）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 【答案】BCD 【详解】由题意，可得， 可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确， 故答案为：BCD. 【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题. 10．若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】    如图，设的直角边所在直线的斜率为2，设其倾斜角为，则， 以为等腰直角三角形的直角边，为直角可作和， （以为直角可得对应直角三角形的斜边所在直线的斜率相等）， 则易得斜边所在直线的倾斜角，此时， 斜边所在直线的倾斜角，此时， 故选：AB. 三、填空题 11．已知三边AB，BC，CA的中点分别为，，，则顶点A的坐标为 ． 【答案】 【详解】设，，， 因为三边AB，BC，CA的中点分别为，，， 由中点坐标公式可得，，，解得，，， 故顶点A的坐标为. 故答案为：. 12．直线过点，，则直线的倾斜角为 【答案】/ 【详解】由斜率公式,设倾斜角为 由. 故答案为：. 13．已知点，若点在线段上，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】表示过点和点的直线斜率， 如图， 因为，结合图形可知或， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 14．已知是平行四边形的三个顶点，请确定该平行四边形第四个顶点的坐标，并求出平行四边形两对角线的平方和． 【答案】答案见解析 【详解】解：因为是平行四边形的三个顶点， 设平行四边形的第四个顶点坐标为， 当平面四边形为时，由与的中点重合，可得， 解得，即点，此时两对角线的平方和为； 当平面四边形为时，由与的中点重合，可得， 解得，即点，此时两对角线的平方和为； 当平面四边形为时，由与的中点重合，可得， 解得，即，此时对角线的平方和为. 综上可得：当点的坐标为时，对角线的平方和为； 当点的坐标为时，对角线的平方和为； 当点的坐标为时，对角线的平方和为. 15．已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【答案】(1)1 (2)3 【详解】（1）过两点的直线斜率， 所以，解得. （2），， 若三点共线，则， 即，解得， 所以当时，三点共线. 16．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【答案】 【详解】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 17．如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．    【答案】 【详解】根据图形，∵直线的斜率是， 直线的斜率是， ∴过点的直线与线段有公共点时， 直线的斜率的取值范围是 ． 故答案为：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$